层次分析法例题94055

1、学 建 模 作 业班级：高分子材料与工程姓名：林志许、朱金波、任宇龙学号：1211020115 1211020126 1211020134层次分析法某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其 层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格，目标层判断层购买设备A功能B1价格B2维护性B31f产品C1产品C2产品C3图设备采购层次结构图B3表示可维护性。C1， C2， C3表示备选的3种品牌的设备解题步骤:1、标度及描述人

2、们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相 邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。为了便于将比较判断定量化，引入19比率标度方法，规定用1、3、5、 7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、 较强重要、强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的 折衷值。标度定义（比较因素i与j ）1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、4、6、8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比较得判断矩阵aij ,则

3、因素j与i相比的判断为aji=1/aj注：aj表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：aj =1/aji ； aH =1; i , j=1 , 2,，n显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。2、构建判断矩阵A判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：判断矩阵A B（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性 比较）如表1所示；判断矩阵B! C（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；判断矩阵B2 C（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示； 一 判断矩阵Ba C（相对可维护性，各方案的相对

4、重要性比较）如表4所 示。表1判断矩阵A BABiB2B3Bi11/32B2315Ba1/21/51表2判断矩阵B CB1C1C2C3C11l/31/5C2311/3C3531表3判断矩阵B2-CB2C1C2C3C1127C21/215C31/71/51表4判断矩阵Ba CB3C1C2C3C1131/7C2l/311/9C37913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在AH法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值求和法1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）： bj = a, / %;2） 将归一化的矩阵按

5、行求和：Ci = g （i=1 , 2, 3.n ）；3）将Ci归一化：得到特征向量 W （w, W,W ） T, W=Ci /羽，W即为A的特征向量的近似值；4）求特征向量W寸应的最大特征值: 几二乞（沁）n W.-求根法1） 计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；W :aj（i =1,2,，n ）wiT2） 将Wi归一化，得到Win _ ; W= （w, W2,wn ）即为A的特征Wii 1向量的近似值；3）求特征向量W寸应的最大特征值: 七（沁） n w.-（1）判断矩阵A B的特征根、特征向量与一致性检验 计算矩阵A B的特征向量。计算判断矩阵A B各行元素的乘积Mi ,并求其n次方根

6、，如3 M10.874 ,类似地有，W2 3 M22.466 ,W 3 M30.464。对向量 WW W2, WnT规范化，有0.8740.874 2.466 0.4640.230类似地有W2 0.684 , W30.122。所求得的特征向量即为:W 0.230, 0.648, 0.122T 计算矩阵A B的特征根11/3 2AW 315 0.230,0.648, 0.122T1/2 1/511AW1 1 0.230 0.648 2 0.122 0.69类似地可以得到 AW 1.948 , AW30.3666按照公式计算判断矩阵最大特征根：maxn (AW)i0.691.9480.36663

7、0.2303 0.6483 0.1223.004 一致性检验。实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错 误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果 又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性 检验。根据层次法原理，利用A的理论最大特征值 入ax与n之差检验一致性。 致性指标：CI -一 ji -1J/)n :w；计算CImax30.002 0.1 , CR3 1CIRI0.003 0.1，查同阶平均随机一致性指标(表5所示)知RI 0.58 ,(一般认为Cl0.1、CR0.105+0.6480.529+0.1220.149=0.426方案C2的重要度(权重)=0.230 0.258+0.6480.333+0.1220.066=0.283方案C的重要度（权重）=0.230 0.637+0.648X0.075+0.122 0.785=0.291依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排序如表6所示。表6层次总排序层次B1B2B3层次C层次0.2300.6480.122总排序权重C10.1050.5920.1490.426C20.258