第1章数字电子基础知识

1、第一章 数字电子基础知识 内容提要：1. 数制和码制、数制之间的转换2. 逻辑代数的公式和定理3. 逻辑函数的表示方法真值表、函数式、逻辑图、卡诺图4. 逻辑函数的两种标准形式及最小项和最大项5. 逻辑函数的化简公式法和卡诺图 教学大纲基本要求：熟练掌握以下内容：1. 二进制数、十进制数、八进制和十六进制数之间的转换；2. 8421BCD码3. 逻辑函数的基本定律和定理4. 逻辑问题的描述方法5. 逻辑函数的化简与变换 重点与考点：1. 各种常用数制之间的转换（常见考点）；2. 逻辑代数中的基本公式、常用公式、基本定理和基本定律；3. 逻辑函数的四种表示方法及其相互转换；4. 最大项和最小项的

2、概念及关系；5. 逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，重点是5变量以下的卡诺图化简，包括任意项的逻辑函数的化简。 难点：1. 多变量逻辑函数的公式化简；2. 多输出逻辑函数的简化。 教学内容：一、逻辑代数与基本逻辑函数 逻辑代数即是应用于二值逻辑电路中的布尔代数。其特点：一是它的所有变量与函数值仅有两个特征值0和1，具有排中性，它们所表示的是一对互为相反的差异，它的公式、规则、定理和定义均用二值逻辑的因果关系来理解。二是逻辑代数只有三种基本运算，即与、或、非，对应的即是逻辑与、逻辑或、逻辑非，利用这些逻辑运算则可得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或等，用来实现这

3、些基本逻辑运算和复合逻辑运算的单元电路统称为门电路，其逻辑符号、逻辑函数式、输入输出真值表及基本运算规则如下所示二、逻辑代数的基本公式与定理（1）逻辑代数的基本公式又称为布尔恒等式，在二至逻辑中，这些公式反映了二值逻辑的基本思想，体现了逻辑代数的运算规律，是逻辑运算的重要工具，逻辑代数的基本公式如表2所示：表2 逻辑代数的基本公式（2）逻辑代数的常用公式 18、 吸收法 在一个与或表达式中，一项包含了另一项，则该项多余19、 消因子法 两个乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则该因子是多余的20、 并项法 两个乘积项相加时，若两项中除去一个变量相反外，其余都相同，则可用相同的变量代替这两

4、项21、 消项法 若两个乘积项中分别包含了A和A反两个因子，而这两项的其余的因子组成第三项时，则第三项是多余的。22、 求反函数法（3）逻辑代数的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现变量A的位置都代之以另外一个逻辑等式，则等式仍成立。2、对偶定理：对于任何一个逻辑函数式Y，若将其中的“.”变“+”，“+”变“.”，1变0，0变1，则得出一个新的式子，为Y的对偶式。“四变一不变”3、反演定理：对于任意一个式子Y，将其中的“.”变“+”，“+”变“.”，1变0，0变1，原变量变反变量，反变量变原变量，得出的新函数式是原函数的反函数。“六变二不变”对于反演定理的应用要特

5、别注意： 保持原函数的运算优先顺序。 不属于同一个变量上的非不能去掉。三、逻辑函数及其化简常用的方法：公式法和卡诺图法。一些重要的概念：最小项、最大项和卡诺图最小项：在n个变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则这些与项称为n个变量的最小项记为。最小项的性质：l n个变量有2n个最小项l 每个最小项等于1的机会只有一次；l 任意两个最小项的积为0；l 全体最小项的和为1；l 只有一个变量不同的两个最小项，可以合并成一项（去掉不同变量而保持相同变量）。最大项：n变量的最大项就是n个变量的和，而且每个变量都以原变量或反变量的形式在这个和项中

6、出现一次，且仅出现一次。最大项的性质：l n个变量有2n个最大项；（n个变量有2n个最小项） l 最大项等于0的机会只有一次；（最小项等于1的机会只有一次）l 全体最大项的积为0；（全体最小项的和为1）l 任何两个最大项的和为1；（任意两个最小项的积为0）l 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和；（只有一个变量不同的两个最小项可以合并为一项，消去不同的变量）最小项和最大项的关系：卡诺图：把n变量的全部最小项用n个小方格表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫n变量的卡诺图。（3、4变量的卡诺图画法要熟练）卡诺图是特点：几何位置相邻的最小项在逻辑

7、上都具有相邻性几何相邻：相接紧挨着；相对任一行或任一列的两头；相重对折起来位置重合的。具有无关项的逻辑函数的化简：l 任何一个n个变量的逻辑函数总可以用m个最小项之和的形式来表示，若剩下的个最小项使函数式的逻辑值为0，这就表明此函数式与其个最小项都有关。l 一个n变量的逻辑函数，有时并不是与它的个最小项都有关，而是只与其中的一部分有关，与另一部分则无关，这一部分无关的最小项并不决定函数的值，故称为无关项。l 无关项的出现一般有两种情况，一是某些实际问题中，加在逻辑电路中的输入变量的某些取值不可能或不允许出现，这种对于输入变量取值所加的限制称为约束，所对应的最小项称为约束项。二是输入变量的某些取

8、值的出现不会影响逻辑函数的有效取值，通常把这些输入变量的取值所对应的最小项称为任意项或随意项。约束项和任意项称为无关最小项，可以填入卡诺图中并可随意视为0或1参与化简，而使函数式化简为最简形式，并不会影响该逻辑函数的实际功能。四、数制之间的转换及码制五、考点及常见题型分析：例1（158.）10（.）2解：十进制数转换为N进制数的方法是：整数部分连续除基数N，至商为0，取余数逆序排列；小数部分连续乘基数N，取整数顺序排列。例2（.）2（158.）10解：任意进制数转换成十进制数可用权展开式法具体来说是：见1加其权。例3（.）2（236.65）8（9E.D4）16解：用分组法可将二进制数转换为2n

9、进制数以小数点为界，向左右n位分一组，左右端不够可以补0。注意：有的教材二、八、十六进制分别用下标B、O、H表示。例54个不同进制的数376.125D、576.1O、B、17A.2H，按大小排列的次序是（）（）（）（）。（浙江大学1989年）解：二进制数B180H八进制数576.1Q.001B=17E.2H十进制数376.125D178.2H十六进制数17A.2H得：180H17E.2H17A.2178.2H所以排列次序如下：B576.1Q17A.2H376.125D课堂练习：1. 10010（）2（144）82. 0.（0.1101 101）2（0.DA）163. 1101 01112=(2

10、15)10=(D7)16例4试判断一个8位二进制数A=A7A6A5A4A3A2A1A0所对应的十进制数能否被810整除（华中理工大学1999）。解：首先将二进制数A转换成十进制数，然后除以810，若余数为0，则能被810整除。设二进制数A对应的十进制数为D，利用权展开式法，得由上式可见，前5项都含有23，因此可以被8整除；后3项之和为07，所以，只有后3项为0，数D方可被8整除。 例5将十进制数0.85937转换成二进制小数，要求截断误差不能大于0.02。解：考查小数点后取几位。因为260.0.02，所以小数点后取5位即可满足。0.0.例6用8421BCD码表示十六进制数B7E16。解：首先把

11、十六进制数转换成十进制数，然后表示之。B7E160010 1001 0100 0010BCD例7一个15位的二进制数最大可表示多大的十进制数？一个5位的十进制数最多需要几位二进制数表示？解：15位二进制数的最大值：2151，即最大可表示5位的十进制数。一个5位的十进制数最大值为，因此2161=217-1=故5位的十进制数需17位二进制数来表示。例8判断一个二进制数的低2位为0，则该数可被4整除。（ ） 一个二进制数的低4位为0， 则该数是16的整数倍。（ ） 一个十六进制数，只有最低位数为0时，则该数才是8的整数倍。（ ）（最低位数为8时，也是8的整除倍。）例9已知函数用卡诺图求函数运算的值（

12、上海大学2000）解：画出两个函数的卡诺图，然后求然后求，最后求出。答案是：Y=A+D+B例10若请直接写出：F的对偶式和反函数（南邮2000）解：例11函数的反函数为（B）（国防科大1999）A. B.C. D例12若已知判断等式成立的最简单方法是依据以下（）。（北邮1997）A.代入规则 B.对偶规则 C.反演规则 D.互补规则例13用基本公式和定理证明下列等式：（反演律的应用）证：左+=例14函数的最简与或非式为（）解： 画该函数卡诺图，然后圈0画简，得函数Y的反函数，进而求出函数Y的最简与或非式。注意：从卡诺图圈0化简，可得到函数的最简与或非式。例15设Y1=，Y2则L1Y1 Y2（）

13、，L2例16以下说法正确的是：d （北邮1997）a.一个逻辑函数的全部最小项之和恒等于0。b.一个逻辑函数的全部最大项之和恒等于0。c. 一个逻辑函数的全部最小项之积恒等于1。d. 一个逻辑函数的全部最大项之积恒等于0。例17利用卡诺图化简函数，并用或与表达式表示。解： 最小项与最大项的关系画卡诺图：然后求出其反函数，由反函数得F的与或非表达式，然后根据反演律变成与非与非式，最后求得或与表达式。由卡诺图圈0得：由上式得函数的与或非表达式：最后写出其或与表达式：例18用图形法化简函数为最简与或式：(北理1999)约束条件为：解：画卡诺图：直接写最简与或式：六、本章练习题：1. 和8421BCD

14、码（）等值的二进制数是（）。（南理2000）2. （144）8（64）16（）2（100）10 （南邮2000）3. （.1）8421（.1100 ）BCD格雷码（ ）2（ ）164. 下列几种说法与BCD码的性质不符合的是（c）a. 一组四位二进制数组成的码只能表示一位十进制数。b. BCD码是一种人为选定的09十个数字的代码。c. BCD码是一组四位二进制数，能表示十六以内的任何一个十进制数。d. BCD码有多种。 （国防科技大学1999）5. 将一TTL异或门（输入端为A,B）当作反相器使用，则A和B应当如何连接？（a）a. A或B中有一个接1b. A或B中有一个接0c. A或B并联使用

15、d. 不能实现 （国防科技大学2000）6. 判断a. 连续“同或”2001个1的结果是“1”。（）b. 正“与非”门也就是负“或非门”。（）c. 已知x+y=x+z则y=z。（）d. 已知xy=xz，则y=z。（） （国防科技大学2000）7 . 将十进制数586分别用8421码、余3码和格雷码表示出来。（中国科学院自动化研究所1997）解：586100101 1000 BCD=1000 1011 1001余3码1Gray8. 一个8位的二进制计数器，对输入脉冲进行计数，设计数器的初始状态为0。问：计入75个脉冲后，计数器的状态时什么？要表示所有3位十进制数，至少需要几位二进制数？解：751

16、0。该题实际上时将十进制数75转换成二进制数。3位十进制数为000999，而29151199910210-1=1023，所以至少需用10位二进制数。9将逻辑函数化简为最简与或非式。（北理1998）解：利用卡诺图圈0得函数的反函数，然后求最简与或非式。答案：考题集锦： 1. 用代数法证明： （宁波大学2004年）证明：左2.写出下列函数的最简与或式 （16分，宁波大学2004年）约束条件：，（用卡诺图化简。）解：或者4. 利用卡诺图将下式化简成最简与或式（画出卡诺图） (宁波大学2005年 10分)5. 逻辑代数基础题（18分重庆邮电学院 2004年） 用公式法将下列逻辑函数简化成与或表达式（9

17、分）解： 用图形法将下列逻辑函数简化成与或表达式。（9分）6.简答题（要求用尽可能简明扼要的文字回答问题，每题1分 重庆邮电学院2004年）什么码叫BCD 码？并列出8421BCD码。与十进制数136对应的等值的二进制数是多少？ 与二进制数.1101对应等值的十进制数是多少？341.8125 与二进制数.1010对应等值的八进制数和十六进制数是多少？ 7.十进制数30.25转换为十六进制数为 （ ），转换为二进制数为（ 11110.01 ）。每空2分，重庆邮电学院2003年8.常用的逻辑函数的表示方法有 （ ）、（ ）、（ ）和（ ）。每空2分，重庆邮电学院2003年真值表、逻辑函数式、逻辑图

18、、卡诺图9.当时，同一逻辑函数的两个最小项（ ）；两个最大项（）。每空2分，重庆邮电学院2003年0 110.已知函数则其最简与非与非式为（ ）最简或非或非式为（ ）最简与或非式为（ ） 每空2分，重庆邮电学院2003年与非与非式：根据已有的与或非式， 最简与或非式：11.单选题。（ D ）码的特点是相邻两个代码之间仅有一位不同。A BCD B 余3 C 奇偶校验 D 格雷 （3分，重庆邮电学院2003年）12.逻辑函数化简题（每题8分，共16分，重邮2003年）用公式法化简，化为最简与或表达式用卡诺图化简解：13.单选题。与最接近的二进制数是（ A ）。 重邮2001年A .0101 B .0