14二次函数方程不等式

1、14 二次函数 方程 不等式一、明确复习目标1 掌握二次函数的图象和性质；2 掌握一元二次函数、方程、不等式的关系;3 会讨论二次方程实根分布和二次不等式的解；4 会运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析解决有关二次的问题。二建构知识网络1二次函数的三种表达式：一般式： 顶点式：; 零点式：2二次函数图象抛物线的开口方向，对称轴：，顶点：，最值：，单调区间：，3二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，要按对称轴相对于区间的位置进行讨论。4.一元二次函数、方程、不等式之间的关系（见上课时表）5.一元二次方程实根分布的讨论（1） 利用函数的图象、性质;（2

2、） 利用韦达定理、判别式。三、双基题目练练手1.已知函数f（x）=4x2mx5在区间2，）上是增函数，则f（1）的范围是A.f（1）25B.f（1）=25 ( )C.f（1）25D.f（1）252.二次函数y=x22（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为ABC的三边长，则ABC为 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三D.等腰三角形3.如果函数f(x)xbxc对于任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么（ ）A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0求解。【例4】（2006浙江）设f

3、(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0, ,f(0)0，f(1)0，求证： ()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.证明：（I）因为f(0)0,f(1)0，所以c0,3a+2b+c0由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根 故方程在内有两个实根.【研究.欣赏】已知二次函数的图像经过（1，0），是否存在常数使得不等式对一切实数都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由解：的图像经过点（1，0）， 又 ，令得，即由上式得:即的解为（1）当（2）当不等式组的解为;当时，由因此存在常数

4、，其中五提炼总结以为师1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象性质是处理二次函数问题的重要依据。2题型.思想.方法:(1)二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。(2)二次方程根的分布问题，可用韦达定理或借助二次函数图象列不等式组求解。(3)三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。例题简答同步练习 14 二次函数 方程 不等式【选择题】1 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A B C D 或2.（2004重庆）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ）（A） （B） （C）

5、（D）3设f (x)=x2-4x (xR)，则f (x)0的一个必要而不充分条件是 ( )A、x0 B、x4 C、x-11 D、x-23【填空题】4.(2004江苏)二次函数y=ax2+bx+c (xR)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是_.5. （2005江苏）已知a,b为常数，若，则 .6.已知f（x）=x22x+3，在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_.答案：1-3、CCC；4、或；5、2; 6、1，2提示：1、排除法当时，原方程有一个负的实数，可以排除A、D当时，原方程有两个相等的负实数，可以排除

6、B，故选C6、画二次函数图象知m1，2.【解答题】7已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴与区间相对位置。解：设f (x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意 （2） 8. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)。 (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的

7、取值范围。 证明(1) 由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点。解(2) 设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=。|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()9对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b

8、1（a0）（1）当a=1，b=2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.解：（1）当a=1，b=2时，f（x）=x2x3=xx22x3=0（x3）（x+1）=0x=3或x=1，f（x）的不动点为x=3或x=1.（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点对任意实数b，ax2+（b+1）x+b1=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根对任意实数b，=b24a（b1）0恒成立对任意实数b，b24ab+4a0恒成立=（4a）244a00a1.10.设二次函数,方程的两根满足(1) 当时,证明(2) 设函数 的图象关于对称,证明.证明:（1）的根知由已知又故得（2）依题意知法2:对称轴【探索题】1.设函数2+8x+3 (0),对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区