线性代数高数基础知识框架

1、 线性代数知识框架 A可逆 ?r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ?A的特征值全不为0 ?Ax?0只有零解 ? ?x?0，Ax?0 ?A?0? ?n?总有唯一解 Ax?R,?TA是正定矩阵A ?A?E ?A?pp?p p是初等阵12si?存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E?nnnR维向量空间. 注：全体叫做维实向量构成的集合A不可逆 ?r(A)?n ? A?0?A的列（行）向量线性相关 ?0是A的特征值 ?0关于的特征向量?0有非零解,其基础解系即为AAx?r(aE?bA)?n ?aE?bA?0?(aE?bA)x?0有非零解 ? 注：?=- a? b向量组等价?)?矩阵等价(?具

2、有?反身性、对称性、传递性 ?)(矩阵相似? ?)(矩阵合同? e,e,?,e 关于：n12nn 中的自然基，单位坐标向量的标准基，；称为p152教材 ee,?e, 线性无关；n12 1e?,e,e?, ；n12nE=tr ；e,e,e,?n. 维向量都可以用线性表示任意一个n21 aaa11211naaa?n22212 (jjj)aa1?D?(?)a 行列式的定义 n12 njjn1j2n21 jjj n21 aaa nnnn12 行列式的计算： 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. . 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对

3、应元素的代数余子式乘积之和等于零 OAOAA?B?=A? BOOBB?B与A 则都是方阵（不必同阶）,若 AOA?mnBA1)=?(? OBOB. 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积aO?a n11naa1)?n(n11?2n2n?a?(?1)aa? 关于副对角线： 21n1nn2 aaOOn1n1 111xxx12n? ?222x?x?xxx 范德蒙德行列式：ji12n 1n?i?j? 11n?n1n?xxxn21aaa ?n11112?aaa?n21222 AaA?nnnm?mm?A 记作：矩阵列的表 矩阵的定义由称为.个数排成的或行 n?mij?n?m ? aaa?mn

4、m1m2 AAA?111n21?AAA?T?2n1222 *AA A?A?中各个元素的代数余子式. ，伴随矩阵 为 ijij? ? AAA?nn21nn : 逆矩阵的求法 ?1bbd?a?A11?A 注： ? dc?cabcad?A?初等行变换1?)EAE)?(A ?1?111aa? aa?11?31?a?a11? ? 22aa22?aa?11?33? aa13mnnmmnm?n)A)?(AA?AA 方阵的幂的性质： ?,BA,?,BA?，的列向量为 设的列向量为, ,?sm?nn?n12s21bbb?s11112?bbb?s21222?Ax?cAc?AB?C)1,2,s(i?cc?,?,c,

5、?的为则，解 iim?sis1n221?i ? bbb? nsn12n? T?c,c,c,?,?c?,?c,cA?A,AA,?,?,ACB为系数矩阵同理：的行向量能由可由. 的行向量线性表示，线性表示. s21n12s2s12s121左行? 向量； , 用对角矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的乘一个矩阵 右列?向量. 用对角矩阵的对角线上的各元素依次乘此矩阵的,乘一个矩阵相当于用 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. TTTBA?CA? 分块矩阵的转置矩阵：?TTDCDB?1?1?11AA?BA? 分块矩阵的逆矩阵：?11?BBAB?11?11?1?1ACOA?OCBA

6、AA? ?11?COBB?BBOBCA?ABAB?11111111?ABA?,B? 分块对角阵相乘：?ABAB?22222222*A?BA?分块对角阵的伴随矩阵： ?*BAB? (I)AX?B 或 (II)XA?B0A? )( 矩阵方程的解法：设法化成初等行变换?B)的解法：构造(A(I)?(EX) TTT，XB?(II)的解法：将等式两边转置化为A TX的方法求出X，再转置得 用(I)A,B0?Ax?0Bx列向量个数相同） ,同解（则：与 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. ?pBA0Bx?Ax?0P?BPA ）同解的行向量

7、组等价矩阵 与齐次方程组（左乘可逆矩阵与；nnm?l101教材?BAPQ?BQ. 与矩阵 ）（右乘可逆矩阵的列向量组等价n?ln?m?,Ax?0的基础解系的条件： 判断是 s21?, 线性无关； 21s?,0?Ax 都是的解；21ss?n?r(A)?每个解向量中自由未知量的个数 . 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 两个向量线性相关p

8、114教材?,?,i1(n)都是此向量组的线性组合 向量组. 中任一向量i12n?,?n?1个向量线性表示线性相关向量组 . 向量组中至少有一个向量可由其余n12?,?n?1个向量线性表示都不能由其余. 线性无关向量组向量组中每一个向量i2n1?,?,m?r(A)?n； 维列向量组线性相关 n12?,?,m?r(A)?n. 维列向量组 线性无关n12r(A)?0?A?O. ?,?,?. 线性相关,且表示法唯一,可由线性无关，而若 则线性表示n12n21n21?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数列向量组的秩. ? 矩阵的行向量组的秩 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶

9、梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为可画出一条阶梯线，线的下方全为1行阶梯形矩 0时，称为行最简形矩阵且这些非零元所在列的其他元素都是 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 行左AA；等于用相应的初等矩阵对 施行一次初等乘变换得到的矩阵,列右AA. ,对等于用相应的初等矩阵施行一次初等乘变换得到的矩阵 r(A)?rrrAr?1A 的秩为记作阶子式均为零，则称矩阵矩阵的秩 如果矩阵.存在不为零的阶子式，且任意 ?),r

10、(, 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作向量组的秩n121n2 ABA?B 经过有限次初等变换化为 记作：. 矩阵等价 ? ?,?,?,?,? 记作： 向量组等价可以相互线性表示. 和,?n12n221n1n21 ?r(A)?r(BB)?A,BPAQ?QP,BA作为向量组等价等价,即：秩相等的向量组不一定等价与可逆. ? 矩阵，?),?,)?r(,r(,?,?)r(?,?BA 矩阵作为向量组等价与nnnn22212111AB等价. 与矩阵?),?,?,r),?(r(,?,)=r(,?,?,),r(,?BAX?向量组 ?. 线性表示可由向量组有解n122n112sns21

11、12s21n21?,?,?ns?向量组 ?. 线性相关且线性表示,可由向量组，则s221s1n21?,?,?sn. ,则向量组线性无关,且可由线性表示s12n12?),?rr(,?,?,?,),?向量组? ,线性表示,且则两向量组等价； 可由向量组pn22ss1121n2110例教材94,? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ?n,mA)?minr(r(A)?mAAnm?的行向量线性无关； ,若矩阵,? 若则是，?,?n)r(A?A线性无

12、关的列向量线性无关, 若即：，. n21 矩阵的秩的性质： r(A)(Ar若A?O?min(m,n)01 n?mTT)(AAA?r()?rr(A) p15101,例教材0若k?r(A) r(kA)? ?)BA),rmax(r()B)?rBrB)(A)?r()(rA,B)r(AAr(? p70教材AOOAAC?r(A)?r(B)r?rr(A)?r(B) ?OBBOOB?)Br(min(rA),)r(AB 若A,B,且r(AB)?0?r(A)?r(B)n s?nn?m若A可逆?r(AB)?r(B) 若B可逆?r(AB)?r(A) ?Ax?0 只有零解?AB?B?0?nr(A)?A在矩阵乘法中有左消

13、去律；若 且?nm?r(AB)?r(B)AB?AC?B?C?r(B)?n?r(AB)?r(B)B在矩阵乘法中有右消去律且. 若 s?n 初等矩阵的性质： ) TTT?Ej,i(i,j(k)k)(i(,j)Eik)(?Eik)EiE(,j)?E ?1?1?1)i)(E?Ei(k1?Ei,j)(Ei,jjE?(i,)(i,j(k)?k)E k*)i(?kE(Eik)1?EijiE),(Eij?(,),)(,Eijkj(?k) k? ?有无穷多解?Ax?n? ?表示法不唯一?为方阵时A当? 0 ?A?,?,?线性相关?Ax?0有非零解?n21?)r(Ax?A有解?r(A可由),?,?线性表示? n1

14、2? 有唯一组解?Ax? ? ? 表示法唯一?n?为方阵时当A?克莱姆法则A?0?线性无关?Ax?0只有零解?,? ?n12? r?(A?)r(A)? ?)A ?r不可由r(,A,线性表示?)Ax?(无解? n12?)(A1?r?r(A)? ? ?其导出组有非零解有无穷多解Ax?注： ?其导出组只有零解有唯一解 Ax? ?xx?x?Ax 线性方程组的矩阵式 向量式n122n1 baxaa?111n1211j1?bxaaa?222n21222j?,A?x? ,j?1?,2,n ?j ?baaxa ?mjmmn2nm1m x?1?x?2?,),(, n12? ?x ?n 矩阵转置的性( 质：矩阵可

15、逆的性( 质：伴随矩阵的性(A 的特征矩阵 质：?Ar(?)?n 若1 若若0 AkkkAAk AkA1（无条件恒成立）?也是它的解,?是Ax?0(1) 的解?2211?也是它的解k,kAx?0的解, (2)对任意是?齐次方程组?个常数,对任意k是Ax?(3) 0,的解,?k12?也是它的解? , ,?k211kk122? ? 线性方程组解的性质：?的解是?的解,?是其导出组Ax?0的解,(4) Ax是?Ax?的解?,0是Ax?是其导出组的两个解,Ax(5) ?2112?的解?0的解,则是其导出组也是它的解?(6) Ax是Ax2121?则Ax?(7) ,的解是?k12?1?也是Ax? ?的解?

16、kk121122k ? ?的解?0?是?Ax0?kk221k121?)A?r(r(A)nm?A)?mAxr(A 为,一定有解，,矩阵 设若 未知数的个数方程个数?nm?. 则该向量组线性相关,时 当,一定不是唯一解 向量个数向量维数?)和r(Ar(A)m. 的上限 是 nn1. 每个向量长度为 标准正交基两两正交个,维线性无关的向量, ?正交与),?(0. ?)?,?(1. 是单位向量 ?0?0,且(,?(,) 内积的性质： 正定性： ?),)?( 对称性：?)()?(,)(,?, 双线性：2121?)?)(,?,) 2121?)(c,(c),?)?c ?E?A. ?)(A?fE? A. 的特

17、征多项式?f(A()?OfA 的特征多项式是矩阵 ? 0?AEx ? Ax与x线性相关?AxA . 的特征方程 n? ? ?trA?AtrAA的迹 称为矩阵， . in211 n各元素上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的. ? 0?A?00?0Ax?A的线性无关的特征向量为若 的基础解系即为属于的特征值,则且. a?1?a?22?A)?abb?abA?(a?trA?ab?ab?ab1?(rA)AAA,bbb, 为、而,分定一可解为=从：的特征值n1212nn21112n21n? ?a? n?0?. pn23358指南?,)(Af A: 则， 若是多项式的全部特征值,n12? )f

18、()f(?Af()f)(),(f),f(,(f)f(A ；的全部特征值为n12n12?0(f)?0fA()?AA . ,满足若则的任何一个特征值必满足 i1m?mmm?1E?a?aA?aA?aA?f(x)ax?ax?axaf(A)nAA. 规定：，对的一个多项式 设阶矩阵为0m?mm?11m110? k kA? ba?bE?aA? TA?1?.分别有特征值的特征值,则:是A1?A? ?A?A ?312? ? ?22?A ?mm?A ? k?kA? ab?bE?aA? 11?A? ?的特征向量,则x是xA关于关于的特征向量.也是 ?A?A?312? ?2 A2? ?mAm? ?2mA,AA. 的

19、特征向量不一定是 的特征向量TAA. 与 有相同的特征值，但特征向量不一定相同 ?1APB?PPABAB 为可逆矩阵） 与 相似 （记为： ?1AP?PBPAB为正交矩阵） 与 正交相似 （ ?AAA?A的相似标准形） 与对角阵相似. 记为： （称 可以相似对角化是 ?1?kk?A)?n?r(EPAPnAAAP主对角线上的元,为 为对角阵的特征向量拼成的矩阵，为可相似对角化 ,这时. 个线性无关的特征向量恰有的重数iiii?A的线性无关的特征向量,则有：的特征值.设 素为为对应于ii?1?2?),(,A)?(A(?,A)?(,A,. n1nn211n1222n12? ? nPP ?0?n?r(

20、A)?Ax?0AA基础解系的个数可相似对角化 注：当的特征值时，的重数为. ii?r(A)A. 可相似对角化, 若则其非零特征值的个数（重数重复计算）nnAA可相似对角化. 个互异的特征值阶矩阵,有则若 ?)(?1?)(?2k1k?11?P?PA?AP?)PP(?)P?(A ，=若 ? ?)(?nBtrtrA? 相似矩阵的性质： BA?BA, 从而同时可逆或不可逆 )?rB(Ar( TT?1*?1*BAABBABA, ； （若均可逆）； kkf(A)?f(B)BA)f)(fAB(k （； 为整数）， AB?DC?AB, ?CD ? E?B?EAA,B有相同的特征值,从而但特征向量不一定相同.

21、?1?xxPBA. 是是关于:的特征向量的特征向量,关于注00 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ?E?A)n?r(nA）个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,一定有 该特征值. 的重数=ii TE?AA 正交矩阵 n?nAA. 的 的一组标准正交基为正交矩阵个行（列）向量构成 1?TA?A 正交矩阵的性质： ； TTEAAA?A?

22、 ； ；或正交阵的行列式等于 1-1T1?AAA ，,是正交阵 则也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A. 的行（列）向量都是单位正交向量组 nn? TTx?xAxax?f(x,x,x)aa?),x,xx?(xA ，即为对称矩阵，二次型 ji1n2ijjiijn121ji?1? T为可逆阵,为对称阵CA,BACCB?BABA （与 合同. 记作：） pr?p ；负惯性指数二次型的规范形中负项项数正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 2p?rr为二次型的秩. (符号差 ) 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. AB 两个矩阵合同的充分条件是： r(A)?r(B) 两个矩阵合同的必要条件是： 正交变换 n? T2合同变换Ax?x,f(x,x,x)yf?dCyx?. 化为经过 标准形n21ii1可逆线性变换 r(A) 唯一确定的但非零系数的个数是由. , 二次型的标准形不是唯一