九年级新思维-9~10相似

1、9.探索三角形相似的条件【问题解决】 例1如图，在Rt ABC中，ABC =90 ，点D是AB的中点，连接CD , 过点B作BG _CD，分别交 CD、CA于点E、F，与过点 A且垂直 于AB的直线相交于点 GI / EH / AB ,连接DF。给出以下四个结论：竺=竺；点F是GE的中点；AB FBAB ；AF =亚3S aBC = 5S pdf，其中正确的结论序号是 一。(2012年嘉兴市中考题）af Jac 空33【答案】GFbeW55153DAF 得 Sagf:S fbc 1： 4S|_AFD = S_DFB ,S ABC = S DFB .例 2 如图，AD / BC , . D =9

2、0 ,AD=2 ,BC = 5 , DC =8。若在边DC上有点P，使PAD与 PBC相似,【答案】C 设 DP =x,贝yCP =8 -x , 若则这样的点 P有（）。（2012乌鲁木齐市中考题）/D rPADPBCP ,贝y U :D,BC （P即2，解得x ;若厶58 -x7AD DPADP PCB，贝U PCBC即2-8 x得 x =4 亠5 或 x =4 -6 .如图，M为线段AB的中点，- A-. B 二a ,且 DM 交 AC 于 FAE与BD交于点C , ME交BC于G。1写出图中相似三角形，并证明其中一对;2请连接FG，如果a =45 ,AB=4.2,AF -3，求FG的长。

3、（安徽省中考题）【答案】（1） AMFBGM .BGM, DM3DBM , EFEAM,以下证明厶AMF而.AFM DME . E , . BMG = A . E ,从而 AMF BGM .当：=45，得 AC _BC ,且AC =BC ,则AM =BM =2、2由厶 AMF BGM，得 AF BG =AM BM , BG =_384又 AC 二BC 二4 ,得CG 二4, CF 二4 -3 二1，故 FG3 3例4 如图，在ABC中，.BAC=90 , AD是BC边 上的高，E是BC边上的一个动点(不与 B、C重合)，EF _AB 于 F,EG _ AC 于 G .EG CG(1) 求证：一

4、AD CD(2) FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂 直，请说明理由；(泰安市中考题)【答案】 由厶ADC EGC，得空 AD CDEGAD四边形AFEG为矩形，AF二EG，由知=些，又.FAD =/C ,GD由厶 AFD CGD，得.ADF =/CDG ,.ADF . ADG =. CDG . ADG =90 ,即.FDG =90，故 FD _ DG (3)由知 AFD CGD，得 皂二型 =1 ,GD DC FD二DC，又.FDG =90，故 FDG为等腰直角三角形. 例5在 ABC中，.A、. B、. C所对的边分别用 a、b、c表示。(1)如图，在 AABC中，/A=2.B

5、，且 /A=60 ，求证：a2 =b(b - c);(2)角形”如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角：ABC，如图,其中 A=2 B，关系式a2二b(b - c)是否任然成立？并证明你的结论。(天津市中考题)图(3) 当AB =AC时，AFDG为等腰直角三角形吗？并说明理由。分析对于2，证题的关键是怎样化倍角为等角，为构造相似三角形铺平道路。证明2如图，延长BA到D，得AD二AC，则.A =/D . 1 =2. D，又.A =2. B。.D =/B,DC =BC.仁/B,. D =/D，故 a2

6、 =b(b c) DC AD2ADC s . CDB，得 DC，即 DC2 =AD DB。DB DC网格中的相似性例6如图，在6 6的方格纸中，我们把像GABC这样的顶点在小正方形的顶点的三角形叫做格点三角形，求与CABC相似的格点三角形的个数。分析与解注意到.ABC三边之比由小到大为仁、2 : , 5，设与它相似的三角形的三边长为 k, .2k, 5k，.k可能取得的数值有两类： 正整数。实际上只有 1, 2, 3。当k =4时，5k=4. 5=806.、2,已超过6 6的方格纸 的对角线长； 格点矩形的对角线长，即k = . m2 n2 , m, n 取遍1 6所有正整数，但实际上只要考虑

7、：(m, n) =(1,1) 1,2, 1,3 , 2,2 , 2,3,即 k 二 2,. 5, 10,2. 2, . 13,这五种情形。再进一步考虑，k = 13时，5 65 , 65表示为两个平方数之和只有两种方式，即65 =1282 =4272 ,所以在6 6方格纸中不存在长为.65的格点矩形的对角线，因此需要舍去。现将k取不同值得情况时， 和ABC相似的格点三角形的个数(未剔除- ABC本身)列表如下：序号k值格点三角形三边格点三角形个数11,72, 45240近72, 2,帀19222, 2暑,2爲120苗翦，尿,5192222近,4，怖4033, 3 72 , 3亦322亦，殒,5

8、迈32图例：序号图中.：AiBiCi序号图中 .ABC序号一一图中.A4B4C4序号图中从3B3C3及A7 B7C7序号一一图中序号一一图中IA2 B2 C2l-A6B6C6序号一一图中:-A5B5C5C6B4B7B3图【答案】（2012年本溪市中考题）（第 1 题）355数学冲浪【知识技能广场】1 如图，在 ABCD中，.ABC的平分线BE交AD于点E，交对角线则红AC382 .如图，在正方形 ABCD中，E为AB边的中点， G、F分别为AD、BC边上的点，若 AG =1, BF =2, /GEF =90，则GF的长为（天津市中考题）【答案】323如图，在平行四边形 ABCD中，E为AD的三

9、等分点，AE AD，连接BE交AC于点3，若AC =12，贝U AF的长为.（2012年贺州市中考题）（第 2题）（第 3题）【答案】4.84.已知菱形ABCD的边长是6, 则匹的值是AM点E在直线AD上，DE =3连接BE与对角线相交于点 M ,（哈尔滨市中考题）2【答案】2或-当点E在线段3AD 上时， AEM CBM匹烽2 ； 当点E在ADAM的延长线上时， AME CMB , 匹=匹=?AM AE 35.如图， AB / CD, AE / FD, AE、FD 分别交 BC 于点 G、 ( ).A. 4对B. 5对C. 6对【答案】C6如图，等边 ABC的边长为3, P为BC上一点，且则

10、CD的长为3A.2).2B.31C.2【答案】7.如图,在平行四边形 ABCD中，BE平分 ABC则平行四边形ABCD应满足的条件是A. ABC =60AB B.BCD. 7对则图中共有相似三角形（天津市中考题）BP =1 , D 为 AC 上一点，若.APD =60 ,3D.4（烟台市中考题）BE、1CF交与点G,若使EF AD ,4c. AC（第 5题）（第6题）（2012年阜新市中考题）（第 7题）【答案】D1 1&如图，.IABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC上，且BD BC,CE AC ,3 3BE、AD相较于点F 连接DE，则下列结论： .AFE =60 ;DE _ AC

11、;CEDF DA;AF BE二AE AC,其中正确的结论有( ).A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（黑龙江省中考题）【答案】 A 先证明 ABD BCE，再证 BDF ADB , AEF BEA.作 AG _ BC于G，又可证厶 AGCDEC .9.已知:ABC 中，AB =2J5,AC =4-.!5,BC =6.（1）如图，点M为AB的中点, 的长；（2）如图，是由100个边长为 正方形顶点的三角形为格点三角形在线段AC上取点N,使.AMN与-ABC相似，求线段MN1的小正方形组成的10X10正方形网络，设顶点在这些小 请你在所给的网格中画出格点. ：A1B1C1与 ABC全等（画出

12、一个即可，不需证明）；试直接写出在所给的网格中与的一个（不需证明）.：ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中（2012年武汉市中考题）（第8题）（2）略8个，画图略【答案】（1）MN=3或-210.如图，已知四边形 ABCD为正方形，直角 POQ的顶点在正方形对角线 AC上，直角边 分别交AB、BC于P、Q两点.图图Q（第10题）（1）如图，当点 O在AC的中点时,(2 )如图，当 OA=1时，OP ，并证明你的结论;OC2OQ(3 )如图，当OA时，OP，并证明你的结论;OC2OQ【答案】(1)1连OB ,可证明APO NBQO.1一 过 O作OE _ AB于 E , OF _

13、BC于 F . 2则厶 OPE OQF , =匹OQ OFO ( OAE COF ). OC3-证明同(2).211如图，ABC与：EFD为等腰直角三角形，AC与QE重合,AB =AC =EF =90BAC =/DEF =9 .固定.：ABC，将 DEF 绕点 A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转终止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE , DF (或问：始终与AAGC相似的三角形有它们的延长线)分别交 BC (或它的延长线)于 G、H点，如图(1)问：当X为何值时，AGH是等腰三角形?(2) 设CG =x,BH二y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图的情形说明理由)(3)(广

14、州市中考题)【答案】 HAB , HGA (2) 81(0 :：:x 9 2).X9 2x或x=9.12 如图，已知平行四边形 ABCD中，过点D的直线顺次与 AC、ADG，若BE =5，EF =2，贝U FG的长是及CD的延长线相交于点 E、F、【答案】10.5 韭=蜃=雯EG EC BE13.如图，工地上竖立着两根电线杆6m的a、C处，向两侧地面上的12. 缺缺AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出的面 4m、 E、D、B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为m.(全国初中数学联赛试题)【答案】12Q1.5 AB C D14.如图，在平行四边

15、形 ABCD中，E、F分别是边AB、AD上的点，AC与EF交于点G , 圧=1 AL=1则丄AB 2 AD 3 AC（重庆市竞赛题）（第12题）F【答案】1延长FE、515.如图，矩形.CB交于H .ABCD中，AB=a,BC =b, M是BC的中点,DE _ AM于E，则DE等于2abA. ,.4a2 b2B.ab.4a2 b2C.2ab,a2 - 4b2ab D . a24b2（山东省竞赛题）（第15题）B【答案】 A16.如图，ABC与 DEF均为等边三角形,O 为 BC、EF的中点,则AD : BE的值为（）A. 3 :1B. .2 :1C. 5：3 D.不确定（深圳市中考题）【答案】

16、 A 连接AO、DO，由 AOD BOE得AD DO17在 ABC中，最大角 A是最小角 C的2倍，且BE EOAB =7 ,AC =8，贝V BC =().A. 7.2B. 10C. 105D.7、3（全国初中数学联赛题）【答案】C a2= c(b c).18. (1)如图,在Rt ABC中,ABC =90 , BD _ AC 于点D .求证：AB2 二 AD AC ;（2）如图，在 Rt ABC中， ABC =90 ，点D为BC边上的点，BE _ AD 于点E ,延长BE交AC于点F ,理 BD =1 ，求匚的值;BC DCFC（3）在Rt ABC中，.ABC =90 点D为直线BC上的动

17、点（点D不与点B、C重合）,直线BE _ AD于点E，交直线AC于点F .若 些二_BD二n，请探究并直接写出 圧的所有BC DCFC可能的值（用含 n的式子表示），不必证明.（2012年莆田市中考题）图（第18题）AF C图D（第 19题）【答案】（1）略AF AE 2 AF（2）作CG _AD交AD的延长线于 G , AEF AGC，由得 2.AC AG 3 FCAF2AF2当点D在BC边上时，n2 n ;当点D在BC延长线上时，n2 - n ;当点D在CBFCFC延长线上时，At =n -n2.FC19. 如图，H、Q分别是正方形 ABCD的边AB、BC上的点，且BH =BQ，过B作HC

18、的 垂线，垂足为P .求证：DP _ PQ .（“我爱数学”夏令营试题）【答案】由 Rt PBH s Rt PCB 及 BH =BQ ,得岂二 B!,CP BC CD又.PBQ . BCP 二 BCP DCP =90，得.PBQ = DCP，从而 BPQ CPD , 得. BPQ =. DPC.【应用探究乐园】20. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC /OA , OA=7 , AB=4COA =60，点p为x轴上的一个动点，点 p不 与点O、A重合，连接 CP，过点p作PD交AB于点D .1求点B的坐标；2当点p运动到什么位置时，OCA为等腰三角形，求这时点p的坐标；BD

19、 53当点p运动到什么位置时，使得 CPD - OAB，且一一，求这时点p的坐标.AB 8【答案】（1） B（5 , 2 3） OCP为等腰三角形，P点坐标为（4 , 0）或（V , 0）.3 AD , CPD =/OAB =/COA =60 , OCP =/DPA =120 一/CPQ，得 OCP2OP OCx 4APD , =,设OP =x , AP =7 _x ,即-一,解得x1 =1 , x2 =6，故 P点坐标为AD AP3 7 x2（1, 0）或（6, 0 .21. “ ？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2

20、 : 1在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当温室的长与宽各位多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2 ？前侧空地解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为 2xm ？蔬菜种植区域根据题意，得x2x =288.解这个方程，得x-12 （不合题意，舍去），x2 =12.所以温室的长为 212328（m），宽为12 T T二14（m）.答：当温室的长为 28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.c、A_=我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了 一条横线，并打了一个”？ ”.结果为何正确呢？（1 ）请指出小明解答中存

21、在的问题，并补充缺少的过程（2）如图，矩形 A B C D 在矩形 ABCD的内部， AB/ A B，AD/AD，且 AD:AB=2:1设 AB 与 AB，BC 与 B C，CD 与CD，DA与DA之间的距离分别为 a, b,c,d，要使矩形矩形 A B C D矩形ABCD，a,b, c, d应满足什么条件？请说明理由（2012年南京市中考题）【答案】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2 : 1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm ”前补充以下过程:设温室的宽为ym，则长为2ym .所以矩形蔬菜种植区域的宽为（y -1 -1）m，长为（2y-3-1）m.因为2y

22、 _3 T _2y _4 _2 y T T y -2所以矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2 : 1.21要使矩形 ABCD s矩形ABCD，就要ADABADAB即 AD -(a c) AB (b - d)即 2AB (a+c) _2 即 a+c _2AB _(b d) 1 b d10.相似三角形的应用【问题解决】例1如图，ABC内有一点P ,过P作各边的平行线，把, :ABC分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积 S1、S2、S3分别为1、1、2，则ABC的面积是乌鲁木齐市中考题）【答案】6 4 2 设厶ABC的面积为S，则二 . =巴7s 0).连接DP，经过一秒后，四边形 EQDP

23、能够成为平行四边形吗？请说明理由.（2）连接PQ，在运动过程中，不论 t取何值时，总有线段 PQ与线段AB平行，为什么?（3）当t为何值时，AEDQ为直角三角形？（2012年包头市中考题）分析与解 把相关线段用t的代数式表示，解题的关键是从比例线段入手对于（3），分类讨论建立t的方程.445.CP 4 t CQ5t44 t CPCQCA 一 4 ,CB -5J 4CA-CB .又 t . C - . C, . QPQ s. CAB , CPQ /CAB, PQ/ AB .55(2) AP 二t, BQ=t,. CP =4 t , CQ =5 -t不论t取何值时，总有线段 PQ与线段AB平行.（

24、3）如图，当.EQD又 EQ / AC, . ：DEQ如图，当.DEQP=90 时,=90 时,AC四边形EQCP是矩形，生竺，即4-tAC DC4EQ =PC524= 4t,解得t = 2.5 ;(1 )能T . EDQ =/CDA, DEQ C =90 , . EDQ s . CDA ,匹=匹DA DC在 Rt ACD 中，T AC =4,CD =3, AD = 5 ./ EP / DC , . AEP s ADC ,.AE AP 前 AE t,即AD AC 5455- AEt, DE =5 t .4 45 5-t-25 t 4=4，解得 t = 3.153综上所述，当t = 2.5s或3

25、.1 S时，UEDQ为直角三角形.例6兴趣小组的同学要测量树的高度 在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部 分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子的长为0.2米，一级台阶高为0.3米如图，若此时落在地面上的影长为4.4米，求树高.（绍兴市中考题） 分析与解如图，树的影长有三部分 BE、DE和CD，将树的这三部分影长转化为两部分咼 BF、 AF .CF =DF CD =BE CD =4.4 0.2 =4.6,由 =得 AF =11.5 , CF 0.4 AB =AF BF =11.8，即树高为 11.8 米.数学

26、冲浪【知识技能广场】1. 如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，.AED二.B,如果AE =2 , ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5,那么AB的长为.（2012年上海市中考题）【答案】32. 如图，平行四边形 ABCD中，ad =10cm,cd =6cm , E为AD上一点，且BE = BC ,CE =CD，贝U DE =cm.（2012年南京市中考题）（第 1题）（第2题）【答案】 3.6 CDE BEC .3如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB , B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下, 塔影DE留在坡面上，已知铁塔底 CD =12m，塔影长DE =18m，小明和小华

27、的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点 E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上, 两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为 m.（宁波市中考题）【答案】24塔影落在坡面部分的塔高塔影DE长小明的身高 塔影落在平面部分的塔高 小明的影长，塔影BD长小华的身高小华的影长4如图，已知Rt ABC , D1是斜边AB的中点，过D1点作D1E1 AC于点E1，连BE1交CD1于点D2 ,过D2点作D2E2 _ AC于点E2，连接BE2交CDi于点D3 ,过点D3作D3E3 _ AC于 点E3 ,如此继续，可以依次得到点 D4D5 ,Dn,分别记.：BDi El , BD2E2，:BD3E

28、3 ,BDnEn 的面积为 SiS?, ,Sn，则 二s-：abc （用含n的代数式表示）.（湖州市中考题）【答案】n11由题意得，S= SCD1E1, S2 =S_CD2E2,S3= ScD3Es，HI，Sn=ScD启.CDiEiABC ,SCD1E1D1E1 f 育即 Sgr 说 T，即 A? Sabc SCD2E2 S ABC借卜厲即“同理可得S ABC .可以猜想，Sn二丄5+1丿S ABC .5如图，在平行四边形 ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE、BE、BD且 AE、BD 父与点 F，则 S.def : S.ebf : S.abf=().A. 4 : 10:

29、25B. 4:9:25C. 2:3:5D. 2:5:25（2012年绥化市中考题【答案】 A6.如图，将矩形纸片 ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若 AB =2,BC =3，则.FCB与 B DG的面积之比为（）.A. 9:4 B. 3:2C. 4:3D. 16: 9（2012 年泰安 市中考题）【答案】D7如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC =3.2m,CA =0.8m,于是就得出树的高度为（）.A. 8 mB6.4 mC. 4.8 mD. 10m（2012年贵州省

30、中考题）（第 7题）（第 9题）【答案】 A&如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点0为坐标原点，边 OA在x轴上，0C在y轴 上，如果矩形OABC 与矩形OABC关于点0位似，且矩形OABC 的面积等于矩形 OABC 面积的1,那么点B 的坐标是（）.4B. 2,-3A. -2,32,3 或 2,-3（2012年东营市中考题） 【答案】D 符合条件的矩形 OABC 有两种情况，分别在第二象限和第四象限9如图，花丛中有一路等杆 AB.在灯光下，小明在 D点处的影长DE =3米，沿BD方向行 走到达G点，DG =5米，这时小明的影长 GH =5米，如果小明的身高为 1.7米，求路灯杆AB的高

31、度（精确到 0.1米）（盐城市中考题）CD 【答案】设AB=x米，BD =y米，由 CDE ABE，得 炉AB由厶 FGH ABH，得 FG GH，即175.AB BH x 10+y由得x 6.0, y : 7.5 .10.如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F .（1）如图，当点 E运动到DC的中点时，求ABF与四边形ADEF的面积之比；（2）如图，当点 E运动到CE : ED =2:1时，求.ABF与四边 形ADEF的面积之比；DEBExA图B,C D E C图B（第10题）(3)当点E运动到CE:ED =3:1时，写出.：ABF与四边形ADEF的面积之比；当点 E运

32、动 到 CE:ED = n:1 ( n是正整数)时，猜想.ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果，不要求写出计算过程)；(3) 请你利用上述图形，提出一个类似的问题(山西省中考题)【答案】据题意可证 FEC FBA，所以S CEFS ABF因为 SDEF = S_cef , S_abf -S ADF ,S| ABF所以Q边形ADEFS ABFS ADF(2)如题图，连接DF .与同理可知SCEFS ABF1S|_DEF =2 SCEF , S.adf=S ABF ,所以 Sabf乐边形ADEFS ABFS DEF S ADF11S ABF当 CE : EC =3:1 时，&边形ADEF16

33、 .当 CE:19ED =n:1 时,S ABF(n 1)2S四边形ADEF2(n 1) n2n 2n 1二 2n 3n 1略11.如图，已知动点A在函数y=4(x 0)的图象上，AB_x轴于点B , AC _ y轴于点C , x延长CA至点D，使AD =AB，延长BA至点E，使AE = AC 直线DE分别交X轴， y轴于点P,Q,当QE: DP =4:9时，图中阴影部分的面积等于 .(2012年温州市中考题)E DQ E2dDtpE ,DA -E A-A _c- AQ E4，贝k DP k E.D k50104S ADE -2，由 ADE CDQ 得 S|_ABC, S_CDE, SaCE

34、, S_ADB =3，故933 S阴影=S ACE S ADB-一 312. 如图，在梯形 ABCD 中，AB / CD , - ABC =90 , BD _ AD,BC =5,BD =13,则梯形 ABCD的面积为.(“新知杯”上海市竞赛题) 【答案】1565 BCD ADB .2413. 在 ABC中，P是AB上的动点(P异于A、B),过点P的直线截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的厶ABC的相似线，简称为 P lx （ x为自然数）（1 ）如图，.A =90 , . B =/C,当BP =2PA时，P l1、P l2都是过点P的.：ABC的相条;BP(2)如图，.c =

35、90 , . B =30 ,当 BA时，P lx截得的三角形的面积为. ：ABC似线（其中丄BC,I2 / AC ）,此外，还有1的丄.4（2012年泉州市中考题）x（第11题）（第12题）的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形【答案】（1）114. 如图，矩形ABCD的周长为(2)1或-或2 4ABCD 中，_348个面积均为（深圳市中考题【答案】8、5ABDFBFDG（第14题）（第15题）AE =EFAE 4FG 2=4 , FG =2 , BAE=/CEF , CEF =/DFG . ABEFDG ,A B= C , BE ,CAB =CF DF1DF AB，且 ABE E C F,

36、故 211AB ,得 BE AB，设 BE m，则B22a2 ,4J5 在 Rt ABE 中，5a2 =16, a =515如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为q2，则梯形的面积为（A. 2 P2 q2b. (p+qf小2丄 2C. p q pq2 2D. p q2 2.p qp2 q2（广东省竞赛题）【答案】B16.如图，ABC中，CD _ AB交AB于点D，有下列条件：定能判断 .A=/BCD;.A . BCD =/ADC; BD =BC； BCBD BA.其中, CD AC（第16题）（第17题）172（四川省竞赛题）ABC是直角三角形的共有（).A. 0个

37、B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C17.如图，已知矩形ABCD，AB =8,BC =6,若将矩形顶点 A、C重合折叠起来，则折痕 PQ 长为（）【答案】 A18 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在 AB 的同一侧作等腰 Rt ACD和等腰RL BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N 给出一 一 11 11以下三个结论： MN / AB;11；MN - AB.其中正确结论的个数是MN AC BC4（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3（嘉兴市中考题）【答案】D提示：MN 二 AC UBC,而 2AC|_BC AC2BC2,4AC _ BC

38、（ACBC）2二 AB2,AB一所以 AC JBC w 丄 AB2，故 MN4二 AC L BCAB-AB2AB4ab19. 在等腰 厶ABC中，AB =AC =5,BC =6,动点M、N分别在两腰 AB、AC 上 （ M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN / BC，将 AMN沿MN所在的直线折叠，是点 A的 对应点为P.（1 ）当MN为何值时， 点P正好落在BC上?（2）设MN =x ：MNP与等腰 ABC重叠部分的面积为 y，试写出y与x的函数关系式当X为何值时，y的值最大，最大值是多少 ？（宁夏中考题）AAD（第19题）【答案】当MN冷BC时，点p在BC上.当0 : x w 3时

39、,当 3 ：x ：6 时，12y=-x ，当x=3时，y有最大值为3设 P MN与BC相交于点E ,3.F,B（边上的高为4 ,则SPEFS ABCx 434，Sp E f (3x - 3) ， y = S A M N_ S2x-4 ( x 靳 二2孑 8 x 12 32，y的最大值为4.24= _(x4)4 时 Spef (x3)3综上，当x=4时，y的值最大，最大值为 4.20. 如图，在梯形 ABCD中，AD / BC,AD =3,DC =5, AB =4, 2,/B =：45 ，动点 M 从 B 点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每

40、秒1个单位长度的速度向终点 D运动，设运动的时间均为 t秒（1 ）求BC的长；（2）当MN / AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时， AMNC为等腰三角形.（济南市中考题）【答案】（1）BC=10.（2）如图，过 D 点作 DG / AB 交 AB 于 G 点，贝 U BG =AD =3, GC =7. MN / DG . 当 M、N 运动 t 秒时，CN =t, CM =10 -2t ,图图图FC（第20题）由厶MNC GDC，得空=泌，得1=,解得t 50 .CD CG 571710当NC =MC时，如图，贝U t =10 2t , t .3 当MN二NC时，如图，过点 N作NE

41、_ MC于E ,过点D作DH _ BC于H，由 NEC s DHC，得兰 EC，即 1 =5 t ,解得t =竺.DC HC 538 当MN =MC时，如图，过点 M作MF _CN于F，贝U FC二12 21由厶MFC DHC ,得空二匹,即=-2t ,解得60 .HC DC 3517【应用探究乐园】21. 如图，小明、小刚站在路灯AB下，且B、D、F、G在同一直线上，测得小明的影长DF =3m.小刚的影长FG =5m若小明的身高是1.6m,小刚的身高是1.88m ;（1）求路灯AB的高度；（2） 若小明的眼睛与地面的距离为1.58m，此时在G处的旗杆GK恰巧处于小明的盲区内，求旗杆GK的高及

42、旗杆的影长GP .（宿迁市中考题）KB D F G（第21题）【答案】如图，设BD =x mPAB = y m .因为ABBF即律x 3CDDF 1.63 ，ABBG即y -x 8 0）, P是直线AB上的一个动点，作 PC丄x轴，垂足为C ,记点P关于y轴的对称 点为p （点p 不在y轴上），连接PP ,P A, P C,设点P的横坐标为a.当b = 3时，求直线AB的解析式; 若点p 的坐标是 -1,m，求m的值.,（2）若点P在第一象限，记直线 AB与PC的交点为D，当PD : DC =1:3时，求a.的值.（3） 是否同时存在a,b,使.P CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足

43、要求的 a, b的 值；若不存在，请说明理由.（温州市中考题）【答案】y=3x4(2) / PP / AC ,P DDCCA4-a =.5以下分三种情况讨论.（第22题）P在第一象限时，.APC =90 , PA 二PC （如图）.当点 i)若 过点P 作 PH _x轴于点H ,1 PP 二 CH 二 AH 二 P H AC ,21 丄42a (a 4), a .2 31T PH =PCAC , ACP AOB ,2 OB=rc =1，即 b.1 , b=2.OA AC 242ii)若.PAC=90 , PA 二CA (如图)， 则 PP 二 AC, 2a =a 4 , a =4. PA =PC =AC , ACP AOB ,匹=巴=1,即b =1,.b =4.OA AC4iii）若.PCA =90，则点P , P都在第一象限，这与条件矛盾PCA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形，（如图），此时 PCA不可能是等腰直角三角 当点P在第二象限时，ZP AC为钝角 形.（如图），此时 PCA不可能是等腰直角三角 当点P在第三象限时，ZP AC为钝角形.所有满足条件的a , b的值为4a =3b = 2,或b =4.微探究三角形内接四边形例1如图，设D是 ABC的边AB上的一点，作