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文档简介
1、14.2矩阵与变换,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,知识梳理,a11b11a12b21,_,4)两个二阶矩阵的乘法满足 律,但不满足 律和 律. 即(AB)CA(BC), ABBA, 由ABAC不一定能推出BC. 一般地,两个矩阵只有当前一个矩阵的 与后一个矩阵的 相等时才能进行乘法运算,结合,交换,消去,列数,行数,2.常见的平面变换,3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B,若有ABBAE,则称A是 ,B称为A的 ; (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)1B1A1. 4.特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵,如果对
2、于实数,存在一个非零向量,使A,那么称为A的一个 ,而称为A的属于特征值的一个,可逆的,逆矩阵,特征值,特征向量,5.特征多项式 设A 是一个二阶矩阵,R,我们把行列式f() ,称为A的特征多项式,2(ad)adbc,考点自测,解答,解答,解答,10,23. M的特征值为0和3,题型分类深度剖析,题型一矩阵与变换,例1已知a,b是实数,如果矩阵M 所对应的变换将直线 xy1变换成x2y1,求a,b的值,解答,因为点(x,y)在直线x2y1上,已知变换前后的坐标,求变换对应的矩阵时,通常用待定系数法求解,思维升华,跟踪训练1二阶矩阵M对应的变换将点(1,1)与(2,1)分别变换成点(1,1)与(
3、0,2). (1)求矩阵M,解答,2)设直线l在变换作用下得到了直线m:xy4,求l的方程,解答,且m:xy4, 所以(x2y)(3x4y)4, 整理得xy20, 所以直线l的方程为xy20,题型二求逆矩阵,1)求A的逆矩阵A1,解答,2)求矩阵C,使得ACB,解答,由ACB得(A1A)CA1B,故,求逆矩阵的方法 (1)待定系数法,思维升华,解答,题型三特征值与特征向量,例3(2016南京质检)已知矩阵A的逆矩阵A1. (1)求矩阵A,因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵, 且|A1|221130,解答,2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量,解答,思维升华,3)赋值法求特征向量,一
4、般取x1或者y1,写出相应的向量,跟踪训练3已知矩阵A ,其中aR,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0,3). (1)求实数a的值,解答,2)求矩阵A的特征值及特征向量,解答,解得A的特征值为1或3,课时作业,1.已知A ,求A的特征值,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是 ,求矩阵A,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.曲线C1:x22y21在矩阵M 的作用下变换为曲线C2,求C2的方
5、程,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P(x,y)为曲线x22y21上与P对应的点,因为P是曲线C1上的点, 所以C2的方程为(x2y)22y21,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2015江苏)已知x,yR,向量 是矩阵A 的属于特征值2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由已知,得A2,从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1), 所以矩阵A的另一个特征值为1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,证明A的逆矩阵是唯一的,设B1
6、,B2都是A的逆矩阵,则 B1AAB1E2,B2AAB2E2, 从而B1E2B1(B2A)B1B2(AB1)B2E2B2. 即B1B2.故A的逆矩阵是唯一的,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.(2016苏中四校联考)求曲线|x|y|1在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设点(x0,y0)为曲线|x|y|1上的任一点,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.设数列an,bn满足an12an3bn,bn12bn,且满足 求二阶矩阵M,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1)求满足条件AMB的矩阵M,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,2)矩阵M对应的变换将曲
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