阶段性测试题二

1、阶段性测试题二(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20112012北京西城区期末)设函数f(x)xsinx的导函数为f (x)，则f (x)等于()AxsinxxcosxBxcosxxsinxCsinxxcosx Dsinxxcosx答案D解析f (x)xsinxx(sinx)sinxxcosx，故选D.2(20112012滨州市沾化一中期末)曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是()Ay7x4 B

2、yx4Cy7x2 Dyx2答案D解析y|x1(43x2)|x11，切线方程为y3x1，即yx2.3(文)(20112012广东韶关一调)函数yxex的最小值是()A1 BeC D不存在答案C解析yex(1x)，由y0得x1，由y0得x0时，f (x)0，f(x)为增函数，当x0时，f (x)0，f(x)为减函数，x1,1时，f(x)的最小值为f(0)e001，又f(1)12.51，最大值为e1.4(20112012豫南九校联考)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy30垂直，则a()A2 BC. D2答案A解析y，y|x3，()(a)1，a2.5(文)设曲线y在点处的切线与直线xay10平

3、行，则实数a等于()A1 B.C2 D2答案A解析y，f1，由条件知1，a1，故选A.(理)已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A. B2C2 D答案A分析由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜率”间的关系即可解析设切点坐标为(t，t3ata)切线的斜率为ky|xt3t2a 所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt) 将点(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得：t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由它们互为相反数得，a.6(文)(20112012泉州

4、五中模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f (x)的图象大致形状是()答案C解析设f(x)ax2bxc(a0)，二次函数的图象开口向上，a0，又对称轴为x1，即1，b2a0，f (x)2axb，应是增函数，排除A、B，其纵截距为负值，排除D，故选C.(理)二次函数f(x)ax2bxc的导函数yf (x)的图象如图所示，且f(x)的极大值为4，则f(3)()A16 B2C0 D8答案C解析f (x)2axb，由图知f (0)b2，f (1)2ab0，a1，f(x)x22xc，又f(x)的极大值为4，f(1)12c4，c3，f(3)322330.7(20112012湖北襄阳市调研)

5、设函数f(x)xlnx，则yf(x)()A在区间(，1)，(1，e)内均有零点B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析由f (x)0得x3，0x3时，f (x)3时，f (x)0，f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，)上单调递增f(3)1ln30，f(e)10得，x22x30，3x1，故选D.10(文)(20112012湄潭中学期末)曲线yx3在点(2，)处的切线方程是()A12x3y160 B12x3y160C12y3x160 D12y3x160答案A解析yx2，当x2时，y|x2

6、4，切线方程为y4(x2)，即12x3y160，故选A.(理)(20112012山东日照一模)曲线f(x)xlnx在xe处的切线方程为(其中e为自然对数的底数)()Ayx ByxeCy2xe Dy2xe答案D解析f (x)lnx1，f (e)lne12，又xe时，f(e)elnee，切线方程为ye2(xe)，即y2xe，故选D.11(20112012成都市双流中学月考)函数yf(x)在定义域(，3)内的图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf (x)，则不等式f (x)0的解集为()A1，B(，12,3)C(，1,2)D(，)，3)答案B解析f (x)0，f(x)单调递减，观察图象可见f(x)

7、在，1上和2,3)上单调递减，故选B.12(20112012大庆铁人中学期末)已知点P在曲线yx3x上移动，在点P处的切线倾斜角为，则的取值范围是()A0， B，)C0，)，) D0，)，)答案C解析y3x2，由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知tan，0或0，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lnylnf(x)(x)(x)lnf(x)，两边对x求导数，得(x)lnf(x)(x)，于是yf(x)(x)(x)lnf(x)，运用此方法可以求得函数yxx(x0)在(1,1)处的切线方程是_答案yx解析将yxx两边取对数得，lnyxlnx，两边对x求导数得，lnx1，yxx，y

8、xx(lnx1)，y|x11.yxx(x0)在点(1,1)处的切线方程为y11(x1)，即yx.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(20112012北京西城区期末)设函数f(x)x3ax212x的导函数为f (x)，若f (x)的图象关于y轴对称(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值解析(1)f (x)3x22ax12为偶函数，a0，f(x)x312x.(2)f (x)3x212，由f (x)0得x2，由f (x)0得2x0，f (x).又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，所以f

9、(1)a12，即a1.(2)由f (x).当a0时，对于x(0，)，有f (x)0在定义域上恒成立，即f(x)在(0，)上是增函数当a0，f(x)单调递增；当x(，)时，f (x)2时，g(x)0解得x1或x0的解集为(1，)，即f(x)的单调递增区间(1，)(3)假设存在实数a，使f(x)axlnx(x(0，e)有最小值3，当a0时，因为x(0，e，所以f (x)a0，所以f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a，舍去当0e时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，f(x)minf()1lna3，ae2，满足条件当e时，因为x(0，e，所以f (x)0，f

10、(x)单调递增；x(1，)时，f (x)g(1)1，所以b1.(理)(20112012长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学模拟)已知函数f(x)x2ax(a1)lnx，a1.(1)若a2，讨论函数f(x)的单调性；(2)已知a1，g(x)2f(x)x3，若数列an的前n项和为Sng(n)，证明：2，所以a11.故当1xa1时f (x)0；当0xa1时f (x)0.函数f(x)在区间(1，a1)上单调递减，在区间(0,1)和(a1，)上单调增加(2)由a1知g(x)x3x22x，所以Snn3n22n.可得an，an3n2n2.所以(n2)因为()所以(1)()()(1)0，故f(x)

11、在(1,1)上单调递增，f(1)2，f(1)2，f(x)的值域为2,2f(x1).依题意有g(x)最小值，函数g(x)lnx的定义域为(0，)，g(x).当a1时，g(x)0函数g(x)在1，e上单调递增，其最小值为g(1)a1合题意；当1ae时，若x1，a)，则g(x)0，g(x)在1，a)上单调递减，在(a，e上单调递增，g(x)的极小值为g(a)lna1，由lna1得，0a，1，不合题意综上所述，a的取值范围是a.(理)(20112012湄潭中学期末)已知函数f(x)ax22xlnx.(1)若f(x)无极值点，但其导函数f (x)有零点，求a的值；(2)若f(x)有两个极值点，求a的取值

12、范围，并证明f(x)的极小值小于.解析(1)f (x)2ax2，f (x)有零点而f(x)无极值点，表明在该零点左右f (x)同号，故a0，且方程2ax22x10中，0.由此可得a.(2)由题意，方程2ax22x10有两不同的正根，故0，a0.解得：0a，设2ax22x10的两根为x1，x2，不妨设x10，而在区间(x1，x2)上，f (x)0，故x2是f(x)的极小值点2ax2x210，a，由0a且x21，f(x2)ax2x2lnx2x2x2lnx2lnx2x2(x2且x21)，构造函数(x)lnxx(x且x1)，(x)1，当x0，当x1时，(x)0，(x)在x1处取到极大值，(x)(1)，

13、f(x)的极小值f(x2)0B1a1 D0a1答案A解析ya(3x21)0.2函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_答案a2或a0，解得a2或a1.3(20112012襄阳市调研)已知函数f(x)alnxbx2图象上点P(1，f(1)处的切线方程为2xy30.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)函数g(x)f(x)mln4，若方程g(x)0在，2上恰有两解，求实数m的取值范围解析(1)点P(1，f(1)在切线2xy30上，2f(1)30，f(1)1，故b1，又f(x)2bx，f (1)a2b2，a4，f(x)4lnxx2.(2)g(x)4lnxx2mln

14、4由g(x)0得：mx24lnxln4，此方程在，2上恰有两解，记h(x)x24lnxln4，则h(x)2x，由h(x)0得：x，2，在(，)上，h(x)0，h(x)单调递增，又h()42ln2，h()24ln2ln22，h(2)44ln22ln242ln2，h()h(2)，2m42ln2.5(20112012延边州质检)已知函数f(x)x2axlnx，aR.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析(1)当a1时，由f (x)2x1，函数f(x)x2xlnx的定义域为(0，)，当x(0，时，f (x)0，当x，)时，f (x)0，所以函数f(x)x2xlnx的单调递减区间为(0，单调递增区间为，)(2)f (x)2xa0在1,2上恒成立，令h(x)2x2ax1，有得