结构动力学问题的有限元法

1、9 动态分析有限元法,工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达； 受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。 动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需 要进行动态分析，以了解产品动态特性,固 有 频 率,振 型,位 移 响 应,速 度 响 应,加 速 度 响 应,动 应 变,动 应 力,固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度 分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应； 响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性,第一节 动态分析有限元法的特点,一、载荷特点 结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。 这是与静力分析的一个根 本区别

2、。 二、位移特点 1、节点位移q不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节 点位移q作为基本未知量。 2、节点具有速度 加速度,3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移 一般仍采用与静力分析相同的形函数，N。当单元数量较多时，上述 插值可以得到较好的插值精度。 4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为 但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t 变化的函数,5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。 根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因 此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。 整个结构的

3、平衡方程为 式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶 常微分方程组,求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模,第二节 动态分析有限元法的一般步骤,一、结构离散 该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求 有可能不一样。 静力分析：要求在应力集中部位加密网格； 动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求 整个结构采用尽可能均匀的网格形式,二、单元分析 单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。 动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。 动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵,在动载荷作用

4、下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 ，则单元 内也产生相应的虚位移 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为,单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 和阻尼力 ，其中为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为,式中，Pv、Ps、Pc分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态 集中力；V为单元面积；A为单元面积,由于 且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有,根据虚位移原理，有,代入经整理，可得单元运动方程为,式中,分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的 特性矩阵,称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节 点移置

5、的结果,在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样,单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和集中质量阵，各有自身的优点和缺点,1.一致质量矩阵,在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作用的惯性力为,惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，有,1.一致质量矩阵,于是，令,1.一致质量矩阵,的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵,2.集中质量矩阵,在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的质量可分配为,2.集中质量矩阵,单元质量矩阵为,3.常用

6、单元的一致质量矩阵,一次杆单元,3.常用单元的一致质量矩阵,二次杆单元,3.常用单元的一致质量矩阵,三次梁单元,3.常用单元的一致质量矩阵,三角形平面问题单元,3.常用单元的一致质量矩阵,矩形平面问题单元,在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。 1、一致质量矩阵 按 形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为 它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函 数的形式,2、集中质量矩阵 集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则 就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩 阵。集中质量矩阵是一个对角阵,集中质量矩阵：是一个对角

7、阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利 用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构 偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。 一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整 个模型的质量分布还受网格划分形式的影响,二、单元阻尼矩阵的计算,阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵；也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其他类型的假设，如上述两者的组合，分别有,二、单元阻尼矩阵的计算,对于组合阻尼，如已知结构

8、的阻尼比及结构的固有频率，其计算方法有,如果,则,三、总体矩阵集成 总体矩阵集成的任务是将各单元特性矩阵装配成整个结构的特性矩阵， 从而建立整体平衡方程，即,式中，q为所以节点位移分量组成的n阶列阵，n为结构总自由度数； （i为节点数），称为节点载荷列阵；K、M、C 分别为结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵,其中K与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵M、C也采用与 K相同的集成方式，即,矩阵K、M和C均为n阶对称阵,四、固有特性分析 结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数 定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。 机械结构的振动固有频率和

9、振型问题，在有限元方法求解，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特征向量问题。 固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据,由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性,式中，为简谐振动圆频率；为节点振幅列向量,由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为,将解代入振动方程中，同时消去因子ejt，可得,振型i是结构按频率i振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系， 它反映了结构振动的形式，并不是振幅的绝对大小,上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出n个

10、特 征值 和相对应的n个特征向量 。其中特 征值i(i=1,2,.,n)就是结构的i阶固有频率，特征向量i i(i=1,2,.,n)就是结构 的i阶模态振型,固有特性分析实际上就是求解广义特征值问题。求解的数值方法主要有 1、变换法 基本思想是通过一系列矩阵变换，将矩阵MK化为对角阵， 变换后的特征值不变，即原问题与特征值问题 具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征值和特征向量。该方法主要用于一些小型问题的求解,2、迭代法 是对一选取的初始向量 和迭代公式 求一向量序列 使它收敛于与 绝对值最大的特征值相应 的特征向量，在满足收敛精度时，以 作为 的特征量，再求出

11、相应的特征值。 先求特征向量，再求特征值，且从低阶到高阶依次求出各阶特征对，该法只适合求解35个低阶特征对。 子空间迭代法，求大型结构的少数特征对。这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并且能得到相应的特征向量,即有,迭代步骤,令,代入,求得,再代入,以此类推,收敛条件,两边同左乘 ，得到,在计算过程中，引入参数,将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有,在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩阵不按 为特征值进行迭代，而是按 为特征值进行迭代，从而得到 的最大值，也是 的最小值,依次类推,采用前述的迭代步骤，用 代替 ，即可得到 值,直到,停止迭代,得到,此时为低阶特性,五、响应分析 响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度 的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组,求解主要有1、振型叠加法 根据结构振动理论，在动载荷作用下，结构动态响应可以表示为其各阶 主模态振型的线性叠加，即 2、直接积分法 是一种纯粹的数值方法。 连续时间区域 离散 为n1离散点 时间间隔T/n 每个时间间隔上的状态向量,瞬态分析- 术语和概念求解方法,求解运动方程,直接积分法,模态叠加法,隐式积分,显式积分,完整矩阵法,缩减矩阵法,完整矩阵法,缩减矩阵法,五、约束处理和求解