2019高考数学二轮复习专题四第八讲数列求和及简单应用课件文.pptx

1、第八讲数列求和及简单应用,总纲目录,命题角度一:利用an与Sn的关系求通项an,1.(2018安徽合肥质量检测)已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018=() A.22 018-1B.32 018-6 C.-D.-,答案A3Sn=2an-3n,当n=1时,3S1=3a1=2a1-3,a1=-3.当n2时,3an=3Sn-3Sn-1=(2an-3n)-(2an-1-3n+3),an=-2an-1-3,an+1=-2(an-1+1),数列an+1是以-2为首项,-2为公比的等比数列,an+1=-2(-2)n-1=(-2)n,an=(-2)n-1,a2 018=(-2)2

2、 018-1=22 018-1,故选A.,2.(2018课标全国(理),14,5分)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.,答案-63,解析解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,an是首项为-1,公比为2的等比数列.S6=-63. 解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,Sn-1是首项为-2,公比为2的等比数列

3、,所以Sn-1=-22n-1=-2n,所以Sn=1-2n,S6=1-26=-63.,方法归纳 当已知数列an的一个含有an,Sn的等式时,往往根据升幂或降幂的方法得到一个新的等式,然后两个等式相减,从而把前n项和转化为数列的通项之间的关系,再根据这个关系求解数列的通项公式. 提醒由含an与Sn的关系式求an,应注意以下三点: (1)注意分n=1和n2两种情况处理,特别要注意使用an=Sn-Sn-1时需n2; (2)由Sn-Sn-1=an(n2)推得an,当n=1时,a1也符合“an式”,则需“合写”通项公式;,(3)由Sn-Sn-1=an(n2)推得an,当n=1时,a1不符合“an式”,则数

4、列的通项公式应分段表示,即an=,命题角度二:利用递推公式求通项an,答案,1.(2018安徽合肥模拟)数列an满足:a1=,且an+1=(nN*), 则数列an的前n项和Sn=.,解析通解:an+1=,两边同时取倒数得=+ ,整理得=+3,所以-=3,所以数列是以= 3为首项,3为公差的等差数列,所以=3n,所以an=,所以数列an 是常数列,所以Sn=. 优解:用归纳法求解,a1=,根据an+1=,可得a2=,a3=,a4=, 所以猜想an=,经验证,an+1=,从而Sn=.,2.(2018辽宁沈阳质量监测)在数列an中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n2),则an=.

5、,答案2n-1(nN*),解析解法一:因为an+1=3an-2an-1(n2),所以=2(n2),所以 an+1-an=(a2-a1)2n-1=2n-1(n2),又a2-a1=1,所以an-an-1=2n-2,an-1-an-2=2n-3,a2-a1=1,累加,得an=2n-1(nN*). 解法二:因为an+1=3an-2an-1(n2),所以an+1-2an=an-2an-1,得an+1-2an=an-2an-1=an-1-2an-2=a2-2a1=0,即an=2an-1(n2),所以数列an是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(nN*).,方法归纳 由递推公式求通项公式的三

6、种类型 (1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)求通项公式. (2)形如an+1=an f(n),常可采用累乘法,即利用恒等式an=a1 求通项公式. (3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造an+1+x=b(an+x),则an+x是公比为b 的等比数列,利用它可求出an.,1.数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1,nN*),则数列an的通项公式是.,答案an=3n-1(nN*),解析解法一:由an+1=2Sn+1可得an=2S

7、n-1+1(n2), 两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2). 又a2=2S1+1=3,a1=1,a2=3a1,故an是首项为1,公比为3的等比数列, an=3n-1. 解法二:由于an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1, 所以Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1, 所以Sn+1+=3, 所以数列是首项为S1+=,公比为3的等比数列,故Sn+=,3n-1=3n, 即Sn=3n-. 所以,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1, 当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列an的通项公式是an=3n-1(nN*).,2.已知数列an满足an+1=若a1=

8、,则a2 017= .,答案,解析因为a1=,所以根据题意得a2 =,a3=,a4=,a5=,所以数列 an是以4为周期的数列,又2 017=5044+1,所以a2 017=a1=.,3.已知数列an中,a1=2,且=4(an+1-an)(nN*),则其前9项和S9= .,答案1 022,解析由已知,得=4anan+1-4,即-4anan+1+4=(an+1-2an)2=0,所 以an+1=2an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故S9=210-2=1 022.,2.一些特殊数列的前n项和 (1)1+2+3+n=n(n+1); (2)1+3+5+(2n-1)=n2; (3)12+2

9、2+32+n2=n(n+1)(2n+1); (4)13+23+33+n3=n2(n+1)2.,已知数列an满足a1=1,an+1=,nN*. (1)求证:数列为等差数列; (2)设T2n=-+-+-,求T2n.,解析(1)由an+1=,得=+, 所以-=. 又a1=1,则=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列. (2)设bn=-=, 由(1)得,数列是公差为的等差数列, 所以-=-,即bn=-, 所以bn+1-bn=-=-=-.,又b1=-=-=-, 所以数列bn是首项为-,公差为-的等差数列, 所以T2n=b1+b2+bn=-n+=-(2n2+3n).,已知数列an是等差数列,a2=6,

10、前n项和为Sn,数列bn是等比数列,b2=2,a1b3=12,S3+b1=19. (1)求an,bn的通项公式; (2)求数列bncos(an)的前n项和Tn.,解析(1)数列an是等差数列,a2=6, S3+b1=3a2+b1=18+b1=19, b1=1, b2=2,数列bn是等比数列, bn=2n-1. b3=4, a1b3=12,a1=3, a2=6,数列an是等差数列, an=3n. (2)设cn=bncos(an),由(1)得cn=bncos(an)=(-1)n2n-1,则cn+1=(-1)n+12n, =-2, 又c1=-1, 数列bncos(an)是以-1为首项、-2为公比的等

11、比数列. Tn=(-2)n-1.,命题角度二:分组求和 分组求和法:将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和, 即把一个通项公式拆成几个通项求和的形式,方便求和.,已知等差数列an的首项为a,公差为d,nN*,且不等式ax2-3x+ 20的解集为(1,d). (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=+an-1,nN*,求数列bn的前n项和Tn.,方法归纳 若一个数列由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成,或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式,则可以根据数列的结

12、构对原数列求和式的各部分重新组合,进而使用等差、等比数列的求和公式进行求和.解题的关键是观察结构、巧分组.,设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设cn=求数列cn的前n项和Pn.,解析(1)设等差数列an的公差为d,由题意, 得解得所以an=4n, 因为Tn-2bn+3=0, 所以当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0, 两式相减,得bn=2bn-1(n2), 则数列bn为等比数列,所以bn=32n-1. (2)cn= 当n为偶数时,Pn=(a1+a3

13、+an-1)+(b2+b4+bn),=+=2n+1+n2-2. 当n为奇数时, 解法一:n-1(n3)为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1,n=1时符合公式. 解法二:Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2+b4+bn-1) =+=2n+n2+2n-1. 所以Pn=,已知数列an满足a1=3,an+1=2an-n+1,数列bn满足b1=2,bn+1=bn+an-n,nN*. (1)证明:an-n为等比数列; (2)数列cn满足cn=,求数列cn的前n项和Tn.,解析(1)证明:因为an+1=2an-n+1, 所以an+1-(n+1)

14、=2(an-n). 又a1=3,所以a1-1=2,所以数列an-n是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知,an-n=22n-1=2n. 所以bn+1=bn+an-n=bn+2n,即bn+1-bn=2n. b2-b1=21,b3-b2=22,b4-b3=23,bn-bn-1=2n-1. 以上式子相加,得bn=2+=2n(n2). 当n=1时,b1=2,满足bn=2n, 所以bn=2n(nN*).,所以cn=-. 所以Tn=-+-+-=-.,(2018广州调研)已知数列an满足a1+4a2+42a3+4n-1an=(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=,求数列bn

15、bn+1的前n项和Tn.,解析(1)当n=1时,a1=. 因为a1+4a2+42a3+4n-2an-1+4n-1an=, 所以a1+4a2+42a3+4n-2an-1=(n2,nN*), -得4n-1an=(n2,nN*), 所以an=(n2,nN*). 由于a1=也符合上式,故an=(nN*). (2)由(1)得bn=, 所以bnbn+1=,故Tn= = =.,命题角度四:错位相减法求和 错位相减法:已知数列an是等差数列,数列bn是等比数列,求数列anbn的前n项和Sn时,先令Sn乘等比数列bn的公比,再错开位置,把两个等式相减,从而求出Sn.,已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*)

16、,bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1(nN*)的前n项和.,解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q(q0). 因为b2+b3=12,所以b1(q+q2)=12,又b1=2,所以q+q2-6=0, 解得q=2,所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,S11=11b4,可得 解得所以an=3n-2. 所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n. (2)由(1)知,a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,所以a2nb2n-1=(

17、3n-1)4n.,设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n, 4Tn=242+543+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, -得 -3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1 =-4-(3n-1)4n+1 =-(3n-2)4n+1-8, 所以Tn=4n+1+. 故数列a2nb2n-1的前n项和为4n+1+.,方法归纳 求解此类题需掌握三个技巧:一是巧分拆,即把数列的通项公式转化为等差数列、等比数列的通项的和,并求出等比数列的公比;二是构差式,求出前n项和的表达式,然后乘等比数列的公比,两式作差;三是得结构,即根据差式的特征进行

18、准确求和. 提醒运用错位相减法求和时应注意三点:一是判断模型,即判断数列an,bn一个为等差数列,一个为等比数列;二是错开位置,如本题的式,先乘公比4,再把前n项和退后一个位置来书写,这样为两式相减避免看错做准备;三是相减时一定要注意式中的最后一项的符号,学生常在此步出错,一定要小心.,(2018河北石家庄模拟)设数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.,解析(1)由2Sn=3an-1, 得2Sn-1=3an-1-1(n2), -,得2an=3an-3an-1,=3(n2), 又2S1=3a1-1,2S2=3a2

19、-1,a1=1,a2=3,=3, an是首项为1,公比为3的等比数列,an=3n-1(nN*). (2)由(1)得,bn=, Tn=+, Tn=+,-得,Tn=+-=-=-, Tn=-.,考点三数列与函数、不等式的综合问题 命题角度一:数列与函数的综合问题,已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(nN*)在函数y=32x的图象上,等比数列bn满足bn+bn+1=an(nN*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是() A.Sn=2TnB.Tn=2bn+1 C.TnanD.Tnbn+1,答案D因为点(n,Sn+3)在函数y=32x的图象上, 所以Sn+3=32n,即Sn=32n-3.

20、当n2时,an=Sn-Sn-1=32n-3-(32n-1-3)=32n-1, 又当n=1时,a1=S1=3,所以an=32n-1(nN*). 设bn=b1qn-1,则b1qn-1+b1qn=32n-1,可得b1=1,q=2,所以数列bn的通项公式为bn=2n-1. 由等比数列前n项和公式可得Tn=2n-1. 结合选项可知,只有D正确.,方法归纳 求解此类题的关键:一是数形结合思想的应用,即由点在函数图象上,把已知点的坐标代入函数表达式,求出数列的前n项和;二是会求数列的通项公式,即通过an=求出数列an的通项 公式;三是方程思想的应用,即通过设出等比数列的通项公式,代入已知递推关系式,求出等比数列的通项公式.,命题角度二:数列与不等式的综合问题 已知等差数列an的前n项和为Sn,nN*,且a2=3,S5=25. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn=,记数列bn的前n项和为Tn,证明: Tn1.,解析(1)设等差数列an的公差为d. 因为a2=3,S5=25,所以解得 所以an=2n-1. (2)证明:由(1)知,an