第五节函数极限与最大值最小值

1、第五节 函数极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点和就是具有这样性质的点，易见，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“峰顶”；同样，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.内容分布图示 函数极值的定义 函数极值的求法 例1 例2 例3 第二充分条件 例4 例5 例6 最大值最小值的求法 例7 例8 例9 例10 例11 例

2、12 例13 内容小结 课堂练习 习题3-5 返回内容要点： 一、 极值的概念 二、极值的必要条件 三、 第一充分条件与第二充分条件 四、 求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数的定义域，并求其导数;（2）解方程求出的全部驻点与不可导点;（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值. 五、 求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在上的最大

3、（小）值的步骤如下：（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲： 求函数的极值例1（讲义例1）求出函数的极值.例2（讲义例2）求函数的极值.例3 求函数的单调增减区间和极值. 例4（讲义例3）求出函数的极值.例5（讲义例4）求函数的极值.例6 求出函数的极值.求函数的最大值最小值例7（讲义例5）求的在上的最大值与最小值.例8 求函数在上的最大值及最小值.例9（讲义例6）设工厂A到铁路线的

4、垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?例10（讲义例7）某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?例11 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.例12 由直线及抛物线围成一个曲边三角行, 在曲边上求一点, 时曲线在该点处的切线与直线及所围成的三角形面积最大.例13 求数列的最大项. (已知) 课堂练习1. 下列命题正确吗?若为的极小值