第一章坐标法的简单应用

1、第一章 坐标法的简单应用1 笛卡尔坐标系（一） 确定平面上点的位置我们想象一个四周无限延伸的平面，该平面上所有的点都是完全一样的：其中的一个点没有不同于另外的一个点的任何特征。所以我们不能确定平面上点的位置，就是不能描绘平面上任何一个点的位置，使它不与其他点相互混淆。在平面上确定点的位置的这种方法称为卡笛卡尔直角坐标系。它是伟大的法国哲学家和数学家笛卡尔（1596-1650）所发明的。笛卡尔发表了哲学论文方法论，其中有三篇附录：光学、流星学和几何学。笛卡尔在这些附录中结合着光学、大气现象和几何学运用了一般的科学方法，发展了方法论。被公认为是解析几何学的创始作品。虽然有法国数学家皮叶尔费尔马在1

2、636年发表了关于平面与空间的研究论文，其中含有解析几何学的方法，但根据许多因素来看，笛卡尔的作品的确是为了解析几何学的发展而出发的。我们研究的坐标系称为直角坐标系，因为两轴OX与OY组成直角，笛卡尔的斜坐标系是可能的，但本书内不采用。轴OX与轴OY称为坐标轴，轴OX称为横坐标轴。而轴OY称为纵坐标轴。今后我们把横坐标轴简称为X轴，而把纵坐标轴简称为Y轴。点O叫作坐标原点，或简称为原点。坐标轴把整个平面分成了四个部分。这些部分称为象限。若从坐标原点引两轴与其正方向，这样所得到的那个象限称为第一象限或第一正坐标角。其余各象限的次序按照反时针方向标记。如果点在第一象限内，两个坐标都是正的；在第二象

3、限内横坐标是负的，而纵坐标是正的；在第三象限内两坐标都是负的；在第四象限内横坐标是正的，而纵坐标是负的。于是，每一个象限对应着坐标符号的组合，如下表所示：象 限横坐标符号纵坐标符号+-+-除在象限内的点以外，还有在象限边界上的点，就是在坐标轴上的点。如果点在横坐标轴上，纵坐标就等于零；如果点在纵坐标轴上，横坐标就等于零。坐标原点的两个坐标都等于零。当坐标已知时，总可作出点。例如求作点M（x，y）。从坐标原点沿横坐标轴取x个单位（向右取或向左取，依照x是正或负来决定）。在所取的点上作横坐标轴的垂直线，且在此垂直线上取y个单位（向上取或向下取，依照y是正或负来决定）。这样作出以后，就得到所求的点M

4、(x，y)。这里y不在纵坐标轴上截取，而直接在垂直于横坐标轴的垂线上取点。我们强调指出，坐标是抽象的数，这在以后是很重要的。这些数的绝对值表明从坐标轴到点的距离（距离如同长度永远是正量），而它们的符号指示线段的方向。从坐标原点到任意一点M的向量称为此点的向径。向径的长我们通常用希腊字母表示：= OM。利用向径的概念可以给点的坐标以新的定义：点的坐标是其向径在坐标轴上的射影，如果点M的坐标为已知，它的向径的长度就可以按照比法高尔定理来确定。=+x2+y2 。在根号前取+号，因为（向量的长）永远是正的。在书中常常把叫做向径。尽管这是不精确的：因为它不是向径，而是向径的长度，可是为了简单，并且为了和

5、通过的术语一致，我们有时也就是这样表示。（一） 向量在坐标轴上的射影我们现在解决下面的问题。已知两点A1（x1，y1）与A2（x2，y2），从而向量A1A2就被确定。现在确定向量在坐标轴上的射影。以P1与P2顺次表示点A与A在X轴上的射影，以Q1与Q2表示在Y轴上的射影。就有：x=P1P2=P1O+OP2=-x1+x2=x2-x1 y=Q1Q2=Q1O+OQ2=-y1+y2=y2-y1 就是，向量在坐标轴上的射影等于该向量终点坐标减去起点坐标（横坐标或纵坐标要看投影到哪一个轴上来决定）。在此公式中不得调换向量的终点和起点。公式的结论，用以前建立的有向线段的性质为基础，而不依赖于图形，这公式对向

6、量A1A2的任何位置都成立。2 利用坐标法解决简单问题（一） 两点间的距离 我们现在解决下面的问题：已知两点A1和A2；确定它们之间的距离。在解析几何学里，点永远有它自己的坐标，因此所讲的问题可以写成这样：已知点A1与A2的坐标；计算它们之间的距离。在解析几何学里，所有的问题都是用计算来解决，而不是用图形解决（虽然在推演公式时，有时我们也利用图形）。于是，设已知点A1（x1，y1）与A2（x2，y2）。用d表示A1A2的长。数x1、y1、x2、y2是已知的，d是未知的。为了求距离d，可以作出矩形A1CA2B。它的边长等于向量A1A2在坐标轴上射影的绝对值，而A1A2是对角线。于是d=+x2-x

7、12+y2-y12。公式给出了两点间的距离。这个距离不依赖于哪一个点作为第一个，哪一个作为第二个。因此，如果把公式的x2-x1写成x1-x2或者把y2-y1写成y1-y2，那么d应当不改变。则距离不改变，（二）向量对坐标轴的倾斜角 设已知两点A1（x1，y1）与A2（x2，y2）。这两点完全确定了向量A1A2。我们求这向量对两坐标轴的倾斜角。解这个问题时，我们利用向量在坐标轴上射影的两种表达的情况。第一：x=dcos，其中d是向量A1A2的长就是d=+x2-x12+y2-y12，而是向量A1A2对X轴的倾斜角（此角是未知的）。第二：x=x2-x1，使这两个表达式相等：dcos=x2-x1cos

8、=x2-x1d。把向量A1A2投射到Y轴上，我们类似的求得：cos=y2-y1d。其中是向量A1A2对Y轴的倾斜角。不难想到cos=sin。于是cos=x2-x1d，cos=y2-y1d， 其中d=+x2-x12+y2-y12 公式给出了向量对X轴的倾斜角的正弦和余弦。在这些公式中不得变更附标的次序，即从向量终点的坐标减去起点的坐标。如果向量A1A2变为相反的向量A1A2，那么公式的正弦与余弦变更符号。在几何学中这说明：如果向量A1A2对X轴的倾斜角为，那么相反的向量A2A1与X轴组成叫180+，便得cos180o+=-cos，sin180o+=-sin，tan=x2-x1y2-y1。公式中的

9、附标次序变更，不影响tan，这说明：tan（180o+）=tan。因此，公式对于向量A2A1与向量A1A2都成立，就是说公式确定了线段对X轴的倾斜角的正切称为线段的角系数。公式给出了线段A1A2的角系数。（三）线段的定比划分问题的提出：给出两点A1与A2，求以定比划分线段A1A2的点B。我们回想在解析几何学中谈到已知，就是给定了点的坐标，而所求点，就是要计算点的坐标。注意，如果点B在线段A1A2上，那么数=A1BBA2称为B划分线段A1A2的比。注意在分子上取由线段起点到分点的线段，分母上取由分点到终点的线段。谈过上述的说明以后，我们回到所要讲的问题。已知点A1x1，y1与A2x2，y2。求点

10、B（x，y），此点位于线段A1A2上，且以比划分该线段。这里已知数是x1，y1，x2，y2及，而未知数是x与y。可以写成下列的比例：x-x1x2-x=x=x1+x21+ 。y-y1y2-y=y=y1+y21+ 。如果点B是线段的中点，那么=1。便得：x=x1+x22 ，y=y1+y22 线段中点的横坐标（纵坐标）是线段两端点的横坐标（纵坐标）的算术平均数。例2 在木棒的两端点放置两质量，木棒的质量可以忽略不计；在点（-2，4）的质量为5克，点（10，-2）的质量为10克。求其重心。解 重心在线段两端点（-2，4）与（10，-2）之间，且划分这线段为两部分，与其两端点的质量成反比，即=10克/5

11、克=2 。因此x=-2+2101+2=6 ，y=4+2(-2)1+2=0 。（四）三角形的面积设已知三点A1x1，y1、A2x2，y2、A3x3，y3，求三角形ABC的面积。跟平常一样，用字母a1、a2、a3记三角形的边，面积Q就有下列的表达式：Q=12a2a3sinA1 （*）。首先，计算sinA1，我们研究向量A1A2、A1A3。根据角的加法：X，A1A2+A1A2，A1A3=X，A1A3，由此 A1A2，A1A3=X，A1A3-X，A1A2=-，于是 sinA1A2 ，A1A3=sin-=sincos-cossin。sin=y3-y1a2，cos=x3-x1a2，sin=y2-y1a3，

12、cos=x2-x1a3，sinA1A2 ，A1A3=y3-y1a2x2-x1a3-x3-x1a2y2-y1a3。（*）这里着重指出：如下图如果三角形顶点A1、A2、A3的顺序与时针的方向相反，那么从向量A1A2到向量A1A3的旋转就与时针相反，就是说：角A1A2 ，A1A3是正的。显然，角A1A2 ，A1A3是三角形的内角，就是角A1。所以把表达式（*）代入公式（*），即得三角形面积的公式：Q=12a2a3（y3-y1a2x2-x1a3-x3-x1a2y2-y1a3）则：Q=12y3-y1x2-x1-x3-x1y2-y1 =12x1y2-y3+x2y3-y1+x3y1-y2。（a） Q=12x

13、1y11x2y21x3y31。 （b）如果三角形顶点A1、A2、A3的顺序是顺时针方向，角A1A2 ，A1A3就是负的，就是它的正弦是负的（因为在三角学里把三角形的角认为是本质上正的），即，sinA1=-sinA1A2 ，A1A3。最后的结果 Q=- 12x1y2-y3+x2y3-y1+x3y1-y2。(a) Q=- 12x1y11x2y21x3y31 。 （b）如果我们约定在所有的情况下（不论顶点的位置如何）都利用公式（a）或（b），那么在第一种情况下，就这两公式给了我们三角形的面积，而在第二种情况给了负面积（面积本身是本质上为正的量）。这样Q不是单纯地表示三角形的面积，而是表示带有正号或负

14、号的面积。这就依赖于顶点位置的顺序。最后结论。当计算三角形面积时，总可以利用公式(a)或(b)。绝对值表示三角形的面积，而符号要看三角形顶点的位置环绕的顺序来决定（正好是反时针方向，负号是顺时针方向）例 计算以A（2，5）、B（3，-1）、C（-1，1）为顶点的三角形的面积：解：由于顶点A,B,C的位置为顺时针方向，故：Q=- -11-111=-11=11 。答：所给三角形的面积等于11。3. 坐标变换（一） 问题的提出任意一点M的坐标依赖于此点关于坐标轴的位置。如果我们移动坐标轴，但点M不动，点M的坐标就改变了。现在我们研究下列的问题：已知某一点在旧坐标系中的坐标后，计算该点在新坐标系中的坐

15、标。反过来说，已知某一点在新坐标系中的坐标后，计算这点在旧坐标系中的坐标。为了解决这两个问题，当然必须要知道新坐标轴关于旧坐标的位置。图中画出两个坐标系：旧坐标系和新坐标系。旧坐标系以O表示原点，而新坐标原点以O表示，依此类推。怎样确定新轴关于旧轴的位置呢？为了回答这个问题，我们研究如何移动旧轴使与新轴重合。为此可以这样做：（1）不要改变轴的方向，把坐标原点从O移到O。于是，坐标系XOY变为XOY；(2)然后绕点O以这样的角O旋转坐标系，使轴OX与轴OX重合；这时，轴OY显然与OY重合。于是，任何坐标变换（就是由一个坐标系变换到另一个坐标系）可以分为两种变换；坐标原点的平移及坐标轴的转换。在平

16、移时，坐标原点变动，而两轴保持原来的方向移动。在坐标轴旋转时，坐标原点保持原点的位置。也可以先旋转两轴，然后平移。由此得知，为了确定新坐标系关于坐标系的位置，必须指出把原点移到哪一点，就是要指出新原点的坐标（自然在旧坐标系中），并且以怎样的角度旋转整个坐标系，就是要指出旧横坐标与新横坐之间的角（显然，此角等于旧坐标和新坐标轴之间的角）。由上所述，最后可以把坐标变换这样表述：点M有坐标（x，y）。如果平移坐标原点到点O（a，b），并且旋转坐标系以角度，则点M将有坐标（x，y）。要求1.已知新坐标，计算旧坐标。2.已知旧坐标，计算新坐标。在第一个问题中，已知数是x、y、a、b和，而所求数是x与y。

17、在第二个问题中，已知数是x、y、a、b和，而所求数是x与y。（二） 坐标原点的平移设原点有点O移至点O（a，b），轴的方向仍然不变。设P是点M在X轴上的射影，且P是M在X轴上的射影，A表示O在X轴上的射影，B表示O在Y轴上的射影。我们有：x=OP。用点A划分线段OP，就有：x = OA+AP = OA+OP = a + x。同样，y = OQ = OB+BQ = OB+OQ = b + y 。最后两式用新坐标表达旧坐标。得到：x= x-a，y= y-b。于是，平移原点时，坐标变换公式是这样：x=x+a，y=y+b， x=x-a，y=y-b，（三） 坐标轴的旋转将坐标轴旋转以角，坐标原点仍旧不动

18、。点M按旧系有坐标，x=OP，y=PM,按新系，x=OP，y=PM 。（如图）折线OPM与OPM有共同的起点和终点；因此，把这两折线投射到任一轴上，我们得到同一的结果。我们将这两折线投射到旧坐标轴上：射影xOPM=射影xOPM 。把折线的分支看做有向线段，展开此等式：射影xOP=射影xPM 。=射影xOP=射影xPM 。(*)应用有向线段在轴上的射影公式，得到：x=xcos+ycos（90+）=xcos-ysin 。于是，我们用新坐标表出了x。要以新坐标表y，必须把同样的两折线投射到Y轴上。射影YOPM=射影YOPM 。 射影YOP=射影YPM 。=射影YOP=射影YPM 。 y=xcos（-90）+ycos=xsin+ycos 。 我们得到以新坐标表达旧坐标的一对公式：x=xcos-ysin，y=