勾股定理解题方法

1、17.1勾股定理技巧1利用勾股定理计算线段的长如图所示，在RtABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于点E，若AC6，BC8，CD3(1)求DE的长；(2)求AB的长及ADB的面积解析：(1)根据角平分线的性质得出CDDE，从而DE3；(2)首先利用勾股定理求出AB的长，然后计算ADB的面积解：(1)AD平分CAB，DEAB，C90，CDDECD3，DE3(2)在RtABC中，由勾股定理，得AB10，ADB的面积为SADB技巧2利用勾股定理解决折叠问题如图所示，将长方形ABCD沿着BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，若AD8AB4(1)求BDE的周长；(2)求BDE的面积解析：(1

2、)由将长方形ABCD沿BD折叠，知CDCD，CC，12，可证BEDE，即AEBEAD在RtABE和RtBCD中，利用勾股定理求出BE，BD的长，进而求出BDE的周长；(2)由题意，知C90，即DCBC，则SBDEBDCD解：(l)将长方形ABCD沿着BD折叠，CDCD，CC，12又23，13BEDE设BEDEx，则AE8x在RtABE中，BE2AE2AB2，即x2一(8一x)242，解得x5，即BEDE5在RtBCD中，BD，BDE的周长为BEDEBD10(2)C90，DCBCSBDEBECD5410，即BDE的面积为10技巧3利用勾股定理解决最短路径问题如图(1)所示是一个长方体的大箱子，已

3、知它的高为3 m，底面是边长为2 m的正方形现在点A处有一只壁虎，想沿长方体表面到达点C处，则壁虎爬行的最短路程是多少？(1) (2) (3)解析：首先将长方体展开成平面图形，连接AC，根据两点之间线段最短来解答，然后利用勾股定理求出线段的长度解：(1)如图(2)，将长方体的右表面翻折至前表面，使A，C两点共面，连接AC，则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程AC2(22)23225AC5(2)如图(3)，将长方体的后表面翻折至上表面，使A，C两点共面，连接AC，则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程AC222(23)242529AC5，壁虎爬行的最短路程是5 m技巧4利用勾股定理求图

4、形的面积如图所示，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点，且AEBE若AE6，BE8，求图中阴影部分的面积解析：先利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，再根据面积公式求得正方形和直角三角形的面积，最后求出阴影部分的面积解：AEBE，E90AE6，BE8，AB正方形ABCD的面积为AB2100SABE，图中阴影部分的面积为S阴影1002476技巧5利用勾股定理解决非直角三角形中的问题如图(1)所示，已知在ABC中，C60AB14，AC10，求BC的长(1) (2)解析：过点A作ADBC，则出现两个直角三角形：RtACD与RtABD，借助于勾股定理解题即可解：如图(2)所示，过点A作ADBC

5、，交BC于点DC60，AC10，CD5，AD5又AB14，BDBCBDCD11516技巧6勾股定理在解决实际问题中的应用如图(1)，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城正西方向240 km的点B处，以12 km/h的速度向北偏东600方向移动，距沙尘暴中心150 km的范围均为受影响区域(1)A城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)若A城受到这次沙尘暴影响，则遭受影响的时间有多长？(1) (2)解析：(1)过点A向沙尘暴行进的方向作垂线，得到点A到直线BM的距离，将该距离与150 km作比较来判断A城是否会受影响(2)由于在沙尘

6、暴中心周围150 km的范围内均受影响，故以点A为圆心，以150 km为半径画弧，该弧与沙尘暴所经路线有两个交点，先利用勾股定理求出这两点的距离，再用这个距离除以沙尘暴的速度即可求出A城受影响的时间解：(1)A城会受到影响，理由如下：如图(2)，过点A作ACBM，交BM于点C在RtABC中，ABM30，ACAB240120(km)120150，A城会受到这次沙尘暴的影响(2)如图(2)，以点A为圆心，以150 km为半径画弧，与BM交于E，F两点由题意，得CE(km)AEAF，AEFAFE又ACEACF，ACAC，ACEACF(AAS)CECFEF2CE290180(km)1801215(h)

7、.A城遭受这次沙尘暴影响的时间为15 h17.2勾股定理的逆定理技巧1利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状已知a，b，c是ABC的三边长，且满足关系式，则ABC的形状为_解析：，c2a2b20，且ab0c2a2b2，且abABC为等腰直角三角形答案：等腰直角三角形技巧2勾股定理及其逆定理的综合运用如图所示，在四边形ABCD中，已知AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC试说明ACCD解析：先在RtABC中，利用勾股定理，求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理求得ACD90解：ABBC，B90AB1，BC2，AC2AB2BC212225在ACD中，AC2CD2522549，AD2329，AC2C

8、D2AD2ACD90，即ACCD技巧3利用勾股定理的逆定理求三角形的面积如图所示，已知D，E，F分别是ABC中BC，AB，AC边上的点，且AEAF，BEBD，CFCD，AB4，AC3，求ABC的面积解析：先出BC，证明ABC是直角三角形，即可求出面积解：，设BD3x，则CD2x，由AEAF，BEBD，CFCD，即AF32x，AE43x，32x43x，解得x1，BC3x2x5又324252，即AC2AB2BC2，ABC是直角三角形，A90SABC 技巧4利用勾股定理的逆定理解决实际问题如图所示，南北向直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9：50，我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13 n mile/h的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B已知A，C两艇的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile，反走私艇B测得其离走私艇C的距离是12 n mile若走私艇C的速度不变，则走私艇C最早会在什么时间进入我国领海？ 解析：如图所示，设MN交AC于点E，从而确定么BEC90，由已知条件确定ABC90，利用勾股定理求出CE的长，最后由速度公式求出时间解：如图所示，设MN交AC于点E，则BEC90由题意，得AB2BC252122169132AC