高考数学复习 第十二章 几何证明选讲 文

1、相似三角形与比例线段,1平行线等分线段定理 (1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 (2)推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰,2平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,3相似三角形 (1)相似三角形的判定 判定定理 定理1：两角对应相等，两三角形相似 定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 定理3：三边对应成比例，两三角形相似 引理

2、：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似,2)相似三角形的性质 相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 (3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项,直线与圆的位置关系,1圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等

3、的圆周角所对的弧也相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 (2)圆心角定理 定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数,2圆的切线 (1)切线的性质及判定 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 (3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,3圆内接四边形的性质与判定 (1)性质定理 定理1：圆的内

4、接四边形的对角互补 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 (2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,4与圆有关的成比例线段,相似三角形的判定与性质,1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3； (3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定,例1】 如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过点C作O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的

5、延长线于点E. (1)求证：AB2DEBC； (2)若BD9，AB6，BC9，求切线PC的长,解题指导一般地，证明等积式成立时，可先将其转化成比例式，再根据三角形相似证明其成立,点评判定两个三角形相似的几种方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义,判定圆的切线的方法以及切线定理的应用 (1)判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 (2)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线

6、段成比例或线段的积时要考虑切割线定理,与圆有关的定理的应用,例2】 如图，AB是O的直径，C，F为 O上的点，AC是BAF的平分线，过点C 作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB， 垂足为点M. (1)求证：DC是O的切线； (2)求证：AMMBDFDA,解题指导本题主要考查圆的切线定义及切割线定理的应用，解题(1)的关键是根据切线的定义证明OCCD，解题(2)的关键是根据割线定理及切割线定理得到等量关系,证明(1)如图，连接OC， OAOC，OCAOAC. 又AC是BAF的平分线， DACOAC. DACOCA.ADOC. 又CDAD，OCCD，即DC是O的切线,2)AC是BAF的平分线，

7、 CDACMA90，ACAC， ACDACM，CDCM. 由(1)知DC2DFDA， 又CM2AMMB，AMMBDFDA,点评涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理,1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆 (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆 (5)相交弦定理的逆定理 (6)割线定理的逆定理,几何证明问题,解题指导(1)证明思路为连接DEADEACBADEACBC，B，D，E四点共圆； (2)利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径,例3】 如图，D，E分别为ABC的边AB， AC上的点，且不与ABC的顶点重合已 知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长 是关于x的方程x214xmn0的两个根 (1)证明：C，B，D，E四点共圆；