三角函数最值

1、例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值 分析：由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+)+2 当2x+=2k+， 即x=k+ (kZ)时，ymax= +2 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= sin（x+） 例2 若, ，求函数y=cos(+）+sin2的最小值 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解析

2、：y=cos(+)cos2(+)=cos(+)2cos2(+)1 =2cos2(+)+cos(+)+1 =2cos2(+)cos(+)+1 =2cos(+)2+ , ，cos(+)，y最小值 = 点评：（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx)，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(x+)或y=Acos(x+)的最值的求法，应先求出t=x+的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值

3、 例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值 分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题 解 令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t，ymin=，ymax=3+ 点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= As

4、in(x+)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则sinxcosx= （05年全国卷文）当时，函数的最小值为（A）2（B）（C）4（D）解析：，当且仅当，即时，取“”，存在使，这时，故选(C)【例4】是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。解：当时，令则， 综上知，存在符合题意。【例2】 锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y，求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解：sinycscx=

5、cos（x+y），sinycscx=cosxcosysinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.tany=，当且仅当tanx=时取等号.tany的最大值为.对应角x的集合为提炼方法：先由已知变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例1】（2003春北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：由cos2x0得2xk+，解得x+（kZ）.所以f（x）的定义域为x|xR且x+，kZ.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数.又当x+（kZ）时，f（x）=3cos

6、2x1=，所以f（x）的值域为y|1y或y2.提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(x+)+m,或Acos(x+)+m的形式,再讨论性质.【探索题】函数f（x）=12a2acosx2sin2x的最小值为g（a），aR，（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值.解：（1）f（x）=12a2acosx2（1cos2x）=2cos2x2acosx12a=2（cosx）22a1.若1，即a2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=1；若11，即2a2，则当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=2a1；若1，即a2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=14a.g（a）=（2）若g（a）=，由所