函数难点抽象函数综合

1、高考抽象函数综合抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点， 因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材 也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归 类，大概有以下几种题型： 一.求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”， 即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。例1 定义在R上的函数f(x)满足：f(x) f(4 x)且f(2 x) f(x 2)0,求f (2000)的值。解：由 f(2 x) f (x 2)0，以

2、t x 2代入，有 f( t) f (t)， f (x)为奇函数且有f (0)0又由 f (x 4)f4( x)f( x)f(x)f(x 8)f(x 4)f(x)故f (x)是周期为8的周期函数，f (2000) f (0)0f (y)，且当x 0时,例2已知函数f(x)对任意实数x，y都有f (x y) f (x)f (x)0，f( 1)2，求 f (x)在2，1上的值域。解：设x1x2且x1，x2R，则x2x10，由条件当x 0时，f(x) 0f(X2 Xi)0又 f(X2)f(X2 Xi) Xif (X2 Xi)f (Xi)f (Xi)f (x)为增函数，令 y X，则 f(0) f (

3、x) f( x)又令x y 0得 f (0)0f( x) f(x)，故f (x)为奇函数，f (i) f (i)2， f( 2)2f( i) 4f (x)在2，i上的值域为4, 2二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3 已知f (X)是定义在(i，i )上的偶函数，且在(0，i)上为增函数，满足f (a 2) f (4 a2)0，试确定a的取值范围。解：f (x)是偶函数，且在(0，i)上是增函数，f (x)在(i，0)上是减函数，i a 2 i由2 得 3

4、 a ,5 。i 4 a2 i(i)当a 2时，f (a 2) f (4 a2) f (0)，不等式不成立。(2)当,3 a 2 时,f (a 2)f(4 a2)1 a 20f(a24)1 a240a 2 a24解之得，3a 2（3）当 2a5 时，f (a 2) f (4 a2)0 a 21f (a24)0 a241a 2 a24解之得，2 a 5综上所述，所求a的取值范围是(：3, 2) (2 ,.5)。例4 已知f （x）是定义在（，1上的减函数，若 f (m2 sin x) f (m 1 cos2 x)对x R恒成立,2m求实数m的取值范围。解:sinx 321 cossinx1 co

5、s2 xR恒成立2 m2 msin xsin xcos2R恒成立3 sin xm 1 si n x2cos x(sin xR恒成立,为所求。三.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值, 数符号“ f ”，转化为代数不等式求解。再通过函数的单调性去掉函例5 已知函数f (x)对任意x, y R有f (x) f (y) 2 f (x y)，当x 0时,f(x)2, f(3)5,求不等式2f (a 2a 2)3的解集解:设 x1x2R 且 x1x2则x2x10f (X2xj2 ,即f (X2xj2 0,f (X2)f(X2xjxjf (X2xjf(xj 2f (xjf (X2)f

6、(xj又 f(3) f(21)f(2) f (1)2 3f (1)45f (1)3f (a2 2a2)3f(1)，即a2 2a 211 a 3因此不等式f (a22a 2)3的解集为a| 1 a 3故f (x)为增函数,四证明某些问题例6 设f (x)定义在R上且对任意的x有f (x)f (x 1) f (x 2)，求证：f (x)是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f (x T) f (x)( T为非零常数)则f (x)为周期函数，且周期为 To证明： f(x) f(x 1) f (x 2)(1)f (x 1

7、) f (x 2) f(x 3)(2)(1) (2)得 f(x) f(x 3)(3)由(3)得 f(x 3) f (x 6)(4)由(3)和(4)得 f (x) f (x 6)。上式对任意x R都成立，因此f (x)是周期函数，且周期为 6。0时,例 7 已知 f (x)对一切 x，y，满足 f (0) 0，f (x y) f (x) f (y)，且当 xf (x) 1，求证：(1) x 0时，0 f(x) 1 ；(2) f (x)在 R上为减函数。证明：对一切 x，y R有 f (x y) f (x) f (y)。且 f (0)0，令 x y 0,得 f (0)1，现设 x 0，则 x 0，

8、 f( x) 1，而 f (0) f(x) f( x) 1f(X)1f (X)10f(x)1，设x1，X2R且x1X则0f (X2X1)1f(X2) f(X2 xj Xf(X2 xj f(xj f(xjf(xj f(X2)，即f (x)为减函数。五综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高,题时需把握好如下三点： 一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符“ f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。n，有例8 设函数y f (x)定义在 R上，当x 0时，f(x) 1，且对任意 m,f(m n) f (m) f(n)，

9、当 m n 时 f (m) f(n)。(1)证明 f (0)1 ；(2)证明：f (x)在R上是增函数;f(1),B (x, y)| f(axby c) 1, a,b, c R, a 0,若 A B(3)设 A (x, y)|f(x2) f (y2)a, b, c满足的条件。解: (1)0 得 f (0) f (0)f(0)，f (0)0 或 f (0)若 f (0)0，当m0 时，有 f (m 0)f (m) f (0)，这与当 m n 时，f (m)f(n)2acx0 ,因为Af (0)1。(2)设 x1X2，则 X2X10 ,由已知得f (X2X1)1 ,因为 X10 , f (X1)1

10、若x10时，X10, f( X1)1，由 f(0)f (X1)f ( X1)f (X1)1 0f ( X1)f (X2)f (X2 X1) f (X1)f (X1)f (x)在R上为增函数。(3)由 f(X2) f (y2) f (1)得X2 y21 (1)由 f (axby c) 1 得 axby c 0(2)矛盾,c2b2从(1)、(2)中消去 y得(a2 b2)x2(2ac)24(a2 b2)(c2 b2)例9 定义在(1, 1 )上的函数f (x)满足(1),对任意x, y(1, 1)都有即 a2 b2c2f(x) f(y)性)，(2)当 x ( 1 , 0)时，有 f (x)0 ,(

11、1)试判断f (x)的奇偶性；(2)判断f (x)的单调性；1 1 1 1(3)求证 f() f()f ( 2)f() 511n 3n 12分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。解：(1)对条件中的x, y，令x y 0，再令y x可得f(0)f(0)f(0)f(0) 0，所以f (X)是奇函数。f(x)f(x)0f( x)f(x)(2)设1X1X20 ,则 f (X1)f (X2)f (X1)X1 x2f( X2)f( 12)1 X1X2x1x20,0x1x21 ,x1 x2x1 x2-0,由条件(2)知 f(1-) 0,从而有

12、f(xj f(X2) 0,即1 x1x21 x1x2f(X1) f(X2)，故 f (x)在(1,0)上单调递减，由奇函数性质可知，f (x)在(0, 1)上仍是单调减函数。(3)1 f() n2 3n 1f ()(n 1)(n 2) 11 _f n 1(n 2)1 11()() n 1 n 21)上1上11f (匸)f(77) f(h)11n3n 1f(2)f(3)f(3)f(丄)f( J)2334n 1f (2)f( 1-)2n20 1-1,f(-1 )0n2n2f(n1)2)，f(代f(2)f(1)f(n 21f ()11i迟)。1f ( n抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的

13、函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试 图通过实例作分类解析，供学习参考。1. 求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数 fg(x)中的g(x)看作一个整体，相当于f(x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。例1.函数y f (x)的定义域为(，1，则函数y f log2(x2 2)的定义域是 。2分析：因为Iog2(x 2)相当于f (x)中的x，所以Iog2(x 2)1，解得2 x 2 或 2 x 2。例2.已知f (x)的定义域为(0，1)，则yf (x a)f(xa)(|a|1-)的定义域是2分析：因

14、为xa及x a均相当于f (x)中的x，所以0 x a 1 a x 1 a1当 a 0时，则x ( a, 1 a)1当0 a 2时，则x (a, 1 a)2. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求是偶函数。分析：在f(xy) f(x)f (y)中，令x得 f(1)f(1) f(1)f (1) o令x y1，得 f (1)f ( 1) f( 1)于是f (x) f( 1 x)f( 1) f (x)例3.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数故f (x)是偶函数。f(x)与f( x)的关系。X, y 满足 f (xy) f (x) f (y)，求证：f (x)y 1，f ( 1) of

15、(x)例4.若函数y f(x)(f(x)0)与y f(x)的图象关于原点对称，求证：函数y f (x)是偶函数。证明：设y f (x)图象上任意一点为 P( X。，yo)y f (x)与y f(x)的图象关于原点对称，P(x0，y0)关于原点的对称点(x0，y0)在yf (x)的图象上，yo f( xo)yof( X。)又 yo f (xo)f ( Xo)f (xo)即对于函数定义域上的任意x都有f( x) f (x)，所以y f (x)是偶函数。3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例5.如果奇函数 f(x)在区间3, 7上是增函数且有

16、最小值为5，那么f(x)在区间7,3上是增函数且最小值为减函数且最小值为 分析：画出满足题意的示意图A.C.B.增函数且最大值为D.减函数且最大值为1,易知选B。例6.已知偶函数f (x)在(0，)上是减函数，问f (x)在(，0)上是增函数还是减函数， 并证明你的结论。分析：如图2所示,易知f (x)在(，0)上是增函数，证明如下:任取X!x20因为f (x)在(0，)上是减函数，所以 f( Xi)f(X2)。又f (x)是偶函数，所以f ( Xi) f(Xi)，f( X2) f(X2)，从而f(Xi) f (X2)，故f (x)在(，0)上是增函数。图24. 探求周期性这类问题较抽象，一般

17、解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。例7.设函数f (X)的定义域为R,且对任意的x，y有f (x y) f (x y) 2f (x) f (y)，并存在正实数 c，使f (C)0。试问f (x)是否为周2期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y cosx满足题设条件，且cos20，猜测f (x)是以2c为周期的周期函数。f(x C)2 f (x C)f (x 2c)cccc c-f(x-)-2f (x)f()02222 2f(x)f(x c) f(x)故f(X)是周期函数

18、，2c是它的一个周期。5. 求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例8.已知f (x)的定义域为R，且f (x y) f (x) f (y)对一切正实数x，y都成立, 若 f (8)4，则 f (2)。分析：在条件f (x y) f (x) f (y)中，令x y 4，得f(8)f(4) f (4)2f(4)4，f(4)2又令xy 2，得 f (4)f (2)f(2) 2，f(2)1例9.已知f (x)是定义在R上的函数，且满足：f(x 2)1 f (x) 1 f (x)，f (1)1997，求 f(2001

19、)的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f (x)是周期函数，显然 f (x)1，于是f(x 2)1 f(x)1 f(x)f(x 4)1 f(x 2)1 1 f(x)1 f(x)1 1 f(x)1 f(x)1f(x)所以f (x 8)1f (x 4)f(x)故f (x)是以8为周期的周期函数，从而f (2001) f (8 250 1) f (1)19976比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例10.已知函数f (x)是定义域为 R的偶函数，x 0时，f (x)是增函数，若X1 0，X2 0，且 |x-| |x2|，贝U

20、f ( x1)， f ( x2)的大小关系是 。分析：X1 0， X20且 |刘| |X2|，0x-i x2x2 x10又x 0时，f(x)是增函数，f ( X2) f (X1)f (X)是偶函数，f ( X1)f (X1)故 f ( xj f ( x2)7. 讨论方程根的问题例11.已知函数f (X)对一切实数X都满足f(1 X) f(1 X)，并且f(x) 0有三个实根，则这三个实根之和是 。分析：由f(1 x) f (1 X)知直线X 1是函数f (x)图象的对称轴。又f(x) 0有三个实根，由对称性知x1 1必是方程的一个根，其余两根x2，x3关于直线x 1对称，所以x2 x3 2 1

21、 2，故x1 x2 x3 3。8. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例12.已知函数f (X)是定义在(，1上的减函数，且对一切实数x，不等式f (k sinx) f (k2 sin2 x)恒成立，求 k 的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得.2 .2k sin x 12 . 2k sin x k sin x2 2k 1sinx(1)11k2 k ： (si nx -)24 2由题意知(1)(2)两式对一切x R恒成立，则有2 2k (1 sin x)min 1k2 k 4 (si nx 扌爲9. 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获

22、解。例13.若函数y f(x 2)是偶函数，则y f (x)的图象关于直线 对称。左移2个单位右移2个单位分析：y f(x)的图象y f (x 2)的图象，而y f (x 2)是偶函数，对称轴是x 0，故y f (x)的对称轴是x 2。例14.若函数f(x)的图象过点(0，1)，贝U f (x 4)的反函数的图象必过定点 。分析：f(x)的图象过点(0，1)，从而f (x 4)的图象过点(4, 1)，由原函数与其 反函数图象间的关系易知， f(x 4)的反函数的图象必过定点(1，4)。10. 求解析式例15.设函数f(x)存在反函数，g(x) f 1(x)，h(x)与g(x)的图象关于直线x

23、y 0对称，则函数h(x)A. f (x)B. f( x) C. f 1(x) D. f 1 ( x)分析：要求y h(x)的解析式，实质上就是求 y h(x)图象上任一点 P(x。，y。)的横、 纵坐标之间的关系。点P(x。，y)关于直线y x的对称点(y。，x)适合y f x)，即x g( y)。又 g(x) f1(x)，1 xof ( yo)yof( X。)yo f( x)即 h(x) f ( x)，选 Bo抽象函数的周期问题由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学(文科)第 22题：设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x 1 对称。对任意 Xi，X2 0，都有 f(X

24、i x2) f(Xi) f (x2)。21 1(I) 设 f(1)2，求 fg)，f q)；(II) 证明f (x)是周期函数。解析：(I)解略。(II)证明：依题设y f (x)关于直线x 1对称故 f (x) f (2 x)，x R又由f (x)是偶函数知f ( x) f(x)， x Rf( x) f (2 x)，x R将上式中 X以X代换，得f (x) f (x 2)，x R这表明f (x)是R上的周期函数，且 2是它的一个周期f (X)是偶函数的实质是 f (X)的图象关于直线 x 0对称又f (X)的图象关于X 1对称，可得f (X)是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我

25、们得到思考一：设f (X)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线X a (a 0)对称，证明f(x)是周期函数，且 2a是它的一个周期。证明： f (x)关于直线x a对称f (x) f (2a x)，x R又由f(x)是偶函数知f ( x) f(x), x Rf ( x) f (2a x), x R将上式中 x以x代换，得f (x) f (2a x)，x Rf (x)是R上的周期函数且2a是它的一个周期思考二：设f (x)是定义在R上的函数，其图象关于直线x a和x b(a b)对称。证明f (x)是周期函数，且2(b a)是它的一个周期。证明：f (x)关于直线x a和x b对称f (x)

26、f (2a x)，x Rf (x) f (2b x)，x Rf (2a x) f (2b x)，x R将上式的 x以x代换得f (2a x) f (2b x)，x Rf x 2(b a) f(x 2a) 2 b f(x 2a) 2a f (x)，x Rf (x)是R上的周期函数且2(b a)是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f (x)还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设f (x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线 x 1对称。证明f (x)是周 期函数，且4是它的一个周期。，证明： f (x)关于x 1对称f (x) f (2 x)，x R又由f (x)是奇

27、函数知f ( x) f (x)，x Rf (2 x) f ( x)，x R将上式的X以X代换，得f(2 x) f(x), x Rf(x 4)f2 (x 2)f(x 2)f(x)f(x), x Rf (x)是R上的周期函数且4是它的一个周期f (x)是奇函数的实质是 f (x)的图象关于原点(0，0)中心对称，又f (x)的图象关于 直线x 1对称，可得f (x)是周期函数，且 4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我 们得到思考四：设f (x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a，0)中心对称，且其图象关于直线x b(b a)对称。证明f (x)是周期函数，且 4(b a)是它的一个周期。证

28、明： f (x)关于点M(a, 0)对称f (2a x) f (x)，x Rf (x)关于直线x b对称f (x) f (2b x)，x Rf (2b x) f (2a x)，x R将上式中的 x以x代换，得f (2b x) f (2a x)，x Rf x 4(b a)f 2b (x 2b 4a)f2a (x 2b 4a)f2b (x 2a)f 2a (x 2a)f(x)， x Rf (x)是R上的周期函数且4(b a)是它的一个周期由上我们发现，定义在R上的函数f (x)，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f (x)是R上的周期函数。进一步我们想到，定义在R上的函数f (x)

29、，其图象如果有两个对称中心，那么f (x)是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f (x)是定义在R上的函数，其图象关于点 M(a, 0)和N(b, 0) (a b)对称。证明f (x)是周期函数，且2(b a)是它的一个周期。证明： f(x)关于M(a, 0)，N(b，0)对称f (2a x) f (x)，x Rf(2b x) f(x)， x Rf (2a x) f (2b x)，x R将上式中的x以x代换，得f (2a x) f (2b x)，x Rf x 2(b a) f 2b (x 2a)f 2a (x 2a)f(x)， x Rf (x)是周期函数且2(b a)是它的一个周期抽

30、象函数解法例谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部 分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用 特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析 研究抽象函数问题， 一：函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)

31、反应出来的，抽象函数也是如 此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化化难为易，常用的解题方法有：1,利用奇偶性整体思考；2,利用单调性等价转化;3,利用周期 性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点，布列方程等.二:特殊化方法 1在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成-x或将x换成等2在求函数值时，可用特殊值代入3研究抽象函数的具体模型 ，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法总之,抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解

32、，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路暗花明又一村的快感.1. 已知函数 f(x)对任意 x、y R都有 f(x+y) = f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3, 且 f(1)=1 若t为自然数,(t0)试求f(t)的表达式 满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列？若能求出此数列，若不能说明理由 若t为自然数且t 4时，f(t) mt2+(4m+1)t+3m,恒成立，求m的最大值.2. 已知函数 f(x)=g(x)_ ，且 f(x)，g(x)定义域都是 R，且 g(x)0，g(1) =2，g(x)g(x) 1增函数.g(m) g(n)= g(m+n)(m 、n R)求

33、证：f(x)是R上的增函数当 n N，n 3 时,f(n)nn 1解：设X1X2g(x) 是R上的增函数，且g(x)0 g(x 1) g(x 2) 0g(x 1)+1 g(x 2)+1 00g(X2)1g(xj 10g(X2)1g(x1f(x 1)- f(x2)=g(xj g(xjgg) 1gg) 1=1-2g(xj1-(1-2g(x2)10g(X2)1 g(x1f(x1) f(x2)f(x) 是R上的增函数g(x) 满足 g(m) g(n)= g(m+n)(m 、n R)且 g(x)0g(n )= g(1)n=2当 n N,n 3 时，2 nnn丄=1-n 12 1,2f(n)=1-2n 1

34、 2n 12 n=( 1+1) n= 1+n + +q+n+12n+12 n+12n+22 11-L2n 1 n 1当 n N,n 3 时,f(n)3. 设f1(x) f 2(x)是(0,+ g)上的函数，且f1(x)单增，设 f(x)= f 1(x) +f 2(x),且对于(0,+ g)上的任意两相异实数 恒有 | f 1(X1) f 1(x 2)| | f 2(X 1) f 2(X 2)| 求证：f (X)在(0,+ g )上单增 设 F(x)=x f (x), a0、b0.求证：F(a+b) F(a)+F(b). 证明：设x 1X20f 1(x) 在(0,+ g)上单增f 1(x 1)

35、f 1(x 2)0| f 1(x 1) f 1 (x 2)1= f 1(x 1) f 1(x 2)0| f 1(X1) f 1(x 2)| | f 2(X 1) f 2(X 2)|f 1(X 2)- f 1(X 1)f 2(X 1) f 2(X 2) f 1(x 2)+ f 2(X2)f(x 1) f(x 2)f (x) 在(0,+ g)上单增 F(x)=x f (x), a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x) 在(0,+ g)上单增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4. 函数y= f(x)满足 f(

36、a+b) = f (a) f (b)， f(4) = 16, m、n 为互质整数,求f( m)的值nf(0) =f(O+O)=f(O)2-f(0)=f (0)f(0) =0 或 1.若 f(0)=0 贝U f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.( 矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=162 1f(1)=f ( ) 02f(1)=2.仿此可证得f(a) 0.即y=f(x)是非负函数f(O)=f(a+(-a)=f(a)-f(-a)f(-a)=1f (a)-nn N 时 f(n)=f n(1)=2 n,f(-n)=21111f(1)

37、=f(+ + )=fn()=2nnnn11 _ f( -)= 2nnmf( m)=f(1) m= 2下n n5. 定义在(-1 , 1) 上的函数f (x)满足 任意 x、y(-1 , 1)都有 f(x)+ f(y) = f ()，x (-1 , 0)时,1 xy有 f(x) 01) 判定f(x)在(-1 , 1) 上的奇偶性，并说明理由2) 判定f(x)在(-1 , 0)上的单调性，并给出证明1 1 13) 求证：f ( ) = f () - f ()n 3n 1n 1n 21 1 1 1*)或 f ( 一)+f ()+ +f () f (-) (n N)5 11n23n 12解:1) 定义

38、在(-1 , 1) 上的函数f (x)满足任意x、y( -1 , 1)都有 f(x)+ f(y) = f ( 丄_),则当 y=0 时,f(x)+ f(0)= f(x)1 xyf(0)=0当-x=y 时,f(x)+ f(-x)= f(0)f(x)是(-1 , 1)上的奇函数2)设 0XiX2-1f(x i)-f(x 2)= f(x 1)+ f(-X2)= f( )1x1x20XiX2-1 ,x ( -1 , 0)时， 有 f(x) 0,1-x1 x 20, x 1-x 20x1 x2小f (1-)01 X1X2即f(x)在(-1，0)上单调递增113)f (2)=f(2)n3n 1n 3n2 1111=f(n1)( n2)=f(n 1n 2 )411 11(n1)(n2)n 1n 21 1=f()-f()n 1 n 21 1 1f ( -)+f ()+ +f ()511n23 n 1=f()+f( 5(233Z)+f( )+ +f(丄)-f(44n 1=f(丄)-f(2A(2)+f(-X(