平面向量与圆锥曲线的综合问题

1、平面向量与圆锥曲线的综合问题例1 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若P是第一象限内该数轴上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知，设则，又，联立，解得，（）显然不满足题设条件可设的方程为，设，联立，由，得又为锐角，又综可知，的取值范围是例2 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作

2、圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14分（I）解法一：设两点坐标分别为，由题设知解得，所以，或，设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为解法二：设两点坐标分别为，由题设知又因为，可得即由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为（II）解：设，则在中，由圆的几何性质得，所以，由此可得则的最大值为，最小值为例3 已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点（1）已知，求的

3、值；（2）求的最小值PBQMFOAxy解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）（1）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，由，得：整理得：解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）（1）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即（）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为同步练习1 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ B ）A9B6C4D32 设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则（ B ）A BCD 3已知是椭圆的两个焦点满足0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A(0，1) B(0，

4、C(0，) D，1)4 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e=（ ）ABCD5 P是抛物线上的动点，点A（0,-1），点M 满足，则点M的轨迹方程是（ A )A） （B） （C） （D）6 .已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ( B )A.B.C.D.7设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若 则l的取值范围为_8已知点，动点满足，则动点P的轨迹方程是_ 9椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点

5、C 满足（1）用直线的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：（1）设椭圆E的方程为( ab0 )，由e =a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分向量的比为2， 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2将x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 10在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线的方