圆锥曲线最值问题

1、高考中圆锥曲线最值问题求解方法 圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。主要类型：（1）两条线段最值问题。（2）圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值。（3）圆锥曲线上点到轴（轴）上某定点的距离的最值。（4）求几何图形面积的最值等。一、 定义法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。有些问题先利用圆锥曲线定义或性质

2、给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。例1、已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。OF(1,0) xA(3,1)y Q P解： 如图，, 焦点F(1,0) 。 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. . 由, 得 为所求点. 若另取一点 ， 显然 。点悟 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁

3、就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。例2、已知点F是双曲线 的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 的最小值为_.解：例3、已知椭圆的右焦点F，且有定点，又点是椭圆上一动点。问是否有最值，若有，求出最值并指出点的坐标例4、已知点为抛物线上的点，那么点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 _ _，此时点坐标为 _.二、 参数法 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。例1、椭圆的切线 与两坐标轴分别交于两点 ， 求三角形的最小面积 。分析；写出椭圆参数方程，设切点为

4、，可得切线方程。 解： 设切点为 ， 则切线方程为 .令y=0, 得切线与x轴交点；令，得切线与y轴交点= 点悟 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。 三 、二次函数法 函数法就是把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.（关键：建立函数关系式，注意变量的定义域）。例1、过动直线与定直线的交点（其中）的等轴双曲线系中 ， 当为何值时，达到最大值与最小值？分析：求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解。解：由 , 得 交点,将交点坐标代入双曲线,= =.当 , ,又 ,；当p=

5、3a时, 点悟 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。例2、点分别是椭圆的长轴的左右端点，F为右焦点，在椭圆上，位于轴的上方，且若为椭圆长轴上一点，到直线的距离等于.求椭圆上点到点的距离的最小值.分析：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数，然后求这个函数的最小值。解：由已知可得点、,设点，则由（1）（2）及得 的方程为设，则点到直线AP的距离设椭圆上点到距离为则四 、几何法 将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离（切线法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥

6、曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。）等求解。例1、 已知椭圆 和直线 ，在l上取一点 ，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。分析；设是关于l对称点，可求出坐标，过的直线方程与联立得交点M为所求。y lP O xM解 ：由椭圆方程 ，得， 设 是关于l对称点 ， 可求出 坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短。由 ,得，, 所求椭圆方程为 .点悟 ：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中

7、“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。 五、不等式法 基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来，再利用均值不等式“等号成立”的条件求解。.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.例5 、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。 解 ： 椭圆焦点 ，设过焦点，直线方程为 与联立 ，消去, 得 ， 其中两根为横坐标 。 将三角形看作与组合而成 ， 是公共边 ，它们在公共边上的高长为 ., 其中 =. 当 即时,取等号 ，即当直线为 时 , 得到的面积最大值为 。例2、设椭圆中心在坐标原点是它的两个顶点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.解: 依题意设得椭圆标准方程为 直线AB、EF的方程分别为 设根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为四边形AFBE的面积为当且仅当点悟 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。