数学分析第十三章课件幂级数

1、第十三章 幂级数,形如,的函数项级数,称为幂级数,时为,主要讨论后者,1.收敛域？ 2.一致收敛域？ 3.和函数的性质？ 4.函数展成幂函数 ,特别,13.1 幂级数的收敛半径与收敛域,问题,阿贝尔第一定理,在点 收敛,则对满足不等式,的一切点x,幂级数 都绝对收敛,定理13.1,i) 若幂级数,在点 发散,则对满足不等式,的一切点x,幂级数 都发散,ii) 若幂级数,定理中的r称为幂级数的收敛半径。收敛区间为,对任意给定的幂级数，必存在唯一的r（r满 足,定理13.2,考察幂级数,1）收敛半径都是1,3） (1)在x,2,3,总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径r，使得级数在,内绝对收敛。

2、但在两个端点的收敛性要做专门的讨论,2）都在（-1，1）绝对收敛,例1,的收敛半径,均发散,故(1)的收敛域为(-1,1,若幂级数,则幂级数的收敛半径 r,求 幂级数的收敛半径与收敛域,解 : 由,例2,定理13.2,求,的收敛半径与收敛域,不能用定理13.3计算收敛半径,因此当,即,故级数发散。于是，级数收敛半径为,收敛域为,解： 这个幂级数的偶次幂的系数,但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域,例3,则对任意b,幂级数在,2)若幂级数的收敛半径为,且幂级数在,3)若幂级数的收敛半径为,一致收敛,幂级数在什么地方一致收敛,定理13.4（阿贝尔第二定理,1)若幂级数的收敛半径为,一致收敛,幂级数

3、在,一致收敛,且幂级数在,收敛，则,则幂级数在,收敛,13.2 幂级数的性质,而,收敛，根据一致收敛的M判别法，知幂级数,在,一致收敛,其中,对任意,根据一致收敛的阿贝尔判别法知,在,一致收敛,证明 （1）由于,2）已知,收敛，而,关于 n 单调下降，且,推论1 若幂级数,的收敛半径为,则它的和,证明,由定理13.4知，幂级数在,一致收敛，而,在,连续，因此和函数在,连续，由,的任意性，知和,连续,函数在,连续,连续,特别地在,函数在,推论2 若幂级数的收敛半径为,且幂级数在 r 收敛，则,连续。特别地,它的和函数在,若幂级数,的收敛半径为 r，和函数为S(x)，即,则幂级数在收敛区域区间内部

4、可以逐项微商与逐项积分，即,且（2)，(3) 中的幂级数收敛半径仍然是 r,3,1,2,定理13.5,任意次可微,的收敛半径为,则其和函数,在,内任意次可微，且,等于,逐项微商次所得的幂级数,若幂级数,定理13.6,幂级数 在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的,对每个幂级数，都存在收敛半径,总结,幂级数 在(-r,+r)内绝对收敛，在 发散,但在要具体分析,i,ii,iii,且收敛半径不变,幂级数 在收敛区间内部所表示的函数是任意次可微的,前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函数,1.满足什么条件,

5、就可以展开成幂级数,2.若可以展开的话，展开式是什么形式,13.3函数的幂级数展开,定义,问题,即,则称,在,可以展开成幂级数,如果,唯一性,在,那么必有,ii）如果函数,在,可以展开成,i）如果函数,可以展开,成幂级数,幂级数展开的唯一性,定理13.7,幂级数,为,的麦克劳林级数，称,为,在,的泰勒级数,Taloy级数与麦克劳林级数,通常称,若,一致有界，即存在,使,则,在,可以展开成幂级数,定理13.8,的各阶微商在,证明：用拉格朗日余项,初等函数的幂级数展开,i） e x 的展开式,ii）sin x 和 con x 的展开式,iii）幂函数 的展开式,iv）对数函数 ln ( 1 + x

6、 ) 的展开式,已知,根据逐项微分定理，得,例3,两边乘以,得,再逐项微商，有,这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开,得,还可以计算很多特殊数项级数的和,在上面两个级数中，令,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数: 先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,内容小结,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等,初等变换法: 分解、套用公式,在收敛区间内,数项级数 求和,四、函数的幂级数和付式级数展

7、开法,直接展开法,间接展开法,练习,1. 将函数,展开成 x 的幂级数,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解,1. 函数的幂级数展开法,习题,证,则由题设,收敛,收敛,收敛,例2. 设正项级数,和,也收敛,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确,都收敛, 证明级数,当n N 时,例3. 设级数,收敛 , 且,是否也收敛？说明理由,但对任意项级数却不一定收敛,问级数,提示: 对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散,例如, 取,例4. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,例5,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数,其收敛半径,注意,补充题,例1.设,将 f (x)展开成,x 的幂级数,的和. ( 01考研,解,于是