非线性Volterra积分方程[学习资料]

1、一类第二种非线性Volterra积分方程积分数值解方法1前言 微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视. 积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作古今数学思想，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的

2、文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel命名的方程.该方程的形式为：,该方程称为广义Abel方程,式中a的值在(0,1)之间.当a=时，该式子便成为.在此之前，Laplace于1782年所提出的求Laplace反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Four

3、ier在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm和Volterra奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm方程和Volterra方程。后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式，即用古典的方法来研究相关的积分方

4、程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在内容方面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。随着数学研究的高速发展，特别是积分方程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了积分方程论，该书选择空间来讨论古典积分方程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分方程的相关问题。最近出版的比较适合一般读者阅览的积分方程的书有李星出版的积分方程，该书从最简单的方法分析研究积分方程的理论问题，并给日后打算研究泛函的读者提供了基本的实例。由于现代的计算机技术高速发展，对于一些比较复杂，难以求解的非线性积分方程逐渐采用了比

5、较有效的数值解，常用的方法有逐次逼近法、Adomian分解法、配置法、haar小波方法、小波-Galerkin方法、泰勒展开等等一些方法. 现在积分方程的应用广泛，很多问题都可以引出积分方程，并可用积分方程来解决.像弹性弦问题、线性系统响应问题、人口增长问题、等时曲线问题等等.还有在空气动力学中研究分子运动，对于非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类非线性积分方程.在确定飞机机翼方面的研究中，对于气流、升力等问题的计算中也引出了积分方程的研究.现在很多积分方程方面的研究都取得了不错的进展.2、 预备知识 积分方程是一个在积分号下出现待求的函数的方程，称作积分方程。含一个

6、未知函数的线性积分方程的一般形式为： 1我们把积分号中的上下限为常数的积分方程称为Fredholm方程。其中、是已知函数，是未知所要求的函数。一般称为自由项 ，称为积分方程的核，而是积分方程的一个参数，方程的解与相关而与Fredholm对应的是Volterra积分方程，与Fredholm的一个不同点是Volterra积分号下的上下限中的上限是一个变量而不是一个常数。本论文我们主要研究的是非线性的Volterra积分方程。非线性 Volterra积分方程的形式为 。同样，为所求。积分方程的解法：一、 Fredholm积分方程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、泛函修正平均法、Fred

7、holm积分方程退化核解法、退化核近似代替法、待定系数法。二、 Volterra积分方程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、转化为常微分方程的初值问题、第二类Volterra积分方程的数值积分解法。第二类线性volterra积分方程与第二类线性Fredholm积分方程的一个很大的差别是volterra方程的解不依赖于参数的值，即对于任何的参数该方程都有解，而且解具有唯一性。具体的证明过程参见，所以得出定理：如果核与自由函数 在Volterra积分方程的定域是连续函数，那么无论参数取何值该方程都有解，而且解具有唯一性。3、 Volterra积分方程3.1第一类Volterra积分方程3.1.

8、1 第一类线性Volterra积分方程 形如：其中函数、为已知的，为所要求的未知函数，这样的方程叫第一类线性Volterra积分方程.一般来说第一类积分方程由于其不适定性，研究其解跟第二类积分方程有很大的不同，而且比较复杂，在此主要简单介绍一下.3.1.2 第一类Volteraa积分方程的一种解法 在某种情况下第一类Volterra积分方程通常可以化为第二类volterra积分方程的解，一般对方程两边求导，当方程的、可微，且,就把第一类该方程化为第二类。化为第二类的形式为：,这样就可以用第二类积分方程的解法来求解.对于一种特殊的第一类Volterra积分方程：Abel方程，Abel方程是Vol

9、terra积分方程的一种特殊情况，其形式为： 其中当时，该方程出现弱奇性。其解可根据定理：假设Abel积分方程的自由项是连续可微的，而且，则它有唯一的解.即 3.2第二类volterra积分方程3.2.1第二类线性Volterra积分方程第二类方程的形式：其中是所要求的未知函数，是已知或是需要讨论的参数，跟Fredholm方程一样是已知的函数，叫Volterra方程的核，当=0时，Volterra方程可以看成特殊形式的Fredholm方程，而且Fredholm方程理论适合于Volterra方程。Volterra方程有自己的特点，例如，Volterr方程没人特征值，对于任意的自由项它都有解。对于

10、第一类的Voltrra方程在某种条件下可以转化为第二类Volterra方程。与第二类线性Fredholm积分方程一样，第二类线性Volterra积分方程也有自己的迭核、解核，其迭核、解核的引出方法跟第二类线性Fredholm一样.迭核：假设，则. ,我们称为Volterra方程的迭核。 解核：我们称为解核 只要知道方程的迭核，就能求得方程的解核，从而求得方程的解。3.2.2第二类线性Volerra积分方程的解法：1、逐次逼近法 假设方程具有这样一个形式的解如果对于逐次方法来说该方程有解，解次方程一般令那么，对于上述的级数一定收敛，即对级数收敛，可以证明对于任意的参数方程都有解，依据定理:如果核

11、及自由项是连续的实函数.那么第二类线性Volterra方程 对于任意的参数存在一个唯一的连续解，而且解可以用逐次逼进法求出.迭核：假设，则. ,我们称为Volterra方程的迭核。 解核：我们称为解核, 只要知道方程的迭核，就能求得方程的解核，从而求得方程的解。3.2.3非线性第二类Volterra积分方程非线性第二类volterra积分方程的形式如：未知函数为，而、都是已知的。当方程满足一定条件时，可用逐次逼近法求解。对于第一类非线性Volterra积分方程可以通过转化成第二类非线性Volterra积分方程求解。具体转化的过程参见。非线性Volterra积分方程的数值解3.3 卷积型Volt

12、erra方程的解法3.3.1第二类卷积型Volterra积分方程的解1、形如称为第二类卷积型Volterra积分方程，此类方程一般用Laplace变换来解决。如果方程中的、是足够光滑、指数阶的函数，那么方程的解也是指数阶的，这样就可以用Laplace变换来解此方程。设，通过对方程两边作Laplace变换，可得，解出，当时，2、对于第一类Volterra积分方程，即方程同样对方程两边作Laplace变换，可解得,所以方程的解为3、非线性Volterra积分方程Laplace变换的解.即方程，设，对方程两边作Laplace变换，可得出，当存在时，该解就是非线性Volterra积分方程的Laplac

13、e变换得出的解.4、 积分数值解相关知识4.1 Newton-Cotes型积分求积公式 在这里我们主要讨论的数值计算问题，可以假设在上可积.在一些时候函数并不是可积的能用初等函数来表示，所以有的时候并不能求出该函数的原函数，因此，这里我们来研究用数值方法解函数积分. 欲计算积分，其中为权函数，可以假设在n+1个互异的点：的值分别为：, ,就可以用, 的线性组合得出积分的近似解，即，其中插值求积公式： 是离散误差其中 当我们假设为有限区间，并将该区间分成n等份，取等距基点为： ，并且得出步长为，根据上面所得出的差值求积公式，便可得出Newton-Cotes型积分求积公式，即，其中在Newton-

14、Cotes型积分求积公式中，n=1时，便可以得到梯形公式，即令，根据Newton-Cotes型积分求积公式便可以得出公式：，其中.如果令n=2时就可以得到simpson公式.4.2 复合梯形公式 我们假设所讨论的积分中函数的定域义为，在该区间取n+1个互异基点，即，且取步长为.在子区间上使用体型公式，所以从而可以得出： 舍去项，于是就得到复合梯形公式：5 积分方程的数值解方法5.1未知函数展开法 在这里，我们将讨论在中完备的函数系在近似方程解方面的作用，这些函数系可以是正交的，也可以的非正交的，可以去某个函数系的有限项当作方程解的近似值.设该函数系为，其中该函数系的各个函数是线性无关的，可令积

15、分方程的解，把该近似函数代人积分方程：，这样就可得到，把它整理成： ，其中是残差，如果能是等于零，那么方程的近似解就等于该方程的精确解，但是一般来说，要使等于零是很难的，一般在很小的情况下可以忽略，即得出方程的一种数值解：，但对残差的不同要求，可以得出不同的解法，一般来说有如下几种解法：配点法、Galerkin法、最小二乘法等方法.1、 配点法如果要求残差在所选取的基点上满足等于零，其中是一些互异的基点，如此便可以得到一下方程组：，（），求解该方程组变可以得到展开系数2、 矩量法对于矩量法以下用于Fredholm积分方程，即.矩量法就是要求残差关于原点到N阶的矩为零，即，可得到如下的方程组：，

16、（）解此方程变可以得到展开系数3、 Galerkin法Galerkin法要求残差函数在平方可积空间即空间与函数内积为零,即要求，.所以展开系数可以这样来确定，取函数系中的前n个函数（）在a,b上与积分方程两端正交，令于是展开系数满足下列线性方程组： ,其中，解该方程组便可以得到展开系数5.2积分核级数展开法 积分核级数展开法又称退化核近似方法，就是利用某种展开方式把非退化的核展开成近似退化的核，一般的展开方式有泰勒级数展开、Fourier级数展开、空间内的线性无关的针对为知函数近似展开的函数系等等.如果利用泰勒展式，那么应该注意保留合适的级数项数，一般来说应该根据积分限的大小来决定级数项数.也

17、有把未知函数展开求积分方程的未知函数的解. 对于用退化核来近似积分方程核的误差有如下估计方法：定理1：设是积分方程核的近似退化核，对于退化核满足条件 而且以退化核为积分核的积分方程的解核，成立 则积分方程 的解与用近似退化核代替的积分方程的解，满足 在式子中,B是的一个上界.6 非线性Volterra积分方程的数值解 ，我们假定、在其定义域上都是连续函数，利用数值求值公式 =,是数值积分公式中的权系数，该方程组是一个n阶的下三角方程组，有此我们可以顺着方程组的顶端解出n个数值解，所以我们便得出方程的近视解 当n趋向于无穷时该解也是趋于精确解6.1梯形公式我们取h步长，（n为大于1的正整数），是的终点，由梯形公式,，上述方程是一个下三角方程组，由积分方程组可知，便可从上到下