工程力学弯曲应力

1、pPP第10章弯曲应力10-1 itt 曲纯弯曲：只有力而无0的平面弯曲.横力弯曲或剪切弯曲： 既有財又有0的平面弯曲.横力弯曲（剪切弯曲）：横截面上同时有剪力和弯矩.纯弯曲：如果横截面上剪力等于零，而弯矩为一常数，即只有正应力而无 剪应力.（由实验观察得如下现象：）a变形后，所有横向线仍保持为直线，只是相对倾斜了一个角度。b.变形后，所有纵向线变成曲线， 仍保持平行;上、下部分的纵向线分 别缩短和伸长。中性层与横截面的交线。中性层：梁内存在一个纵向层，在 变形时，该层的纵向纤维即不伸长 也不缩短，称为中性层。中性轴： 根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象相一致，可提出如下假设:a

2、.平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。b.各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成,纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算, 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。1、几何关系研究距中性层y处纵向纤维ub的变形:原长 ab oyo1 pd(p 变形后 ab = (p+ y)d(p(/? + y)dcp- pdcp ys =pd(ppp中性层弯曲后的曲率半径2、物理关系(7 = 8E =EPy3、静力学关系yMsFN = cdA = 0J A=0ycrdA = MMz(1)确定中性轴的

3、位置crdAAM=f 空 dA* p= -ydA = O pJA静矩Sr = f ydAO 横截面对z轴的挣矩J A人 ydA =ycA = O=yc=O中性轴 Z 一定通过横截面形丿y结论：中 性轴通过形心，与形心轴重合.M厂AP(3)导出弯曲正应力公式M z = J ycrdAE惯性矩y2dA = M P Ai z = L bdAP EIzEl截面的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力Z免军出：My三.正应力衣式的使用条件1、平面弯曲；2、具有纵向对称面的梁；3、材料在弹性范围内。 10-2横力弯曲时的正应力横截面上的最大正应力(Jmax全梁的最大正应力bmaxmax(1)等直梁令 W7 =

4、-Q抗弯截面模量/max圆形：矩形:空(1)32空心圆:(2) 变截面梁：综合考虑M和十 确定1Z(3) 无水平对称轴的梁最大弯曲拉应力最大弯曲压应力t maxMmax”c max弯曲强度条件叽=气严w Q抗拉压强度不等的材料max y 2 max例题：1、一外伸梁受力如图所示，材料的许用应力c=160MPa,横截面 为h/b=3的矩形，试确定此梁横截面尺寸h和b。20lcN mB-ukN/mnmnunm 例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用理截面，已z/zz沁N知材料的容许拉应力为b+ = 40MPa，容许压应力b_ = lOOMPa 试校核梁的强度。Lz2加il-lVKN/mrrrm

5、A10KNMy20KNIs*斋2UKNM解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩Mc = IOKNjm最大负弯矩Ma = 20KN.m（二）确定中性轴的位置截面形心距底边7/lfi30 x 170 x 85 + 30 x 200 x 185儿 _30 x 170 + 30 x 200=139mm(三)截面对中性轴的惯性矩=200x3()3 *20()%30%462 + 恥+ 30xl70x542 z 12 12= 40.3x106 加 （四）校核梁的强度（绘出应力分布图）1QKZM20KNM1-拉应力强度校核A截面为负弯矩，上部受拉+mab Amax=-?AJ11zc截面为正弯矩，下部受拉+Meb

6、 Cmax=yJ2max+_必刃2b Cmax 一 :=34.5MPa V 0+ = 40MPa拉应力强度足够。由于Me% ，最大拉应力发生在C截面下边缘10-4青曲剪应力1、矩形我面梁ID矩形截面梁的剪应力（推导略）在推导矩形截面梁的剪应力公式时，作如下两点假设:假设矩形截面上剪应力万的方向和剪力0的方向相同。IB假设截面上剪应力万沿宽度“是均匀分布的。C *导出的剪应力计算式为：=式中:I jbIDQ横截面上剪力IDS；需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分崔面积对中性轴的静矩。4个横截面对中性轴的惯性矩。ID一需求剪应力处横截面宽度02-4/)从上式可知，剪应力分布是沿 梁的高度按抛物线

7、规律分布C才2bymax图7-4ID在y =处 = o； 在y = 0处，剪应力最大，即:二 30 二 30Tmax = 2bh = 2A最大剪应力是平均剪应力平今的15倍。2.工字型截面梁的剪应力ID主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算OIDID2his图中因阴影部分面积对中性轴之 静矩。翼缘可按照矩形截面梁的剪应力公式计算:TmhiC V *式中：一腹板宽度图7-5=2 2止一虬+q空）2 442 4（按抛物线规律分布） 由式可知：歹=令时，厂最小;y = 0 时,b图7-53.圆形截面梁横截面上的最大剪应力IB园最大剪应力发生在中性轴上各点处T =1Q max a 43 A最大剪应力是

8、平均剪应力卸=弓的1U4心3借。最大剪应力发生在中性轴上各点处:b.薄壁圆截面最大剪应力是平均剪应力平晋的2倍。IDID4. 剪应力强度条件IDID梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴 上，若以表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴 的静矩，则梁的剪应力强度条件为：7max久X十（7 - 9）ID在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的 正应力强度条件和剪应力强度条件。在工程中，通常先按正 应力亟度条程丧鼻由截窗尺寸，燕后进行剪血力强鹿校核。例题：试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力 c=160MPa, T=80MPa。| 10kN| 20kN15kNQ ffi 一十1 5kN10kN20kN m1 选择合理的形状和截面Mf X =苗 W bMmax 9叫r zw.较大可以提高梁的弯曲强度（P107表7.1）2 适当布置载荷和支座的位置仃q4iiniinnBllllllliu .1A/ .L_6. 2/1q0.025才00.02川适当布置载荷和支座的位置 可以降低最大弯曲数值提高 梁的弯曲强度3 等强度梁等强度梁:梁上各横截面上的最 大应力