南阳市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)(有答案)AwwnAH0002

1、2015-2016学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷(理科)、选择题(每题 5分)1 虚数的平方是()A .正实数 B .虚数C .负实数D .虚数或负实数2 有一段三段论”推理是这样的：对于可导函数 点，因为函数f(x) =x3在x=0处的导数值f(0) =0,( )A 大前提错误B 小前提错误C.推理形式错误3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 方程可能是()A . - =0.4x+2.3 B .=2x - 2.4 C.f (x)，如果f ( X0) =0，那么x=X0是函数f (x)的极值 所以，x=0是函数f (x) =x3的极值点以上推理中D .结论正确=3, =3

2、.5，则由该观测数据算得的线性回归4甲射击命中目标的概率是i； = 2x+9.5，乙命中目标的概率是寺，丙命中目标的概率是D .乍=0.3x+4.4夕现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为(3105.已知X是离散型随机变量，P (X=1 )=,P (X=a)丄,E (X)=丄,则D (2X - 1)等于(896复数A. 1008 B. 1008D .丄2016B吉C i+2i2+3i3+4i4+2016i2016 的虚部是(C. 1008i D . 1008ix7y的系数为(B. 20 C. 30 D. 60d)时，P ( j X j+ d =0.6826, P ( j 2 o X w7.

3、 (x2+x+y) 5的展开式中,A . 108 .已知XN ( ji+2 d) =0.9544 , P ( J 3 o 0时，有f (x)- xf (x) 0成立，则不等式f (x) 0的解集是()A. (-a,-3)U(0,3)B. (-a,-3)U(3,C.(- 3,0) U (0, 3) D. (- 3,0)U (3, +a)二、填空题(每题 5分)13 .已知复数 z 满足 z (1 - i) = - 1 - i，则 | z+1| =.14在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为 优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是二，设甲投中蓝的次数为 X，则期望E (X

4、) =.15.已知 f (x)=十，定义 f1 (x) =f (x), f2 (x) =f1 (x)，fn+1 (x) = fn (x) n N*e A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随 机取出一球，以 B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：IE P ( B)；& P (B|A1)=； 事件B与事件 A1不相互独立； A1, A2, A3是两两互斥的事件； P ( B)的值不能确定，因为它与 A1, A2, A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为 .(把正确结论的序号都填上) 三、解答题17已知(x 一一+3x2) n的展开式中，各项系数和比它的二项式

5、系数和大992，求：(1) 展开式中二项式系数最大的项；(2) 展开式中系数最大的项.18 .已知函数f (x) = - x3+ax在(-1, 0)上是增函数.(1) 求实数a的取值范围A ；(2) 当a为A中最小值时，定义数列an满足：a1 (- 1, 0),且2an+1 =f (an),用数学归纳法证明 an (-1, 0),并判断 弟+1与an的大小.19. 3个人坐在一排6个座位上，问：(I) 3个人都相邻的坐法有多少种？(n)空位都不相邻的坐法有多少种？(川)空位至少有2个相邻的坐法有多少种？20. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分

6、或下满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p ( p=-),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为J(1) 求p的值；E的分布列和数学期望 E E(2) 设E表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量21 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为80, 90）、90, 100）、100, 110）、110,120）、120, 130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图:（I ）完成下面2X 2列联表，你能有97.5%的把握认为 这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实

7、验100, 120）的人数，求E的分布列和数学有关”吗？并说明理由;成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班a=b=50乙班c=24d=2650合计e=f=100（H）现从乙班50人中任意抽取3人，记E表示抽到测试成绩在期望EE附：K2二 宀. ，其中 n=a+b+c+dCa+b) (c+d) (a+c) (b+d)P( K2 ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.2046.6357.87910.82822.设函数f (x) =ex (ax+b)(其中e=2.71828)，g (x) =x2+2bx+2，已知它们在 x=0

8、处有相同的切线.(1) 求函数f (x) , g (x)的解析式；(2) 若函数F (x) =f (x) +g (x)- 2 (ex+x)，试判断函数F (x)的零点个数，并说明理由；(3) 若函数f(x)在t, t+1 (t-3)上的最小值为 $(t)，解关于t的不等式$ (t)4e2.2015-2016学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每题 5分)1. 虚数的平方是()A 正实数B.虚数C.负实数D 虚数或负实数【考点】 复数的基本概念.【分析】 求出(a+bi) 2=a2-b2+2abi，从而得到虚数的平方是虚数或负实数.【解答】 解：(a+bi

9、) 2=a2+b2i2+2abi=a2 - b2+2abi,/ b 0,当a=0时，(a+bi) 2是负实数， 当0时，(a+bi) 2是虚数.虚数的平方是虚数或负实数.故选：D.2. 有一段 三段论”推理是这样的：对于可导函数 f (x)，如果f( x0)=0，那么x=x0是函数f (x)的极值 点，因为函数f (x) =x3在x=0处的导数值f(0) =0,所以，x=0是函数f (x) =x3的极值点.以上推理中( )A .大前提错误B .小前提错误C.推理形式错误 D .结论正确【考点】演绎推理的基本方法.【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是大前提”错误，也可能是

10、小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：对于可导函数f (x),如果f (xo) =0，那么x=xo是函数f (x )的极值点”，不难得到结论.【解答】解：T大前提是：对于可导函数f( x),如果f(X0)=0,那么X=X0是函数f(X)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数 f (x),如果f (X0)=0，且满足当X=X0附近的导函数值异号时，那么X=X0是函数f (x)的极值点，大前提错误，故选A.3. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3, 丁 =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A . y =0.4x+2.3 B . y =2x

11、 2.4 C. y = 2x+9.5 D. y = - 0.3x+4.4【考点】线性回归方程.【分析】 变量x与y正相关，可以排除 C, D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解：变量x与y正相关，可以排除C, D;样本平均数=3，- =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A.Ill114. 甲射击命中目标的概率是 忖，乙命中目标的概率是忖，丙命中目标的概率是二，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()3247|A .刁B .三C .亩D .远【考点】 互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式.【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减

12、去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果.【解答】 解：目标被击中的概率等于 1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，1113故目标被击中的概率是1 ( 1-&)(1 -)(1寿)=故选：A.5.已知X是离散型随机变量,2 1P (X=1 )壬,P (X=a)亏,E (X)=4=3，贝y D (2X 1)等于(89 【考点】 【分析】1).13离散型随机变量及其分布列.由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a,进而求出D (X ),由此能求出 D ( 2X【解答】解： X是离散型随机变量，P (X=1 )-214由已知得1 x彳加x丄才,解得a=2, D(X)=(2x

13、1)2x故选：A.6.复数 i+2i2+3i3+4i4+2016i2016的虚部是(A . 1008 B . 1008 C. 1008i D . 1008i【考点】复数代数形式的混合运算.利用错位相减法进行求和化简即可.解：设 S=i +2i2+3i3+4i4+ - +2016i2016,3,：4,：5,c“c：2017【分析】【解答】则 iS=i2+2i3+3i4+4i5+2016i两式相减得(1 i) S=i+i2+3i3+4i4+i216- 2016i2017,1(1- 20161 i二 201脈1 - i则S=2016i=2016i= 2016i,1 1-20161 C&1)=1008

14、 1008i,则对应复数的虚部为-故选：B21008,7. (x2+x+y) 5的展开式中，x7y的系数为()A. 10 B . 20 C. 30 D . 60【考点】二项式定理的应用.【分析】只有当其中一个因式取 y，个因式取x,其余的3个因式都取x2时，才能可得到含 x7y的项, 由此得出结论.【解答】 解：T( x2+x+y) 5表示5个因式(x2+x+y)的乘积，当只有一个因式取y，个因式取x,其余的3个因式都取x2,即可得到含x7y的项.故x7y的系数为C扌=20,故选：B.& 已知 X N (卩，c?)时，P (卩-o X W 卩+ =0.6826, P (卩-2 o X 口+2

15、cr) =0.9544 , P (3 o XI2_ I? 21W 时3? =0.9974，贝 r qZ dx=()A . 0.043B . 0.0215 C. 0.3413 D. 0.4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1【分析】由题意可得 尸0, c=1，求出P (3 X 4)=二X P (- 2 X 4)- P (- 1 X 3)，即可得 出结论.【解答】解：由题意，尸1, 0=1,P ( 3 v X 4)=寺 X P (- 2 v X 4)- P (- 1v X 0时， 且 f (x)v 在x v 0时，故选D f0；f 0), (0, 由f (x)的图象及f (x)为

16、单调递增函数，(x)为单调递减函数且10如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 取一个小正方体，记它的涂漆面数为X,C A D +R)上的值小于(x)的意义知，f (x)v 0 则X的均值m, 0) , (0, +m)上都是单调减函数，可知导函0,然后得出它的导函数的性质即可直接判断.125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机 E (X )=()7 B 【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】由题意可知：X所有可能取值为 棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下1250,1 , 2, 38个顶点处的8个小正方体涂有3面，每一条 3个，一共有3 X 12=36个小正方体涂有 2面， 每

17、个表面去掉四条棱上的 16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9 X 6=54个小正方体涂有 面，由以上可知：还剩下 125-( 8+36+54) =27个内部的小正方体的 6个面都没有涂油漆，根据上面的 分析即可得出其概率及 X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出.【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0, 1, 2, 3_ 8 8个顶点处的8个小正方体涂有3面， P (X=3 ); 每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3X 12=36个小正方体涂有2面， P(X=2 )36=:-;_LI :- 面， P (X=1 )= 每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还

18、剩下9个小正方形，因此一共有9 X 6=54个小正方体涂有一 由以上可知：还剩下125-( 8+36+54)=27个内部的小正方体的 6个面都没有涂油漆, P( X=0)27125 23368125125X 012754PP 125125故X的分布列为27kd因此 E(X)=0X+1X故选B .11 从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为()A 96 B 98 C 108 D 120【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，首先计算从 6个人中选取5人的情况数目，进而按照选出5人的身高与所站位置的不同分2种

19、情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在 4号第二高在5号，第三高在2号，分别求出每一种情况的排法数目， 由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，先从 6个人中选取5人，有C65=6种取法， 进而分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，则这5个人的排法有A22X A33=12种，则此时有6X 12=72种方法；2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号, 则此时有2X C65+2X C65=24种方法；则一共有72+24=96种排法；故

20、选：A 12 .已知函数f (x)是定义在 R上的奇函数，且f (- 3) =0，当x 0时，有f (x)- xf (x) 0成立，则不等式f (x) 0的解集是()A (-a,- 3)U(0,3) B (-汽-3) U(3,+呵C. (- 3, 0) U(0,3)D. (- 3, 0)U (3, +a)【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算.f(X)【分析】构造函数g (x)= 一 ，求函数的导数，以及函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将 不等式f (x ) 0转化为g (x ) 0或g (x )v 0进行求解即可.【解答】解：设g (x) =L 仗)则 g

21、(x)=,当 x 0 时，有 f (x) - xf (x) 0 成立，当x 0时，有xf (x)- f (x)v 0成立，即此时g (x)v 0，函数g (x)为减函数，/ f (x)是定义在 R上的奇函数且f (- 3) =0, f (3) =0,且 g (x)是偶函数，g (3) =g (- 3) =0,当 x 0 时，f (x) 0 等价为 g (x) 0,即 g (x) g (3)，得 0v xv 3,当 x v 0 时，f (x) 0 等价为 g (x)v 0,即 g (x)v g (- 3),此时函数g (x)增函数，得xv- 3,综上不等式f (x ) 0的解集是(-a,- 3)

22、 U (0, 3),故选：A 二、填空题(每题 5分)13 .已知复数 z 满足 z (1 - i) = - 1- i，则 | z+1| =_ . :_ 【考点】复数求模.【分析】 设出z=a+bi，求出a, b的值，从而求出|z+1|的值即可.【解答】 解：设z=a+bi,/ z (1 - i) =- 1 - i,.( a+bi) (1 - i) =a+b+ (b - a) i= - 1 - i,-1，解得：且 f b=l z= - i,则|z+1| =| 1 - i|=二，故答案为：14在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮9投中的概率是刍,设甲投中蓝的次数为 离散型随机变量的期望与方差.

23、由题意得X的可能取值为0 ,4次，若投中3次就称为 优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮 X，则期望E( X) =_【考点】 【分析】 学期望.【解答】1, 2, 3，分别求出相应的概率，由此能求出甲投中蓝的次数X的数(X=0)(X=3)解：由题意得X的可能取值为=(1-二)(l-f)5=S.8(X=1)(X=2)0， 1, 2， 3, EX=0 X故答案为:81，2481 81 81存普十防欝曲药右.200:-.=1 -(48 20015.已知经计算f1K - 2，f3 (X)=(X) =f (X), f2 (X) =f (X)，fn+1 (X) = fn (x) n N* .,，照此规律，则f

24、n (x)【考点】归纳推理.【分析】由已知中定义 f1 (X) =f(x) ,f2( X) =f1(X),，fn+1(X)=fn(x),nN* .结合f1(X)17K - 23- s：，f2 (X)=,f3(X)=直re【解答】解： f1 ( X)=,，分析出fn (X)解析式随n变化的规律，可得答案.f2 ( X)=f3 (X)=由此归纳可得:故答案为:fn ( X)=eK16甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有 5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐，分别以 Ai、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随 机取出一球，以 B表示由乙

25、罐取出的球是红球的事件，下列的结论：1| P( B)； P( B|A1)=一； 事件B与事件 A1不相互独立； Al，A2，A3是两两互斥的事件； P( B)的值不能确定，因为它与 Ai, A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为.(把正确结论的序号都填上)【考点】概率的基本性质【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析五个结论的真假，可得答案.【解答】 解：甲罐中有 4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有 5个红球，3个白球和2个黑球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以Ai、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表示

26、由乙罐取出的球是红球的事件,12 P (B|Ai)=亠亠10 11 10 A 11，正确;，故错误; 事件B与事件Ai不相互独立，正确; A i, A2, A3是两两互斥的事件，正确; 故答案为： 三、解答题2 2i7已知(x 一一+3x2) n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：(1) 展开式中二项式系数最大的项；(2) 展开式中系数最大的项.【考点】二项式系数的性质.【分析】(i)由题意可得4n - 2n=992，求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项.(2)利用通项公式求得第 r+i项的系数为3r? , r=0 , i, 2, 3, 4, 5,检验可得系数最大的项.

27、【解答】解：(i)由题意可得 4n-2n=992，求得2n=32,. n=5.故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，3 6 6 3 22 22IQMr即 T3=C：?9?x6=90x6,或 T4=C专？27?护=270.2f(2)由于(x可+3x2) 5的展开式的通项公式为Tr+i = 5?3r故第 r+i 项的系数为 3r?C?, r=0, i, 2, 3, 4, 5,K4 型 I 2S故当r=4时，该项的系数最大，即第5项的系数最大，该项为T5= ?8i? 一=405 一一.XX3i8.已知函数f (x) = - x +ax在(-i, 0)上是增函数.(1) 求实数a的取值范围A

28、；(2) 当a为A中最小值时，定义数列an满足：ai (- i, 0),且2an+i=f (an),用数学归纳法证明 舛 (-i, 0),并判断Oi+i与an的大小.【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性.【分析】(i)通过函数的导数值恒大于等于0 ,求实数a的取值范围A ；(2)直接利用数学归纳法证明步骤证明an(- i, 0),通过作差法比较 an+i与an的大小.【解答】 解：(i f (x) = - 3x2+a0 即 a 3x2 在 x ( - i, 0)恒成立，a3. a 3, +8); A= 3, +8);(2)用数学归纳法证明：an (- i, 0).(i) n=1 时，由

29、题设 ai (- 1, 0)；(ii )假设 n=k 时，ak (- 1, 0)则当n=k+1时，叫十丄f(弧)#(且十3乜)由(1)知：f (x) = - x3+3x 在(-1, 0)上是增函数，又 ak(- 1, 0), 所以二 一(-1 )*3二- 加二寺 f (唧 # (-屏+3斗 Y0综合(i ) ( ii )得：对任意 n N*, an(- 1,0).因为 an (- 1, 0)，所以 an+1 - anV 0,即 an+1V an.19. 3个人坐在一排6个座位上，问：(I) 3个人都相邻的坐法有多少种？(n)空位都不相邻的坐法有多少种？(川)空位至少有2个相邻的坐法有多少种？【

30、考点】计数原理的应用.【分析】(I )采用捆绑法和插空法，把3人都相邻捆绑在一起，插入到这4个间隔中的一个即可(n)插空法，先排人，再插空位，川)3个空位至少有2个相邻的情况有两类，根据分类计数原理可得.【解答】解：(I)先排好3个空位，包含两端共有 4个间隔，把3人都相邻捆绑在一起，插入到这4个间隔中的一个即可，故3个人都相邻的坐法有- =24种，(n ) 3个人排有A扌=6种，3人排好后包含两端共有 4个间隔，可以插入空位，空位都不相邻将3个空位安插在这4个间隔中，故有-=24种，(川)3个空位至少有2个相邻的情况有两类， 第一类，3个空位恰有2个相邻，另一个不相邻有 从；=72 种，第二

31、类，3个空位都相邻，有肩也：=24种，根据分类计数原理的得 72 +24=96种.20. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为p ( p丄)，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛(1) 求p的值；(2) 设E表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量E的分布列和数学期望 EE【考点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)已知各局胜负相互独立，第二局比赛结束时比赛停止，包含甲连胜2局或乙连胜2局，写出5甲连胜两局的概率和乙连胜两局的概率求和为寸解出关于P的方程.(2)因为比赛进行到

32、有一人比对方多2分或下满6局时停止，所以 E的所有可能取值为 2, 4, 6,而=2已经做出概率，只要求出e=4或e=6时的概率即可，最后求出期望.【解答】解：(1 )当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故1 r i =-,解得=_ (2)依题意知E的所有可能取值为 2, 4, 6,5设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为二，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有 . / : :,则随机变量E的分布列为：616SISI 8121 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班

33、为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为80, 90）、90, 100）、100,110）、110,100, 120）的人数，求E的分布列和数学E表示抽到测试成绩在- be)2Ca+b) (c+d) (a+c) (b+d)P (K2 ko) 0.15 0.100.05ko2.072 2.706 3.841附：K2=其中n=a+b+c+d0.0250.0100.0055.2046.6357.8790.00110.828120）、120, 130）,由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（I ）完成下面2X 2列联表，你能有97.5%的把握认为 这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班a= 12b= 3850乙班c=24d=2650合计e= 36f= 64100有关”吗？并说明理由;现从乙班50人中任意抽取3人，记【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布.【分析】（I）由