第6章MATLAB数学实验

1、第6章 MATLAB数学实验没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 牛顿MATLAB是Matrix Laboratory的缩写，是一个集数值计算、图形处理、符号运算、文字处理、数学建模、实时控制、动态仿真和信号处理等功能为一体的数学应用软件，而且该系统的基本数据结构是矩阵，又具有数量巨大的内部函数库和多个工具箱，使得该系统迅速普及到个领域，尤其在大学校园里，许多学生借助它来学习大学数学和计算方法等课程，并用它做数值计算和图形处理等工作。下面介绍它的基本功能，并用它做与线性代数相关的数学实验。在正确完成安装MATLAB软件之后，直接双击系统桌面上的MATLAB图标，启动MATLAB，进入MATLA

2、B默认的用户主界面，界面有3个主要的窗口：命令窗口（Commend Window），当前目录窗口（Current Directory），工作间管理窗口（Workspace）。如图6.1所示。图6.1命令窗口是和MATLAB编译器连接的主要窗口，“”为运算提示符，表示MTALAB处于准备状态，当在提示符后输入一段正确的运算式时，只需按Enter键，命令窗口中就会直接显示运算结果。如图6.2所示。图6.2数据的默认格式为五位有效数字，可用format命令改变输出格式。Help是获取帮助的命令，在它之后应该跟一个主题词。例如，help format，系统就会对format的用法提供说明，因此它对初学

3、者是非常有用的。当需要编写比较复杂的程序时，就需要用到M文件，而只需要将所有命令按顺序放到一个扩展名.m的文本文件下，每次运行只需输入该M文件的文件名即可。下面介绍MATLAB程序设计中常用的程序控制语句和命令。顺序结构是最简单的程序结构，在编写程序后，系统将按照程序的物理位置顺序执行。选择语句。在编写程序时，往往需要根据一定的条件来执行不同的语句，此时，需要使用分支语句来控制程序的进程，通常使用if-else-end结构来实现这种控制。if-else-end结构是：if 表达式 执行语句1 else 执行语句2end此时，如果表达式为真，则系统执行语句1；如果表达式为假，则系统执行语句2.例

4、如比较a和b的大小，其中a=40，b=10.程序设计：cleara=40;b=10;if aa)elsedisp(ab)end运行结果：ab分支语句。另外，MATLAB语句中还提供了switch-case-otherwise-end分支语句，其使用格式如下：switch 开关语句 case 条件语句 执行语句 ，.，执行语句 case （条件语句1，条件语句2，条件语句3，） 执行语句 ，.，执行语句.otherwise 执行语句 ，.，执行语句 end在上面的分支语句中，当某个条件语句的内容与开关语句的内容相匹配时，系统将执行其后的语句，如果所有的条件语句与与开关条件都不相符合时，系统将执行

5、otherwise后的语句。循环语句。当遇到许多有规律的重复运算时，可以方便地使用以下两种循环语句。for循环基本格式是： for i= 表达式， 执行语句，执行语句 end上述结构是对循环次数的控制。例 求1+2+ +100的值。程序设计： sum=0; for i=1:100 Sum=sum+i; end sum sum= 5050for循环可以重复使用，即可以多次嵌套。while循环的判断控制可以是逻辑判断语句，因此，它的循环次数可以是一个不定数，这样就赋予了它较for循环更广泛的用途。其使用格式如下：while 表达式 执行语句 ，.，执行语句End 常用指令。终止命令break语句一

6、般用在循环控制中，通过if使用语句。当if语句满足一定条件时，break语句将被调用，系统将在循环尚未结束时跳出当前循环。继续命令continue一般也用在循环控制中，通过if使用语句。当if语句满足一定条件时，continue语句将被调用，系统将不再执行相关的执行语句，并不会跳出当前循环。等待用户反应命令pause用于使程序暂时终止运行，等待用户按任意键后继续运行。该语句适合于在调试程序时需要查看中间结果的情况。除了在程序设计中需要经常用到上述命令外，还有一些常用命令在其他操作中也经常使用，比如clr可以清除工作窗口，type可以显示文件内容，quit可以退出MATLAB等。6.1 矩阵的输

7、入与特殊矩阵的生成6.1.1 矩阵的输入 MATLAB是以矩阵为基本变量单元的，因此矩阵的输入非常方便。输入时，矩阵的元素用方括号括起来，行内元素用逗号分隔或空格分隔，各行之间用分号分隔或直接按回车键。例 6.1 输入矩阵A=。解 在命令窗口中输入 A=1 1 2；-1 0 3；4 -5 6 A= 6.1.2 矩阵的结构操作 输入矩阵后，可以对矩阵进行的主要操作包括矩阵的扩充，矩阵元素的提取和变换，矩阵元素的部分删除等。下面对其作简单介绍。1.矩阵的扩充例如，用下述命令可以在上述矩阵A下面再加上一个行向量：A（4，：）=1 3 2A= 下述命令可以在上述矩阵A下面再加上一个列向量： A（：，4

8、）=-1 0 3 2 A= 2矩阵元素的提取和变换可以用下述命令提取上述矩阵A的第3行第1列的元素： A（3,1）ans= 4可以用下述命令提取上述矩阵A的第1行第3列的元素： A（：，1，3） ans= 可以用下述命令提取矩阵的上三角和下三角部分及对角线元素：triu（A）提取矩阵A的上三角部分；tril（A）提取矩阵A的下三角部分；diag（A）提取矩阵A的对角线元素。可以用下列命令对矩阵进行翻转和旋转：fliplr（A）矩阵A左右翻转；flipud（A）矩阵A上下翻转；rot90（A）矩阵A整体逆时针旋转90度。3矩阵元素的删除可以用下述命令删除上述矩阵A的第2行的元素：A（2，：）=

9、ans= 6.1.3 特殊矩阵的生成某些特殊矩阵可以直接调用相应的函数得到，例如：zeros(m,n)生成一个m行n列的零矩阵；ones（m，n）生成一个m行n列元素都是1的矩阵；eye（n）生成一个n阶的单位矩阵；rand（m，n）生成一个m行n列的随机矩阵；vander（V）生成以向量V为基础向量的范德蒙德矩阵；magic（n）生成一个n阶魔方矩阵；hilb（n）生成一个n阶希尔伯特矩阵；invhilb（n）求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。例 6.2 随机生成一个67的矩阵。解 rand（6,7） ans= 例 6.3 生成一个以向量（1,2,3,5）为基础向量的范德蒙德矩阵。解 vande

10、r（1；2；3；5） ans= 习 题1输入矩阵A= ，并提取矩阵A的第3列和第2行元素。2生成一个1012阶的随机矩阵，并提取该矩阵的上三角部分。3生成一个5阶单位阵、6阶全1矩阵，4阶魔方阵。4求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。5对矩阵A= 进行左右、上下和90度旋转。6.2 矩阵的运算6.2.1 矩阵的代数运算如果已经输入矩阵A和B，则可由下述命令对其进行运算：的转置；A+B加法；k*A数k乘A；A*B乘法；inv（A）A的逆阵；AxA的x次方；ABB；A/BB 。例 6.4 设A= ，B= ，求、A+B、AB、B。解 程序设计结果如下： A=1 2 -1；0 1 2；-3 6 4 A= B

11、=-1 0 1；0 2 2；3 5 1 B= ans= A+B ans= A*B ans= A2 ans= inv（A）*B ans= 6.2.2 矩阵的特征参数运算在进行科学运算时，常常要用到矩阵的特征参数，如矩阵的行列式、秩、迹、条件书数等，在MATLAB可以用下述命令轻松地进行这些运算。det（A）A的行列式；rank（A）A的秩；trace（A）A的迹；cond（A）A的条件数；size（A）输出A的行数和列数。例 6.5 求向量组，的秩。解 程序运行结果如下： A= rank(A) ans= 3故可知向量组的秩为3。例 6.6 判断向量组=，=，=，=是否线性相关？解 由，所组成的矩

12、阵A= ，只需求出A的秩或者A的行列式，即可判断其线性相关性，因此，在MATLAB命令窗口下，键入： A= 1 1 2 3；1 -1 0 1；2 1 3 5；3 1 3 4； rank（A） ans= 3即r（A）=34，故，线性相关。例 6.7 计算D=。解 程序运行结果如下： A=1 2 3；4 5 6；7 8 9； D=det（A）； ans= 0即D=0。例 6.8 计算。解 程序运行结果如下： syms x y A=1+x 1 1 1；1 1+x 1 1；1 1 1+x 1；1 1 1 1+x； det（A） ans= 2*x*y2+2*x2*y+x2*y2习 题1、设A=，B=，求

13、、。2、求向量组，的秩。3、计算。4、计算。5、判断向量组：=，=，=，=，=的线性相关性。6.3 线性方程组的求解在MATLAB中，求解线性方程组的方法有很多，本实验将介绍两个命令来直接求解。rref（A）A的最简行阶梯形矩阵；linesolve（A，y，options）求解Ax=y；null（A，r）求齐次方程组Ax=0的基础解系。例 6.9 将矩阵A=化为最简行阶梯形矩阵。解 程序运行结果： A=7 1 -1 10 1；4 8 -2 4 3；12 1 -1 5； rref（A） ans= 例 6.10 求齐次方程组的基础解系及全部解。解 该方程组的矩阵表示形式为X=0。则在MATLAB命

14、令窗口下，键入： A=1 2 -1 -2；2 -1 -1 1；3 1 -2 -1； null（A，r） ans= 即两个基础解系分别为=，=。故原方程通解为（，为任意常数）。例 6.11 求解线性方程组。解 程序结果如下： B=1 3 -2 4 1 7；2 6 0 5 2 5；4 11 8 0 5 3；1 3 2 1 1 -2 rref（B） B = 1 3 -2 4 1 7 2 6 0 5 2 5 4 11 8 0 5 3 1 3 2 1 1 -2 ans = 1.0000 0 0 -9.5000 4.0000 35.5000 0 1.0000 0 4.0000 -1.0000 -11.00

15、00 0 0 1.0000 -0.7500 0 -2.2500 0 0 0 0 0 0所以原方程组等价于方程组 故方程组的通解为： ，其中， 例 6.12 求齐次线性方程组的全部解。该方程组的矩阵表达形式=则在MATLAB命令窗口下，键入：解 方法 1 y1=3*x1+4*x2+2*x3+x4=5; y2=6*x1+8*x2+5*x3+2*x4=8; y3=9*x1+12*x2+7*x3+3*x4=13; x1,x2,x3,x4=solve(y1,y2,y3,y3) x1 = x1x2 =x2x3 =-2x4 =-3*x1-4*x2+9则原方程组的解为（其中，为任意常数）。 方法 2 format rat A=3 4 2 1;6 8 5