投资的风险与收益率

1、5.1,风险与收益的度量,5.2,投资组合的风险与收益,5.3,有效投资组合分析,5.4,资本资产定价模型,第五章,风险与收益率,一、风险与收益的定义,5.1,风险与收益的度量,公司在经营活动中所有的财务活动决策,实际上都有一个共同点，即需要估计预期的,结果和影响着一结果不能实现的可能性。一,般说来，预期的结果就是所谓的预期,收益,而影响着一结果不能实现的可能性就是,风险,所谓收益,Return,是指投资机会未来收,入流量超过支出流量的部分,可用会计流表示：如利润额、利润率等,可用现金流表示：如债券到期收益率、净现值等,所谓风险,Risk,是指预期收益发生变动,的可能性，或者说是预期收益的不确

2、定性,1,风险是“可测定的不确定性,风险是“投资发生损失的可能性,二、单项资产风险与收益的度量,假设一家公司现有,100,万美元的资金可供,投资，投资期限,1,年，现有下列四个备选,投资项目,1,国库券期限年，收益率,2,公司债券面值销售，息票率，年期,3,投资项目成本万美元，投资期年,4,投资项目成本万美元，投资期年,投资收益的概率分布,投资收益率,经济,状况,发生,概率,国库券,公司,债券,项目一,项目二,萧条,0.05,8.0,12.0,3.0,2.0,衰退,0.20,8.0,10.0,6.0,9.0,一般,0.50,8.0,9.0,11.0,12.0,增长,0.20,8.0,8.5,1

3、4.0,15.0,繁荣,0.05,8.0,8.0,19.0,26.0,1,n,i,i,i,k,k,P,k,1,0,0,5,0,0,8,0,2,0,0,8,0,5,0,0,8,0,2,0,0,8,0,0,5,0,0,8,8,k,国,库,券,2,0,0,5,0,1,2,0,2,0,1,0,5,0,0,9,0,2,0,0,8,0,0,5,0,0,8,9,2,k,公,司,债,券,期望值,期望收益率的度量,ki,第,i,种可能的收益率,P(ki),第,i,种可能的收,益率发生的概率,n,可能情况的个数,0,0,5,0,0,3,0,2,0,0,6,0,5,0,0,9,0,2,0,1,4,0,0,5,0,1

4、,9,0,1,0,3,k,3,项,目,一,0,0,5,0,0,2,0,2,0,0,9,0,5,0,1,2,0,2,0,1,5,0,0,5,0,2,6,1,2,k,4,项,目,二,标准差,风险的绝对度量,标准差,Standard Deviation-SD,是方差的平方根，通常用表示,2,1,n,i,i,i,k,k,P,k,Ki,第,i,种可能的收益率,K,期望收益率,P(ki)-ki,发生的概率,n,可能情况的个数,2,2,2,1,2,2,2,8,8,0,0,5,8,8,0,2,8,8,0,5,8,8,0,2,8,8,0,0,5,0,2,2,2,1,2,2,2,1,2,9,2,0,0,5,1,0

5、,9,2,0,2,9,9,2,0,5,8,5,9,2,0,2,8,9,2,0,0,5,0,8,4,3,2,2,2,1,2,2,2,3,1,0,3,0,0,5,6,1,0,3,0,2,1,1,1,0,3,0,5,1,4,1,0,3,0,2,1,9,1,0,3,0,0,5,4,3,4,9,计算各项投资方案的标准差结果如下,1,国库券,2,公司债券,3,项目一,4,项目二,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,0,0,5,9,1,2,0,2,1,2,1,2,0,5,1,5,1,2,0,2,2,6,1,2,0,0,5,4,8,1,7,标准差提供了一种资产风险的量化方法,对于这一指标，我们可作以下两种

6、解释,第一种解释：给定一项资产（或投资）的期望收益率和,标准差，我们可以合理地预期其,实际收益在“期望值加,减一个标准差”区间内的概率,为,2/3,约为,68.26,第二种解释：根据标准差可以对,预期收益相同的两种不,同投资,的风险做出比较。一般来说，对期望值的偏离程,度越大，期望收益率的代表性就越小，即标准差越大,风险也越大；反之亦然,C,V,k,3,变异系数,风险的相对度量,变异系数,Coefficient of Variation,CV,是指标准差与期望收益率之比，也被译作,方差系数、标准差系数、标准离差率,期望收益率的标准差,k,期望收益率,0,8,0,C,V,0,8,4,9,2,0,

7、0,9,C,V,4,3,9,1,0,3,0,4,3,C,V,计算各项投资方案的变异系数结果如下,1,国库券,2,公司债券,3,项目一,4,项目二,4,8,2,1,2,0,4,C,V,四种投资方案的风险与收益的度量小结,期望收益率或风,险的度量,投资方案,国库券,公司债券,项目一,项目二,期望收益率,k,0.08,0.092,0.103,0.12,标准差,SD,或,0,0.0084,0.0439,0.0482,变异系数,CV,0,0.09,0.43,0.4,5.2,投资组合的风险与收益,投资组合,Portfolio,是指,两种或两种以上的资产组成,的组合。它可以产生资产多,样化效应从而降低投资风

8、险,1,n,p,i,i,i,R,W,R,p,R,i,R,一、投资组合收益的度量,投资组合的预期收益率是投资组合中单个,资产或证券预期收益率的加权平均数,i,W,n,投资组合的期望收益率,第,i,种证券的期望收益率,第,i,种证券所占的比重,投资组合中证券的个数,举例,Supertech,公司与,Slowpoke,公司,概率,经济状况,Supertech,Slowpoke,0.25,萧条,0.2,0.05,0.25,衰退,10,20,0.25,正常,30,12,0.25,繁荣,50,9,现构造一个投资,组合,其中,Supertech,占,60,即,w1=0.6,Slowpoke,占,40,即,w

9、2=0.4,第一步,计算组合中各项资产的期望收益率,1,0,2,0,1,0,3,0,5,0,2,5,1,7,5,R,计算投资组合的收益,第二步,计算投资组合的期望收益率,Supertech,的预期收益率,Slowpoke,的预期收益率,2,0,0,5,0,2,0,1,2,0,0,9,0,2,5,5,5,R,2,1,0,6,1,7,5,0,4,5,5,1,2,7,p,i,i,i,R,W,R,一,协方差与相关系数,二,两项资产组成的投资组合的方差,三,多项资产组成的投资组合的方差,二、投资组合风险的度量,一,协方差与相关系数,在证券投资中，这两个指标用,来度量两种金融资产未来可能收,益率之间的相互

10、关系,1,2,1,2,1,1,2,2,1,n,i,i,i,i,C,o,v,R,R,R,R,R,R,P,1,1,i,R,R,2,2,i,R,R,1,协方差,Covariance,协方差是两个变量（证券收益率）离差之积,的期望值。通常表示为,Cov(R1,R2,或12,i,P,n,证券,1,在经济状态,i,下收益率对期望值的离差,证券,2,在经济状态,i,下收益率对期望值的离差,经济状态,i,发生的概率,经济状态可能情况的个数,Supertech,收益率,收益率离差,20,0.375,10,0.075,30,0.125,50,0.325,预期收益率,17.5,计算投资组合各项资产收益率的协方差,S

11、lowpoke,收益率,收益率离差,5,0.005,20,0.145,12,0.175,9,0.035,预期收益率,5.5,第一步,计算各项资产的期望收益率和离差,第二步,计算组合中各项资产的期望收益率,经济状况,概率,萧条,0.25,衰退,0.25,正常,0.25,繁荣,0.25,加权平均值,0.004875,收益率离差之积,0.001875,0.010875,0.021875,0.011375,第三步,计算协方差,解释：协方差反映了两种资产收益的相互关系,1,如果两种资产的收益正相关，即呈同步变动态势,2,那么协方差为正数,2,如果两种资产的收益负相关，即呈非同步变动态势,那么协方差为负数

12、,3,如果两种资产的收益没有关系，那么协方差为零,1,2,2,1,12,21,C,o,v,R,R,C,o,v,R,R,1,2,1,2,1,2,1,2,C,o,r,rRR,1,2,1,2,相关系数,Correlation Coefficient,相关系数等于两种资产收益率的协方差除,以两种资产收益率标准差的乘积。通常表,示为,Corr(R1,R2,或12,2,两种资产收益率的协方差,资产,1,的标准差,资产,2,的标准差,2,2,2,2,1,1,0,2,0,1,7,5,0,1,0,1,7,5,0,3,0,1,7,5,0,5,0,1,7,5,0,2,5,8,6,4,2,2,2,2,2,1,0,0,

13、5,0,0,5,5,0,2,0,0,5,5,0,1,2,0,0,5,5,0,0,9,0,0,5,5,0,1,1,5,4,计算投资组合各项资产收益率的相关系数,第一步,计算各项资产的期望收益率的标准差,第二步,计算各项资产的期望收益率的相关系数,1,2,1,2,1,2,0,0,0,4,8,7,5,0,1,6,3,9,0,2,8,5,6,0,1,1,5,解释：由于标准差总是正数，因而相关系数,的符号取决于协方差的符号,1,如果相关系数为正数，则两种资产的收益率正相关,2,如果相关系数为负数，则两种资产的收益率负相关,3,如果相关系数为零，则两种资产的收益率不相关,最为重要的是，相关系数介于,1,和

14、,1,之间,其绝对值越接近,1,说明其相关程度越大,1,2,2,1,1,2,2,1,C,o,r,r,R,R,C,o,r,r,R,R,2,2,1,n,p,p,i,p,i,i,R,R,P,2,1,n,p,P,i,p,i,i,R,R,P,2,p,二,两项资产组成的投资组合的方差,1,投资组合的方差和标准差,p,p,i,R,p,R,i,P,n,投资组合的方差,投资组合的标准差,投资组合在第,i,中经,济状态下的收益率,投资组合的期望收益率,第,i,中经济状态发生的概率,经济状态的可能数目,预期收益率,方差,标准差,经济,状况,发生,概率,超级,技术,慢行,公司,萧条,0.25,0.2,0.05,衰退,

15、0.25,0.1,0.2,正常,0.25,0.3,0.12,繁荣,0.25,0.5,0.09,0.175,0.055,0.06687,0.01323,0.2586,0.115,举例：计算投资组合的标准差,资产组合,6,4,1,0.1,p,R,2,0.14,p,R,3,0,1,3,2,p,R,4,0,3,3,6,p,R,0.127,p,R,2,0,0,2,3,8,4,7,p,0,1,5,4,4,p,2,投资组合方差的简化公式,2,2,2,2,2,1,1,1,21,2,2,2,2,p,W,W,W,W,公式表明,投资组合的方差取决于组合中各种,证券的方差和每两种证券之之间的协方差。每,种证券的方差度

16、量两种证券收益的变动程度,协方差度量两种证券收益之间的相互关系,2,2,2,2,2,0,6,0,2,5,8,6,2,0,6,0,4,0,0,0,4,8,7,5,0,4,0,1,1,5,0,0,2,3,8,5,0,6,2,5,p,举例：计算投资组合的标准差,0,0,2,3,8,5,0,6,2,5,0,1,5,4,4,p,2,2,2,2,2,1,1,1,21,2,2,2,2,p,W,W,W,W,1,1,2,2,0,6,0,2,5,8,6,0,4,0,0,2,0,1,1,5,2,1,W,W,3,投资组合的多元化效应,首先计算两家公司各自标准差的加权平均数,0,1,5,4,4,P,比较两个结果,投资组

17、合的标准差小于组合中各,个证券标准差的加权平均数,而投资组合的期望,收益于组合中各个资产期望收益的加权平均数,这就是投资组合多元化效应的缘故,1,2,1,2,1,2,1,2,C,o,v,R,R,2,2,2,2,2,11,1,2,1,2,1,2,22,2,P,W,W,W,W,即,2,2,2,2,1,1,121,212,2,2,2,p,W,W,W,W,接下来考察组合多元化效应在什么情况下存在,2,2,2,2,2,1,1,2,2,1,1,1,2,1,2,2,2,2,W,W,W,W,W,W,而,2,2,1,1,2,2,p,W,W,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,2,1,2,1,2,2,2,

18、1,1,1,2,1,2,2,2,2,2,W,W,W,W,W,W,W,W,根据前面的结论,只要,成立，组合的多元化效应就会存在，因而,所以,1,2,1,结论,在两种资产组成的投资组合中,只要他们收益的相关系数小于,1,组合,多元化的效应就会发生作用,2,2,1,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2,2,S,u,p,e,r,t,e,c,h,S,l,o,w,p,o,k,e,S,u,p,e,r,t,e,c,h,W,W,W,S,l,o,w,p,o,k,e,W,W,W,三,多项资产组成的投资组合的方差,1,多项资产组成的投资组合方差的矩阵演示,投资组合方差的计算公式可以表示为如下矩阵形式,2,2

19、,2,2,2,1,1,1,21,2,2,2,2,p,W,W,W,W,1,多项资产组成的投资组合方差的矩阵演示,现在我们假设有,N,项资产，为此构造一个,N,阶矩阵,2,2,1,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,1,2,2,2,1,2,1,2,2,2,3,2,3,2,2,2,2,3,1,3,1,3,2,3,2,3,3,3,3,2,2,1,1,2,2,3,3,1,2,3,1,2,3,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,W,W,W,W,W,W,W,WW,W,WW,WW,W,W,W,W,W,W,W,N,WW,WW,WW,W,资,产,N,项资产组成的投资组合的方差,就等于,

20、N,阶矩阵中各个数值相加,2,2,2,1,1,1,n,n,n,p,i,i,i,j,i,j,i,i,i,W,W,W,i,j,2,2,2,2,1,1,1,n,n,p,i,i,i,j,i,j,i,i,j,W,W,W,i,j,2,2,2,2,11,1,2,1,2,22,2,1,2,1,WW,WWW,W,2,多项资产组成的投资组合方差的公式归纳,我们以两项资产组成投资组合为例代入公式可得,2,2,2,2,1,1,1,21,2,2,2,2,W,W,W,W,2,2,i,ij,Cov,3,投资组合的多元化效应,为了研究投资组合分散风险的效果,我们做出以下三个假设,1,所有的证券具有相同的方差，设为,2,2,所

21、有的协方差相同，设为,Cov,3,所有证券在组合中的比重相同，设为,1/N,1,i,W,N,由此我们得到投资组合的方差,2,2,2,1,1,1,1,1,1,n,n,n,p,i,i,i,C,o,v,i,j,N,N,N,2,2,2,1,1,1,N,C,o,v,N,N,N,N,2,1,1,1,C,o,v,N,N,N,当,时,2,1,0,N,1,1,C,o,v,C,o,v,N,表明当投资组合中资产数目增,加时，单个证券的风险消失,表明当投资组合中资产数目增加,时，证券组合的风险趋于平均值,2,2,1,n,i,i,i,W,为此我们把全部风险分为两部分,公司特有风险,Unique Risk,Diversi

22、fiable Risk,Unsystematic Risk,市场风险,Market Risk,Undiversifiable Risk,Systematic Risk,通过投资,组合可以,化解的风险,投资者在持,有一个完全分散,的投资组合之后,仍需承受的风险,1,1,n,n,i,j,ij,i,j,W,W,i,j,组合投资规模与收益风险之间的关系,组合收益,的标准差,组合中,证券个数,Cov,非系统风险,可分散风险,公司特有风险,系统风险,不可分散风险,市场风险,1,2,3,4,5,结论,随着组合中资产数量的增加,总风险不断下降；当风险水平接近,市场风险时，投资组合的风险不再,因组合中的资产数增

23、加而增加；此,时再增加资产个数对降低风险已经,无效了，反而只增加投资的成本,5.3,有效投资组合分析,根据马克维茨的投资组合理论，有效,证券组合主要包括两种性质的证券或证券,组合：一种是在,同等风险条件下收益最高,的证券组合，另一种是在,同等收益条件下,风险最小,的证券组合。这两种证券组合的,集合叫做,有效集,efficient set,或,有效边界,efficient frontier,一、两项资产组成的投资组合的有效集,二、多项资产组成的投资组合的有效集,三、无风险资产与风险性资产的组合,资产或资产组合,投资期望收益率,组合的标准差,Supertech,17.5,25.86,Superte

24、ch ,Slowpoke,12.7,15.44,Slowpoke,5.5,11.50,一、两项资产组成的投资组合的有效集,在一定的相关系数下投资组合的有效集,1,2,0,1,6,3,9,设,根据以上数据我们可以作出以下曲线,组合的期,望收益,组合的标,准差,Slowpoke,Supertech,11.5,15.44,25.86,Supertech:Slowpoke,6:4,5.5,12.7,17.5,1,MV,2,3,说明,我们已经计算出两家公司以,6,4,的比例,组成投资组合的期望收益和方差，事实上，这,只是我们能够策划出的无限多个投资组合中的,一个，（因为,w,1,w,2,1,的,w,1,

25、与,w,2,的组合有无,限多个）。这无限多个投资组合所形成的集合,表现为图中的曲线，我们称它为,投资的机会集,Opportunity Set,或,可行集,Feasible Set,分析,1,投资者可以通过合理地构建这两种股票,2,的组合而得到可行集上的任一点,2,如果投资者愿意冒险，他可以选择组合,3,或者将所有资金投资于,Supertech,3,如果投资者不愿冒险，他可以选择组合,2,或者选择组合,MV,即最小方差组合,4,没有投资者愿意持有组合,1,结论,虽然从,Slowpoke,至,Supertech,的整段曲,线被称为可行集，但投资者只考虑从最小方差组,合至,Supertech,之段；

26、正因为如此，我们把从,MV,至,Supertech,这段曲线称为,有效集”,Efficient Set,或“有效边界”,Efficient Frontier,相关系数变化时投资组合的有效集,组合的期,望收益,组合的标,准差,Slowpoke,Supertech,说明,上图表明了在,12,0.1639,时投资组,合的可行集；当相关系数变化时，投资组合的,收益和方差之间的曲线随之不同。相关系数越,小，曲线的弯曲度越大,二、多项资产组成的投资组合的有效集,组合的期,望收益,组合的标,准差,MV,X,1,2,3,说明：上图的阴影部分表示在组合中资产种数,很多的时候，组合的机会集或可行集。显然,组合实际

27、上是无穷无尽的,1,所有可能产生的组合都会落在一个有限的区域内,2,该区域上方从,MV,到,X,这一边界是多项资产组成的,投资组合的有效集（有效边界,三、无风险资产与风险资产的组合,无风险资产的标准差为,0,0,也就是说，它的未来收益率没有不,确定性，实际报酬率永远等于期望,报酬率。（通常以国库券为代表,R,1,无风险资产与风险性投资组合构成的组合,R,f,N,1,根据,2,2,2,2,1,1,1,21,212,2,2,2,P,W,W,W,W,计算得,1,0,所以,p,(1-W,1,2,总投资组合所对应的点，总会形成一条直线,从无风险资产伸向所选定的风险性投资组合,2,选择最佳风险性投资组合,

28、在无风险资产,Rf,与风险性,投资组合可行集中的各点,组成的总投资组合中，哪,一种组合能提供相同风险,下的最高收益或相同收益,下的最小风险呢,R,R,f,N,M,最佳风险性投资组合应使各总投资组合对应点,的连线与有效边界相切,即图中,Rf,与,M,的连线,2,无风险借贷与有效投资边界,在由,M,和无风险资产构成的投资组合模型中,W,1,是无风险资产的投资比例,W,1,W,2,1,当,W,1,0,时，相当于投资者在以无风险利率借钱,投资于风险投资组合,M,当,W1 0,时，表明投资者除了用自有资金投资,风险性投资组合,M,外，还将其中一部分投资于,无风险资产,无风险借入,无风险贷出,R,R,f,

29、M,R,m,m,E,F,X,0,CML,R,f,代表投资者将资金全部投资,于无风险资产,W,1,1,M,代表投资者将资金全部投资,于风险投资组合,W,1,0,R,f,M,代表投资者对无风险资产,有所投资，即贷出,W,1,0,M-X,代表投资者以无风险利率借,钱投资于,M,即借入,W,1,0,M,点的两侧体现了投,资者的不同风险态度,W,1,W,2,1,1,1,2,2,2,1,0,1,2,1,4,0,1,4,8,p,R,W,R,W,R,练习：假设,M,投资组合,R,M,14,M,0.20,政府债券,f,0,若投资者自有资本,1000,美元,他以无风险利率借入,200,美元投入,M,由此形,成的投

30、资组合期望收益与标准差各是多少,1,2,1,1,0,2,0,2,0,2,4,P,W,1,资本市场线,Capital Market Line-CML,如果投资者对所有资产收益的概率分布,预期是一致的，那么投资者面临的有效,组合就是一致的，他们都会试图持有无,风险资产和投资组合,M,的一个组合；或,者说任何一个投资者都会在直线,R,f,M,上,选点,直线,R,f,M,是所有投资者的有效组,合，通常称为资本市场线,1,f,m,m,p,ff,m,m,m,f,m,m,f,R,W,R,W,R,W,R,R,W,R,R,W,R,假设投资者构造了一个两部分资金的证券组合,投资都无风险资产中的比率为,Wf,投资到

31、组合,M,部分的比例为,Wm,且,Wf+Wm=1,或,Wf=1-Wm,则组合的期望收益率为,组合的标准差为,2,2,2,2,2,p,f,f,f,m,f,m,f,m,m,p,m,m,m,m,m,W,W,W,W,W,W,p,p,f,m,f,m,R,R,R,R,所以,m,f,p,f,p,m,R,R,R,R,即为,CML,表达式,该等式表明,任意有效投资组合的期望收益率,等于无风险收益率与风险补偿率之和,其中,R,m,R,f,m,为,CML,的斜率，它表明每单位市场,风险的报酬，决定了为补偿一单位风险变化所,需的额外收益，有人称之为风险的市场价格,2,市场投资组合,Market Portfolio,假

32、设所有的投资者都能获得相似的信息源,他们将绘制出相同的风险资产有效集；由,于相同的无风险利率适用于每一个投资者,因而他们都认同,M,点所代表的风险投资组,合。常识告诉我们：这个组合就是,由所有,现存证券按照市场价值加权计算所得到的,组合，称为市场组合,5.4,资本资产定价模型,资本资产定价模型,Capital Assets Pricing Model-CAPM,是一种描述风险与期望收益率之间关系的模型,在这一模型中，某种证券的期望收益率等于无,风险收益率加上这种证券的系统风险溢价,一,CAPM,的假设条件,1,所有的投资者对未来的预期相同,2,资本市场是有效率的,3,所有的投资者追求单期财富最

33、大化,4,所有投资者都以给定的无风险利率借贷,5,所有资产可以完全细分，可完全变现,6,所有的投资者都是价格的接收者,R,二、系数：系统风险的度量,R,f,M,A,D,C,B,m,R,m,CML,可以衡量市场风险与收益,之间的关系，但它不能用来测,度投资组合内部的非有效证券,或证券组合,在非有效证券的标准差与收,益率之间不存在唯一的对应,关系，因而我们必须找出更,好的风险度量指标,一种证券最佳的风险度量是该证券的,系数,CML,1,概念,系数是一个系统风险指数，它用于衡,量个股收益率的变动对于市场投资组合,变动的敏感性。或者说,贝塔系数是度,量一种证券对于市场组合变动的反应程,度的指标,状,态

34、,经济,类型,证券市场,收益,某公司收益,牛市,15,25,牛市,15,15,熊市,5,5,熊市,5,15,2,举例：个股收益率与市场收益率的关系,假设每种经济状况,出现的概率相同,经济,类型,证券,市场,收益,某公司,股票收,益,牛市,15,20,熊市,5,10,我们计算该公司的股票是如何因市场变动而变动的,市场收益在牛市下比在熊市下高出,20,而公司股票的收益在牛市下比在熊市下高,出,30,由此可见,公司股票收益变动对市,场收益变动的反映系数是,1.5,10,20,10,20,5,15,5,15,10,5,20,15,SCL,证券的特征线,Security Characteristic Line-SCL,特征线是描述单个,证券的收益率和市,场投资组合收益率,之间相互关系的一,条