统考版2021高考数学二轮复习专题限时集训11立体几何含解析文

1、专题限时集训(十一)立体几何1(2019全国卷)如图，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa14，ab2，bad60，e，m，n分别是bc，bb1，a1d的中点(1)证明：mn平面c1de；(2)求点c到平面c1de的距离解(1)证明：连接b1c，me.因为m，e分别为bb1，bc的中点，所以meb1c，且meb1c又因为n为a1d的中点，所以nda1d由题设知a1b1綊dc，可得b1c綊a1d，故me綊nd，因此四边形mnde为平行四边形，所以mned又mn平面c1de，所以mn平面c1de.(2)过点c作c1e的垂线，垂足为h.由已知可得debc，dec1c，所以de平面c1c

2、e，故dech.从而ch平面c1de，故ch的长即为点c到平面c1de的距离由已知可得ce1，c1c4，所以c1e，故ch.从而点c到平面c1de的距离为.2(2020全国卷)如图，已知三棱柱abca1b1c1的底面是正三角形，侧面bb1c1c是矩形，m，n分别为bc，b1c1的中点，p为am上一点过b1c1和p的平面交ab于e，交ac于f.(1)证明：aa1mn，且平面a1amn平面eb1c1f；(2)设o为a1b1c1的中心，若aoab6，ao平面eb1c1f，且mpn，求四棱锥beb1c1f的体积解(1)证明：因为m，n分别为bc，b1c1的中点，所以mncc1.又由已知得aa1cc1，

3、故aa1mn.因为a1b1c1是正三角形，所以b1c1a1n.又b1c1mn，故b1c1平面a1amn.所以平面a1amn平面eb1c1f.(2)ao平面eb1c1f，ao平面a1amn，平面a1amn平面eb1c1fpn，故aopn.又apon，故四边形apno是平行四边形，所以pnao6，aponam，pmam2，efbc2.因为bc平面eb1c1f，所以四棱锥beb1c1f的顶点b到底面eb1c1f的距离等于点m到底面eb1c1f的距离如图，作mtpn，垂足为t，则由(1)知，mt平面eb1c1f，故mtpmsinmpn3.底面eb1c1f的面积为(b1c1ef)pn(62)624.所以

4、四棱锥beb1c1f的体积为24324.3(2019全国卷)图1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc组成的一个平面图形，其中ab1，bebf2，fbc60.将其沿ab，bc折起使得be与bf重合，连接dg，如图2.图1图2(1)证明：图2中的a，c，g，d四点共面，且平面abc平面bcge；(2)求图2中的四边形acgd的面积解(1)证明：由已知得adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg确定一个平面，从而a，c，g，d四点共面由已知得abbe，abbc，又be，bc面bcge，bebcb，故ab平面bcge.又因为ab平面abc，所以平面abc平面bcge.(2)取cg的中点m，连

5、接em，dm.因为abde，ab平面bcge，所以de平面bcge，故decg.由已知，四边形bcge是菱形，且ebc60，得emcg，故cg平面dem.因此dmcg.在rtdem中，de1，em，故dm2.所以四边形acgd的面积为4.4(2018全国卷)如图，矩形abcd所在平面与半圆弧所在平面垂直，m是上异于c，d的点(1)证明：平面amd平面bmc；(2)在线段am上是否存在点p，使得mc平面pbd？说明理由解(1)证明：由题设知，平面cmd平面abcd，交线为cd因为bccd，bc平面abcd，所以bc平面cmd，故bcdm.因为m为上异于c，d的点，且dc为直径，所以dmcm.又b

6、ccmc，所以dm平面bmc而dm平面amd，故平面amd平面bmc(2)当p为am的中点时，mc平面pbd证明如下：如图，连接ac，bd，ac交bd于o.因为abcd为矩形，所以o为ac的中点连接op，因为p为am中点，所以mcop.又mc平面pbd，op平面pbd，所以mc平面pbd1(2020怀仁模拟)如图，已知p是平行四边形abcd所在平面外一点， m，n分别是ab，pc的中点(1)求证： mn平面pad；(2)若mnbc4，pa4，求异面直线pa与mn所成的角的大小解(1)取pd的中点h，连接ah，nh，n是pc的中点，nh綊dcm是ab的中点，且dc綊ab，nh綊am，即四边形am

7、nh为平行四边形mnah.又mn平面pad，ah平面pad，mn平面pad(2)连接ac并取其中点o，连接om，on.则om綊bc，on綊paonm就是异面直线pa与mn所成的角，由mnbc4，pa4，得om2，on2.mo2on2mn2，onm30，即异面直线pa与mn成30的角2(2020汕头一模)在四棱锥pabcd中，平面pac平面abcd，且有abdc，accddaab(1)证明：bcpa；(2)若papcac，q在线段pb上，满足pq2qb，求三棱锥pacq的体积解(1)证明：不妨设ab2a，则accddaa，由acd是等边三角形，可得acd，abdc，cab.由余弦定理可得bc2a

8、c2ab22acabcos3a2，即bca，bc2ac2ab2.acb90，即bcac又平面pac平面abcd，平面pac平面abcdac，bc平面abcd，bc平面pac，pa平面pac，bcpa(2)依题意得，papc，vpacqvqpacvbpacspacbc2.3(2020深圳二模)如图所示，四棱锥sabcd中，sa平面abcd，abcbad90，abadsa1，bc2，m为sb的中点(1)求证：am平面scd；(2)求点b到平面scd的距离解(1)证明：取sc的中点n，连接mn和dn，m为sb的中点，mnbc，且mnbc，abcbad90，ad1，bc2，adbc，且adbc，ad綊

9、mn，四边形amnd是平行四边形，amdn，am平面scd，dn平面scd，am平面scd(2)abas1，m为sb的中点，amsb，sa平面abcd，sabc，abcbad90， bcab，bc平面sab, bcam，am平面sbc由(1)可知amdn，dn平面sbc，dn平面scd，平面scd平面sbc，作besc交sc于e，则be平面scd，在直角三角形sbc中，sbbcscbe，be，即点b到平面scd的距离为.4(2020长沙模拟)如图，已知三棱锥pabc的平面展开图中，四边形abcd为边长等于的正方形，abe和bcf均为正三角形，在三棱锥pabc中(1)证明：平面pac平面abc；

10、(2)求三棱锥pabc的表面积和体积解(1)设ac的中点为o，连接bo，po.由题意，得papbpc，po1，aoboco1.因为在pac中，papc，o为ac的中点，所以poac因为在pob中，po1，ob1，pb，po2ob2pb2，所以poob因为acobo，ac，ob平面abc，所以po平面abc，因为po平面pac，所以平面pac平面abc(2)三棱锥pabc的表面积s222 2，由(1)知，po平面abc，所以三棱锥pabc的体积为vsabcpo 1.1.已知四棱柱abcda1b1c1d1的底面是直角梯形，addc，ab1，addc2，aa12，且aa1平面abcd，f为a1b1的

11、中点(1)在图中画出一个过bc1且与af平行的平面(要求写出作法)；(2)求四棱柱abcda1b1c1d1的表面积解(1)在平面cdd1c1中，过d作dpaf，交c1d1于p，在平面cdd1c1中，过c1作c1edp，交cd于e，连接be，此时afc1e，过bc1且与af平行的平面为平面bec1.(2)四棱柱abcda1b1c1d1的底面是直角梯形，addc，ab1，addc2，aa12，且aa1平面abcd，四棱柱abcda1b1c1d1的表面积为：s2s梯形abcds矩形abb1a1s矩形add1a1s矩形dcc1d1s矩形bcc1b1221222222162.2.如图，在三棱柱fabed

12、c中，侧面abcd是菱形，g是边ad的中点平面adef平面abcd，ade90.(1)求证：acbe；(2)在线段be上求点m(说明m点的具体位置)，使得de平面gmc，并证明你的结论解(1)证明：如图，连接bd，则由四边形abcd是菱形可得acbd，平面abcd平面adef，平面abcd平面adefad，且dead, de平面abcd又ac平面abcd, acde.bdded, ac平面bde，be平面bde, acbe.(2)设bdcgo，在bde中，过o作de的平行线交be于点m，m点即为所求的点om在平面mgc内，de不在平面mgc内，且omde, de平面mgc四边形abcd为菱形，

13、且g是ad的中点，dogboc，且，又omde，于是，故点m为线段be上靠近点e的三等分点3如图，在直角梯形abcd中，abdc，abc90，ab2dc2bc，e为ab的中点，沿de将ade折起，使得点a到点p位置，且peeb，m为pb的中点，n是bc上的动点(与点b，c不重合)(1)求证：平面emn平面pbc；(2)设三棱锥bemn和四棱锥pebcd的体积分别为v1和v2，当n为bc中点时，求的值解(1)证明：peeb，peed，ebede，pe平面ebcd，又pe平面peb，平面peb平面ebcd，bc平面ebcd，bceb，平面pbc平面pebpeeb，pmmb，empb，bcpbb，em平面pbc，又em平面emn，平面emn平面pbc(2)n是bc的中点，点m，p到平面ebcd的距离之比为，.4.如图，三棱柱abca1b1c1中，平面aa1b1b平面abc，d是ac的中点(1)求证：b1c平面a1bd；(2)若a1abacb60，abbb1，ac2，bc1，求三棱锥caa1b的体积解(1)连接ab1交a