第2章平稳随机过程

1、第2章 平稳随机过程21平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。随机过程，当变化时，得一系列随机变量：，。具有“平稳”性，是指的变化稳定，不“大起大落”，各具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。在统计学中，往往假设满足“独立同分布”（）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。211严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程的维概率密度（或维分布函数）不随时间起点选择不同而改变。即：对任何和，过程的概率密度满足：则称为严平稳过程。二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程的一维概率密度与时间无关；严平稳过程的二维概率密度只

2、与、时间间隔有关。证明：当1时，对任何，有。取，则有。当2时，对任何，有。取，则。三、严平稳过程的数字特征（1）若是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。证明：（2）若是严平稳过程，则它的自相关函数只是间间隔的单变量的函数。证明：212宽平稳过程引言：要证明一个过程是严平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。一、 定义若随机过程的数学期望为一常数，其自相关函数只与时间间隔有关，且它的均方值有限，即：则称为宽平稳过程（或广义平稳过程）。二、举例：例1设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变

3、量，证明是平稳过程。证明：可见，是宽平稳过程。例2，设，式中是随机变量，讨论、的平稳性。解：是平稳过程，因为：不是平稳过程，因为：例3设随机过程，是在上均匀分布的随机变量，只能取整数，证明是平稳过程。证明：022遍历性过程引言：在实用中，如何求的数字特征？以为自变量，是一曲线族。对的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。问题：只获得一条曲线时，能否准确得到的数字特征？2.2.1遍历性过程定义一、随机过程的时间均值、时间自相关函数的含义是：当固定时，是随机变量的均值。当变动时，相对于时间的均值如何求？在时间，以为时间间隔，等间距的抽取个点（），得，其平均值为在随机过程沿整个时间轴的

4、两种时间平均分别称为时间均值和时间自相关函数。与都是随机变量。二、 遍历性过程定义设是平稳过程，若满足：（1）以概率1成立，则称的均值具有各态遍历性。（2）以概率1成立，则称的自相关函数具有各态遍历性。（3）当时，以概率1成立，则称的均方值具有各态遍历性。如果的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称是遍历过程。2.2.2计算举例例4设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变量，讨论的遍历性。解：是遍历过程，因为：例5，是随机变量，讨论的遍历性。解，不是遍历过程，因为：，而是随机变量，所以。原因分析：的取值与时间无关，当时间变动时，可能取某个随机值而变动。2.2.3、随机过程具

5、备遍历性的条件一、遍历过程必须是平稳的。（平稳过程不一定是遍历的）。二、平稳过程的均值具备遍历性的充要条件是：三、 平稳过程的自相关函数具备遍历性的充要条件是：式中四、 对于正态平稳过程，若均值为0，自相关函数连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是：。23随机过程统计特征的实验研究方法引言：遍历过程的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。在具体的工程应用中，需要等间距离散采样，获取的是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的抽取个点，得个随机变量，或记为，。在工程应用中，得到的是一组样本值，, .利用，, 来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。2.3.1、均值估计具有遍历性，用时间均值来估计：是的无偏估计，也是极大似然估计。2.3.2、