第八节二阶常系数齐次线性微分方程

1、第八节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。教学内容：若 （1）中为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。记： （2）将代入（2）中有，称为（2）的特征方程。 （3）设为（3）的解。（1）当即时，为其通解。（2）当即时，（3）只有一个解。（3）当即时，有是解。利用欧拉公式可得实解，故通解为。求二阶常系数齐次线性微分方程 （2）的通解

2、的步骤如下：1 写出微分方程（2）的特征方程 （3）2 求出特征方程（3）的两个根、。3 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：特征方程的两个跟微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例1 求微分方程的通解。解 所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为例2 求方程满足初始条件，的特解。解 所给方程的特征方程为其根是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 将条件代入通解，得，从而将上式对求导，得再把条件代入上式，得。于是所求特解为例3 求微分方程的通解。解 所给微分方程的特征方程为其根为一对共轭复根，因此所求通解为例4

3、 在第七节例1中，设物体只受弹性恢复力的作用，且在初瞬时的位置为，初始速度为。求反映物体运动规律的函数。解 由于不计阻力，即假设，所以第八节中的方程（1）成为 （4）方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。 反映物体运动规律的函数是满足微分方程（4）及初始条件的特解。方程（4）的特征方程为，其根是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为 。应用初始条件，定出。因此，所求的特解为。 （5）为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令于是（5）式成为， （6）其中 。函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定）。函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为，初相为，周期为，角频率为，由于（见第八

4、节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。例5 由第七节例1中，设物体受弹簧的恢复力和阻力的作用，且在初瞬时的位置，初始速度，求反映物体运动规律的函数解 小阻尼情形 n k 无振荡现象，对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置临界阻尼情况n = k 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点，无振荡现象 ，即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置可扩展到阶常系数微分方程特征方程: 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项若特征方程含 k 重复根则其通解中必含对应项若特征方程单实根r则其通解中必含对应项若特征方程一对单复根则其通解中必含对应项例6 解方程通解为 例7 解: 特征方程 即 其根为 方程通解小结与思考：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当特征根形式不同时，通解具有不同形式。用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的方法和步骤为：写出微分方程的特征方程；求出特征方程的根，即特征根和