概率论课堂讲义

1、3.2 边缘分布与随机变量的独立性,边缘分布 随机变量独立性,一、边缘分布的定义,1边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数,2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+, y,例1: 设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)， - x+ , - y+ 求(1)常数A,B,C (2)边缘分布函数Fx(x),FY(y)。 解: 由分布函数的性质知,联立这三个

2、方程,并取x=0,y=0,可得,A=1/2, B=/2,C=/2,从而,1边缘分布律 设(X,Y)为离散型二维随机向量,分别称X和Y的分布律为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。 2计算 问题：设(X,Y)的联合分布律为PX=xi,Y=yj=pij,i，j=1,2,求关于X和Y的边缘分布律,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,例2,求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,3边缘分布律的表示法,解: X的可能取值为1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 PX=3=PX=3,Y=-1+PX=3,Y=0+PX=3,Y=4 = 0

3、.04+0.28+0.25 =0.57 因此关于X的边缘分布律为,同样的方法求得关于Y的边缘分布律为,我们把边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上如下表所示,边缘分布律的表示法,三、连续型随机向量(X,Y)的边缘概率密度 1.边缘概率密度 设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), X和Y的概率密度分别为fx(x),fY(y),分别称fx(x), fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,2.公式,例3 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度,5c/24=1,得 c =24/5,解：(1) 由概率密度的性质,2,注意积分限,注意取值范围,即,例:

4、设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。 解： (X,Y)的概率密度为,1 0 x 1 x,y,先求fx(x) : 当-1x1时,注意积分限,注意取值范围,例4: 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度,求边缘概率密度fx(x),fY(y),即XN(1,12)，YN(2,22).且不依赖参数,随机变量独立性,引言 我们把独立性这一概念引入随机变量的情况。那么我们怎么定义随机变量独立性这一概念呢？ 直观上，如果随机变量X(Y)的取值丝毫不影响随机变量Y(X)的取值，则X和Y是独立的随机变量。即设I1，I2为数轴

5、上任何两个区间，事件XI1与YI2是独立的，即 PXI1 ， YI2=PXI1PYI2 特别取I1 =(-, x，I2=(-，y，(x，y为任意实数)，上式就化为 PXx，Yy=PXxPYy,即为 F(x，y)=FX(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=FX(x)FY(y) ，则有 Px1Xx2，y1Yy2 =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1) = Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1) =Fx(x2)-Fx(x1)FY(y2)-FY(y1) =Px1Xx2Py1Y

6、y2 可进一步推广，对任意区间I1，I2，有 PXI1，YI2=PXI1PYI2,1 定义：设F(x，y)及Fx(x) ， FY(y)分别是二维随机变量(X，Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x，y有 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的,一、随机变量独立性的定义,例1: 设(X,Y)的分布函数为,边缘分布函数分别为,容易看出，对于任意实数x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X与Y是相互独立的,解,讨论X与Y的独立性,x+ , - y,注释 由联合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布不能确定联合分布。如果X与Y相互独立，则X，Y的边缘分布

7、就能确定联合分布,定理 设(X，Y)为离散型随机变量，其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij (i，j=1，2，) 其边缘分布律分别为PX=xi=pi (i=1，2，) PY=yj=p j (j=1，2，) 则X与Y相互独立的充要条件是对于任意i，j有: pij= pipj,二、离散型随机变量独立的等价条件,所以X与Y相互独立,2)必要性。若X与Y相互独立，对于任意实数 x1x2，y1y2，有 Px1Xx2，y1Yy2=Px1Xx2Py1Yy2,证明：(1)充分性。若对于任意i，j有: pij=pip j 则对于任意实数x,y有,于是，对于任意i，j，由概率的连续性,例1: 在上节例中讨论X

8、与Y的独立性,解: 由计算知 PX=1=0.43，PY=-1=0.21， 且 PX=1， Y=-1=0.17 容易看出 PX=1，Y =-1PX=1PY=-1 因此X与Y不是相互独立的随机变量,三、连续型随机变量独立的等价条件 定理. 设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分别为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x，y) = fx(x)fY(y) 对f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有连续点成立. 证明：(1) 充分性。若f(x，y)=fx(x)fY(y) ，则,所以，X与Y相互独立,2)必要性。若X与Y相互独立，则在f(x，y) ， fx(x)，fY(y)的所有连续点有,例2: 设(X，Y)N(1，2，12，22，)，证明X 与Y相互独立的充要条件为=0。 证明: (X，Y)的概率密度为,关于X和Y的边缘密度分别为,1)充分性。如果=0,则对所有x，y有 f(x，y) = fx(x)fY(y) ，即X与Y相互独立。 (2)必要性。如果X与Y相互独立，由于f(x，y), fx(x), fY(y)都是连续函数，故对所有x，y有f(x，y) = fx(x