第五节向量空间2011

1、第五 节 向量空间教学目的：掌握向量空间的概念与性质，能正确判定一个向量集合是否为一个向量空间.掌握向量空间基的概念，会求向量空间的基.教学方法：讲授法与指导练习相结合教学过程：一、向量空间的概念1.【定义6】设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法与乘数两种运算封闭（即若，则；若，则.），则称集合为向量空间.例1 可以验证 3维向量的全体为三维向量空间. 维向量的全体为维向量空间.时，维向量空间具体的几何意义.例2 判断下列向量集合是否为向量空间（1）是向量空间.（2）不是向量空间，因为对加法运算不封闭.（3）不是向量空间，因为对加法运算不封闭.（4）不是向量空间，因为对乘数运算不封闭

2、.（为负数不成立）（5）不是向量空间，因为对加法运算不封闭.（6）齐次线性方程组的解集是向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）.（7）设为两个已知的维向量，则集合是一个向量空间.称为由向量，所生成的空间.2.结论： 一般地，向量组生成向量空间 .（8）一个零向量构成向量空间.3.结论：若一个向量集合不含零向量，则此集合一定不构成向量空间.例3 设向量组与向量组等价，记，；试证明 .证 设，则可由线性表示，又因为 向量组与向量组等价，所以 也可由线性表示；所以，从而.同理可证 ，故 .4.【定义7】设为向量空间，如果个向量，且满足（1）线性无关；（2）中任意一个向量都可以由线性表示；则向量组称为

3、向量空间的一个基，称为向量空间的维数，为维向量空间.如果向量空间没有基，则它的维数是零，零维向量空间只含有一个零向量.3.说明：若把向量空间看作一个向量组，则的基就是该向量组的最大线性无关组，的维数就是向量组的秩. 向量空间的维数不超过其向量的维数. 的维数记为：.称为维向量空间. 的维数是，中任意个线性无关的向量都是的一组基.例4 判断下列线性空间的维数（1）是维向量空间.（2）齐次线性方程组的解集是向量空间.若，且，则为维向量空间.（3）若向量组线性无关，则由向量组生成向量空间 的维数是.（4）一个零向量构成向量空间. 则它的维数是零.二、向量空间的性质1.【定义】设有向量空间和，若，则称

4、是的子空间.注意：1）由维向量构成的空间，都是的子空间.2）向量空间是自身的子空间；零向量集合是同维任何向量空间的子空间.3）平凡子空间：零子空间与自身；其余都是非平凡子空间.2. 【定义8】设是向量空间的一组基，则对，都有.其中数组称为在基下的坐标.特别地，在维向量空间中取单位坐标向量组为基，则以为分量的向量可以唯一表示为.从而向量在基下的坐标就是该向量的分量，即称为的自然基.例5 设，验证是的一组基，并求在这个基下的坐标.分析 先证线性无关即为的基；再解矩阵方程，其中为在基下的坐标.解 ；为的基；又由 知 在基下的坐标分别为.例6 在中取定一个基，再取一个新基，设，求用表示的表示式.（基变

5、换公式），并求向量在两个基中坐标的关系式（坐标变换公式）.解 ；故 ；即基变换公式为 ，其中称为从旧基到新基的过渡矩阵.设向量在旧基和新基中的坐标分别为和，即 ，；则，所以（坐标变换公式，其中 ）.例7 设,证明由向量组与向量组分别生成的空间相等即 .证 记，则,有二阶非零子式所以 ，又 从而 ，所以 向量组与向量组等价.所以与互相包含，故 .例8 已知的两个基分别为(1) 及 ，求由基到基的过渡矩阵.解 ，；故 为所求的过渡矩阵.小结：1.向量集合称之为向量空间的充要条件是集合中的元素对加法运算与数乘运算封闭.检验一个向量集合是否为向量空间即检验上述两种运算.但若集合不含零元素，则一定集合不是向量空间.2.向量空间的维数就是向量空间构成的向量