第23讲正弦定理和余弦定理

1、第23 讲 正弦定理和余弦定理 【考点解读】1 理解并掌握正弦定理，余弦定理和面积公式；2 能正确运用正弦定理，余弦定理及关系式，解决三角形中的计算和证明问题。【知识扫描】1三角形的内角和定理：三角形三个内角和为（解题请不要忘记！）任意两角和与第三个角总互补，任意两个内角的半角和与第三个角的半角总互余，这样，就可以运用诱导公式了.如，等。2正弦定理：(为三角形外接圆的半径)。（1）正弦定理的一些变式： ； （起到化角为边的作用）； （起到化边为角的作用）。（2）已知三角形两边一对角，运用正弦定理求解三角形时，要注意判断解的情况。3余弦定理：两种形式：；，已知三角形两边一角，或三边时常用余弦定理

2、，判断三角形的形状时也常用余弦定理.4面积计算公式：（1）；（2）（3），其中为三角形内切圆的半径；（4） ，其中。5解含有边角混合关系的三角形时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化（包括化边为角；化角为边）。6解斜三角形的常规思维方法：（1）已知两角和一边（如、），由求角，由正弦定理求、；（2）已知两边及其夹角（如、），用余弦定理求边；再用正弦定理先求较短边所对的角（或），然后利用，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如、），用正弦定理求（要注意解的结果可能有多种情况），由求，再由正弦定理或余弦定理求边；（4）已知三边，用余弦定理求角。（5）三角形内切圆的半径，特别地直角三角形的内切

3、圆的半径 （其中为斜边）；【考计点拨】牛刀小试：1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c，b，B120，则a等于()A. B2C. D.解析：选D.由正弦定理得，sinC.又C为锐角，C30，A30，ABC为等腰三角形，ac.故选D.2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边若A，b1，ABC的面积为，则a的值为()A1 B2C. D.解析：选D.由已知得：bcsinA1csin60c2，则由余弦定理可得：a241221cos603a.3在ABC中，cos2Bcos2A是AB的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.cos2B

4、cos2A12sin2B12sin2Asin2BsinBAB.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S(b2c2a2)，则A_.解析：由已知得：bcsinA(b2c2a2)sinA，由余弦定理可得cosAsinAA.答案：5在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足abc1，sinAsinBsinC，则c_；若C，则ABC的面积S_.解析：依题意及正弦定理得abc，且abc1，因此cc1，c1，当C时，c2a2b22abcosCa2b2ab1，(ab)23ab1.又ab，因此23ab1，ab，则ABC的面积SabsinCsin.答案：16在ABC中，角A，B，

5、C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a的值解：(1)因为cos，所以cosA2cos21，sinA.又由3，得bccosA3，所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知，bc5，又c1，所以b5，由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以a2.考点一 正弦定理和余弦定理【例1】 在中，是角，的对边，且 （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值【解析】（1）由 即，又， （2）（当且仅当时取等号）【变式训练】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为 （ ）A. B. C.

6、或 D.或【标准解析】考查余弦定理的运用【技巧点拨】 先利用余弦定理变形，找到角的关系式，然后求解。【答案】D要点二 正余弦定理在三角形中的运用【例2】已知中，角，的对边分别为，且，（）若，求； （）若，求 整理得 因为，所以. 故，解得. 由，且，得. 由，即， 解得. 7分 （）因为，又,所以，解得. 10分 由此得，故为直角三角形，ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x23x2=0的一个根，求ABC周长的最小值【命题立意】本试题是考查运用余弦定理在解三角形中的简单运用。【标准解析】：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理【误区警示】能分析已知，得到选择合适定理进行解答。来源:Zx

7、xk.Com【变式训练】【标准解析】考查正弦定理在解三角形中的运用【技巧点拨】正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:【答案】解：，问要点三 方位角【例3】海中小岛A处周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果该船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险解析：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于小岛A到航线BC的距离和38海里的大小，所以我们只要先算出AC(或

8、AB)的长,再算出A到直线BC的距离,将其与38海里比较即可在ABC中,BC=30,ABC=30,ACB=135，所以BAC=15.由正弦定理知， = ,即 = ,AC= =60cos15=60cos(45-30)=60(cos45cos30+sin45sin30)=15( + ).于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45=15( + ) 40.98(海里).它大于38海里,所以船继续向南航行,没有触礁的危险.变式练习：若P在Q的北偏东44，则Q在P的( )A.东偏北45 B.东偏北44C.南偏西44 D.西偏南44解析：由方位角的定义可知，Q应在P的南偏西44.规律小结：注意方位与方位角，此类题常用三角应用问题联系起来，是常考内容。考点四：应用问题 例题四：在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30、60，求塔高解析：画出示意图(如图)，由题意可知，DAC=60，OAC=DAB=30，在AOC中，AO=200，所以OC= ,而AD=OC= ,在ABD中，BD= = ,因此塔高为 (米) 变式练习：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120m，则这条河的宽度为 m.规律小结：1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；正弦定理和余弦定理