第三章空间向量与立体几何单元检测2(人教A版选修2-1

1、第三章 空间向量与立体几何 单元检测2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知非零向量a、b，及平面，若向量a是平面的法向量，则ab0是b所在直线平行于或在内的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，b0，a是平面的法向量， b所在直线平行于或在内，反之结论也成立2下列说法中不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，n

2、b，那么n就是平面的一个法向量答案D解析只有当a、b不共线时，D才正确3已知矩形ABCD，PA平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是()A.0B.0C.0 D.0答案B解析DA平面PABDAPB0；同知0；PA平面ABCDPACD0；若0，则BDPC，又BDPA，BD平面PAC，故BDAC，但在矩形ABCD中不一定有BDAC，故选B.4如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案A5已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2答案A解析ab，存在实数k，使bka，即：(6,

3、21,2)(kk,0,2k)，或，故选A.6. 在正三棱柱ABCA1B1C1，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小()A60 B90C105 D75答案B解析解法一：设a，b，c，AB，则|a|b|，|c|1，ac0，bc0，ab1.ac，(ba)c，ab|a|2accbca|c|20，即AB1C1B.解法二：取AC中点D，建立如图所示的坐标系设AB1，则B，C1，A，B1，cos，0.AB1与C1B所成的角为90.7在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是()A.2B.C.0D.0答案C解析点M在平面ABC内，对空间任一点O，有xyz且xyz1，故A、B、D均不对8如图，P

4、是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PAAB，PAAF，为求P与CD的距离作PQCD于Q，则()AQ为CD的中点BQ与D重合CQ与C重合D以上都不对答案C9如图，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OMMA，N为BC中点，则等于()A.abcBabcC.abcD.abc答案B解析()(bc)aabc.故选B.10如图ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60答案D解析正方体中，BDB1D1，且BD面CB1D1，知BD平面CB1D1，A正确；AC1在面ABCD内的射影为AC

5、，又ACBD，由三垂线定理知AC1BD.故B正确；同理可得AC1B1D1，AC1CD1，且B1D1CD1D1，AC1平面CB1D1，故C正确；由ADBC知，B1CB为AD与CB1所成的角，应为45，故D错误11已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则与的夹角为()A30 B45 C60 D90答案C解析(0,3,3)，(1,1,0)设，则cos，60.12已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD的长等于()A3 B4 C5 D6答案C解析解法一：设D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)，(x5，y6，z2)，(0,4，3)，

6、且，|5.解法二：设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23.(4,45，3)，又(0,4，3)，4(45)3(3)0，|5.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13过二面角l内一点P作PA于A，作PB于B，若PA5，PB8，AB7，则二面角l为_答案120解析设a，b，由条件知|a|5，|b|8，|7，AB2|2|ba|2|b|2|a|22ab64252ab49，ab20，cosa，b，a，b60，二面角l为120.14若ABC中，ACB90，BAC60，AB8，PC平面ABC，PC4，M是AB上一点，则PM的最

7、小值为_答案2解析由条件知PC、AC、BC两两垂直，设a，b，c，则abbcca0，BAC60，AB8，|a|CA8cos604，|b|CB8sin604.|c|PC4，设xx(ba)，则cax(ba)(1x)axbc，|2(1x)2|a|2x2|b|2|c|22(1x)xab2xbc2(1x)ac16(1x)248x21632(2x2x1)64228，当x时，|2取最小值28，|min2.15已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为_答案解析不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系，其中x轴

8、垂直于AB，y轴平行于AB.则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则，(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由，解得n(，1,1)又，sin|cos，n|.16正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为_答案120解析如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0，a0，y

9、0，xz，令z1，则n(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m(1，1,0)，cosn，m，而二面角ABD1B1为钝角，故为120.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？请说明理由解析设c1a2b，则1，2.即cab.a、b不共线，a、b、c共面18(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG2GD，a，b，c，试用基底a，b，c表示向量.解析BG2GD，.又a

10、c2b，b(ac2b)abc.19(本小题满分12分)如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是ABC和BCD的重心求证：PQ平面ACD.证明P、Q分别是ABC和BCD的重心().即PQAD，又PQ 平面ACD，AD平面ACD，PQ平面ACD.20(本小题满分12分)已知空间三点A(0,2,3)，B(2，1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与、垂直，求向量a.解析设a(x，y，z)，由题意得，解得或所以a(1,1,1)或a(1，1，1)21(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABCABC的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC上是否存在一点N，使得MNAB？若存在，

11、请指出它的位置；若不存在，请说明理由解析假设在直线CC上存在一点N，使得MNAB，设x.x，()0，即xx20，|cos，4x0.4x0，x.即在直线CC上存在一点N，当|时，MNAB.22(本小题满分14分)(2010重庆理，19)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解析解法一：(1) 如下图，在矩形ABCD中，ADBC，从而AD平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离因PA底面ABCD，故PAAB，由PAAB知PAB为等腰直角三角

12、形，又点E是棱PB的中点，故AEPB.又在矩形ABCD中，BCAB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BCPB，从而BC平面PAB，故BCAE，从而AE平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离在RtPAB中，PAAB，所以AEBP.(2)过点D作DFCE，交CE于F，过点F作FGCE，交AC于G，则DFG为所求的二面角的平面角由(1)知BC平面PAB，又ADBC，得AD平面PAB，故ADAE，从而DE.在RtCBE中，CE.由CD，所以CDE为等边三角形，故点F为CE的中点，且DFCDsin.因为AE平面PBC，故AECE，又FGCE，FG綊AE，从而FG，且G点为AC的中点连接DG.则在RtADC中，DGAC.所以cosDFG.解法二：(1)如右图，以A为坐标原点，射线 AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)因此(，0，)，(0，a,0)，(，0，)则0，0，所以AE平面PBC.又由ADBC知AD平面PBC，故直线 AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|.(2)因为|，则D(0，0)，C(，0)设平面AEC的法向量n1(x1