25.2圆的对称性

1、25.2 圆的对称性,你能再举出一些吗?,你能讲出几种形成圆的方法？,1、在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆。,固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径。,以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。,一、圆的定义,问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？,问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？,(1)图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）,(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上,因此，我们可以得到圆的新定义： 2、所有到定点(圆心O）的距离等于定长（半径r）的点组成的图形。,思考： 平面上有一个圆，这个平

2、面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系？,（1）点P在O上,（2）点P在O内,（3）点P在O外,OP=r,OPr,OPr,O的半径为r,二、点与圆的位置关系,三、圆的相关概念,1、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。,直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧 都叫做半圆。,2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB)。,3、经过圆心弦叫做直径(如直径AC)。,同圆中：半径相等，直径等于半径的2倍。,4、由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形。,如图中弦AB分别与AB及ACB组成两个不同的弓形。,能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。,在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。,C,D,B

3、,A,例1、已知，如图，AB、CD为O的直径。求证：ADCB。,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是中心对称图形吗？,如果是,它的对称中心是什么?,你又是用什么方法解决这个问题的?,四、圆的对称性,圆的对称性,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,圆也是中心对称图形.,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法即可解决这个问题.,求证：AE=BE,垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。,AB是O的一条弦，作直径CD,使CDAB,垂

4、足为E。,五、垂径定理,AB是O的一条弦,且AE=BE。过点E作直径CD.,E,垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧。,探索思考,CDAB,求证,例2、如图，O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离。,例3、赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧形,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥所在圆的半径。（结果精确到0.1m）,解得：R279（m）,D,C,R,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

5、,OA2=AD2+OD2,AB=37.4m，CD=7.2m，,OD=OCCD=R7.2,1、如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,练习,2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD,练习,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AE=BE,CDAB,E,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于

6、弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,3、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直径必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，

7、必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,练习,非直径的弦,非直径的弦,1、在直径是20cm的O中， AOB的度数是60，那么弦AB的弦心距是.,3、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.,4、已知P为O内一点，且OP=2cm，如果O的半径是4cm，那么过P点的最短的弦等于 。,2、在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= ，OAB的余弦值= 。,24mm,0.6,例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后，油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,D,C,D,C,3、如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD

8、于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,练习,例2、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,如图,用AB表示桥拱，矩形EFNM表示船的横截面。AB所在圆的圆心为O，半径为r米,经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与AB相交于点C。根据垂径定理,D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。,例2、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥

9、吗？,垂径定理的推论,若圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗？,这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,圆的对称性及特性,圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法可以得到:,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.,这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性,O,A,圆心角,圆心角顶点在圆心的角(如AOB).,如图,在O中,分别作相等的圆心角AOB和AOB, 将其中 的一个角旋转一个角度,使得OA和OA重合.,你能发现那些等量关系?说一说你的理由.,

10、O,A,B,A,O,B,AB=AB,OD=OD,如图,如果在两个等圆O和O中,分别作相等的圆心角和AOB和AOB,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和OA重合.,你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.,A,B,A,O,B,O,O,圆心角,六、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.,由条件: AOB=AOB,AB=AB,OD=OD,或,和,拓展与深化,在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: 两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.,如由条件:,AB=AB, OD=OD,AOB=AOB,或,和,推论,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB, OD=OD,AOB=AOB,或,和,1、如图，AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距 （1）如果AB=CD，那么_，_， （2）如果 ，那么_，_， （3）如果AOB=COD，那么_，_ , （4）如果OE=OF