金融衍生工具--期权定价课件

1、Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 1, Copyright John C. Hull 2010,期权定价,1,金融衍生工具-期权定价,主要内容,期权价值的构成：内在价值与时间价值 期权价格的影响因素（影响方向） 期权价格的上限与下限 看涨期权与看跌期权的平价关系 二叉树模型 B-S期权定价模型 期权价格敏感性指标（影响程度） 作业,金融衍生工具-期权定价,假设与符号,假设 不存在交易成本。 所有交易盈利都适用同一税率。 投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。 符号 St: 当期t股票价格 K：施权价格 T：期权

2、到期的时点 t：当期时点 ST：时点T的股票价格 r：无风险利率 ：股票收益率波动的标准差 c,C：欧式及美式看涨期权价格 p,P：欧式及美式看跌期权价格 D: 期权期限内股息在t 时的贴现值,金融衍生工具-期权定价,期权价值的构成：内在价值与时间价值,期权价值PVt取决于以下两个方面 PV=内在价值IV+时间价值TV 内在价值IV(只有实值期权的内在价值大于零) 在履行期权合约时可获得的总利润，当处于虚值为0 对于看涨期权，IV=Max(0,St-K) 对于看跌期权，IV=Max(0,K-St) 严格地讲，应该把收益折现到目前时刻t 时间价值TV 为期权合约剩余有效期可能带来的期权增值而付的

3、期权费，其与剩余有效期成正比，与未来价格波动成正比,金融衍生工具-期权定价,期权价格的影响因素（影响方向,哪些因素会影响期权价格呢？ 除期权的供求关系外，影响期权内在价值及时间价值的因素 影响期权价格的因素 影响持有者现在的收益及未来可能增值水平的所有因素 标的资产市场价格St、执行价格K、资产收益（分派股息） 标的资产未来价格波动率、剩余有效期（T-t）、无风险利率r,金融衍生工具-期权定价,现货价格St与执行价格K,期权内在价值： 对于看涨期权，IV=Max(0,St-K) 对于看跌期权，IV=Max(0,K-St) 现货价格 对于看涨期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能数额也就越高，

4、因而期权价格就越高。 对于看跌期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能数额也就越低，因而期权价格越低。 执行价格 对于看涨期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越低，从而期权价格越低。 对于看跌期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越高，从而期权价格越高,金融衍生工具-期权定价,标的资产收益 （如派发股息,标的资产将支付股息将使资产价格如何变化？ 资产价格将下降 资产价格下降怎样影响期权的价格呢? 对于看涨期权来说，期权获利能力变弱，期权价格降低。 对于看跌期权来说，期权获利能力变强，期权价格提升,金融衍生工具-期权定价,标的资产未来价格波动率与剩余有效期（T-t,标的资产未来价格波动率 期权

5、的特点在于以较低的价格规避了不利风险，同时保留了有利风险。 不管是对于哪一种期权来说，价格波动性越剧烈，盈利的可能性就越高，期权价格也越高。 剩余有效期（T-t） 对于欧式期权来说，由于施行期权的时点是唯一，因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。 比如在T1之后（T2)看涨期权标的物资产价格明显下降） 对于美式期权来说，在到期之间随时可以执行期权，因此期限越长意味着选择越多，对期权的拥有者越有利,金融衍生工具-期权定价,无风险利率r,无风险利率 1无风险利率提升时，投资者要求的投资收益更高，现货价格如何变化？ 现货价格变小，这使看涨期权价值下降，使看跌期权价值上升 2无风险利率越高，收到的

6、将来现金流贴现值也越低 协议价的折现值变小，这使看涨期权价值上升，使看跌期权价值下降 3两种因素综合，得出无风险利率与期权价格的关系 一般情况下，贴现效应大于预期收益效应 当无风险利率上升时，看涨期权价格上升，而看跌期权价格下降,金融衍生工具-期权定价,影响期权价格的因素,金融衍生工具-期权定价,期权价格的上限与下限,欧式与美式看涨期权上限 欧式与美式看跌期权上限 套利原则（成本与无风险收益成正比） 欧式与美式看涨期权下限 欧式与美式看跌期权下限,金融衍生工具-期权定价,期权价格的上限与下限的理解,商品价格的上限是多少？ 消费者愿意接受的最高价 为其带来的最大效用，或购买其它商品的成本 商品价

7、格的下限是多少？ 生产者愿意接受的最低价 生产商品的所有成本,金融衍生工具-期权定价,期权上下限的总结（以欧式为主,看涨期权多头的最大利润/看涨期权空头的最大损失 MAX(ST-Ke-r(T-t) ,0) 看涨期权的上下限 上限：S （S） 下限：S-Ke-r(T-t) （MAX(S-Ke-r(T-t) ,S-K)） 看跌期权多头的最大利润/看涨期权空头的最大损失 MAX(Ke-r(T-t) -ST,0) 看跌期权的上下限 上限：Ke-r(T-t) （K） 下限：Ke-r(T-t) -S（MAX(Ke-r(T-t) -S,K-S,金融衍生工具-期权定价,看涨期权价格的上限（欧式、美式都适用,看

8、涨期权多头可以花S持有股票到期，也可以用c（C）购买看涨期权，如果期权费高于S，直接持有股票到期最经济，因此 只有cS, ( C S) 才能吸引期权购买者 如何理解上限S 近似理解为多头（需求方）的最大效用 当 cS，( C S) 如何套利呢 卖出一个看涨期权，收入c（C），买入一个现货，支出S 到时至少还收获K,金融衍生工具-期权定价,看跌期权价格的上限（欧式、美式都适用,看跌期权的价值 PV（施权价）PV（股票价格） p Ke-r(T-t) ,(P K) 如何理解上限Ke-r(T-t) （K） 近似理解为多头（需求方）的最大效用 当 p Ke-r(T-t)，(PK)如何套利呢 卖出一个看跌

9、期权，收入p（P） 到时最多支出K,金融衍生工具-期权定价,分析思路,在无套利情况下，两个投资组合的收益与成本应该保持一致。 收益高的组合，理应成本高 成本高的组合，理应收益高 成本相等，理应收益相等 收益相等，理应成本相等 否则，以上均存在套利空间 套利策略：借入效率低的组合后卖掉，买入效率高的组合获得收益后，还借入的低效率组合 或直接卖掉已拥有的效率低的组合，买入效率高的组合,金融衍生工具-期权定价,欧式（美式）看涨期权的下限,两个资产组合（锁定未来拥有一个股票的价格） 组合A:一个欧式看涨期权多头+期权到期时 K收入的零息债券多头 组合B:买入欧式看涨期权对应的股票 到期时 组合A的价值

10、Max(St K)=组合B的价值St,无套利情况下，组合A的成本组合B的成本 c + Ke-r(T-t) =S，从而， c =S-Ke-r(T-t) 怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t) ,0) 近似看成看涨期权空头的提供期权产品的净成本 美式看涨期权的下限 max(S-Ke-r(T-t) ,0) CcS-Ke-r(T-t) ,CS-K,S-Ke-r(T-t)S-K,金融衍生工具-期权定价,欧式美式看涨期权下限：套利例子,假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18元，离到期还有一年时间（期间无股息），无风险利率为10%，问该看涨期权的最低价格是多少？假如该期权目前报价3.00元，你

11、将如何操作进行套利？ 该看涨期权的价值下限为SKe-r(T-t)2018e-0.113.71 报价低于价值下限，即c K 思路 借入股票后卖掉，获得S(20)元，买入看涨期权，支出c(3)元，并将S-c（17）元按无风险利率借贷出去，收益大于到期时股票最高购买价K. 若对于美式看涨期权，当c + K S，如何套利呢？ 借入股票卖掉，同时买入美式看涨期权，马上以最多K购入股票,金融衍生工具-期权定价,欧式美式看跌期权的下限,两个资产组合（锁定未来卖出一个股票的价格） 组合C:一个欧式看跌期权多头+买入期权对应的股票 组合D:期权到期时有K收入的零息债券 到期时 组合C的价值Max(St K)=组

12、合D的价值K 无套利情况下，组合A的成本组合B的成本 p +S =Ke-r(T-t), p =Ke-r(T-t)-S 如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0) 近似看成看跌期权空头的提供期权产品的净成本 美式看跌期权的下限max(K-S,0) PpKe-r(T-t)-S,PK-S,K-SKe-r(T-t)-S,金融衍生工具-期权定价,欧式美式看跌期权下限：套利例子,假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为24元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看跌期权的最低价格是多少？假如该期权目前报价1.00元，你将如何操作进行套利？ 该看涨期权的价值下限为Ke-r(T-t) S24

13、e-0.1201.71 报价低于价值下限，即p Ke-r(T-t)-S p+S Ke-r(T-t)， (p+S)er(T-t) K 思路 借入p+S（21），购买股票和看跌期权，期权到期时卖出股票收益至少为K（24），只需还(p+S)er(T-t)。 若美式看跌期权的市场价p 其下限K-S时，如何套利？ 思路 借入p+S（21），购买股票和看跌期权，马上卖出至少获利K24,金融衍生工具-期权定价,看跌看涨平价关系式 -欧式期权,两个资产组合 组合A:一个欧式看涨期权多头+期权到期时 K收入的零息债券多头 组合C:一个欧式看跌期权多头+买入期权对应的股票 到期时 如果STK，则组合A和组合B的价

14、值均为ST 如果STK，则组合A和组合B的价值均为K 无套利情况下，组合A的成本=组合c的成本 c + Ke-r(T-t) =p +S 如果股票在持有期有股息现值I 组合A中的零息债券变为到期时有（K+Ier(T-t)）收入 c + Ke-r(T-t)+I =p +S,金融衍生工具-期权定价,复合证券（持有期间无股息时,无套利时的平价关系 c + Ke-r(T-t) =p +S 平价关系的变形 c=p +S-Ke-r(T-t) p=c + Ke-r(T-t)-S S=c + Ke-r(T-t)-p Ke-r(T-t) =p +S-c S-c = Ke-r(T-t)-p. 平价关系应用一（如c=

15、p +S-Ke-r(T-t)） 间接计算期权、标现货及无风险证券的合理价格（成本） 平价关系应用二：分解组合从而复制（如S-c = Ke-r(T-t)-p） 等式右边表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期权）组合的成本 等式左边表示（做多现货，做空看涨期权） 组合的成本 可以证明二者的到期时损益一样 （移项相当于在基础公式两边加减同样的成本，也相当于在策略A与B的基础上增加同一个投资品，最终的收益当然一样,金融衍生工具-期权定价,看跌看涨平价关系式 -欧式期权(套利例子一,某股票现价为20元，施权价为21元，离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和1.00元，无风险利率为10

16、%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？ 组合A成本c + Ke-r(T-t）=3.0020e-0.121.10 组合B成本p +S=1+2021，组合A成本大于组合B 套利策略c + Ke-r(T-t）p +S ， ( p+S-c)er(T-t）K ,大收小支 法1卖出看涨期权收获c，再借入 Ke-r(T-t），用p+S买入看跌期权和股票， 到期时支出与收益相同。 法2卖掉股票和看跌期权，购买看涨期权，余下的钱购买无风险证券，到期最多花K买入股票归还,金融衍生工具-期权定价,看跌看涨平价关系式 -欧式期权(套利例子二,某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有一年

17、的欧式看涨和看跌期权价格分别为2.00元和1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？ 组合A成本c + Ke-r(T-t）+D =2.0020e-0.120.10 组合B成本p +S=201.0021.00，组合A成本小于组合B 套利策略：c + Ke-r(T-t）K 同前例子一,金融衍生工具-期权定价,看跌看涨平价关系式 美式期权(没有股息时,可以证明 S-K CP SKe-r(T-t,金融衍生工具-期权定价,期权定价,思路 利用期权与现货构造一个未来收益为常数的无风险投资组合，在无套利的情况下，该投资组合的收益率为市场无风险收益率。 如何说

18、明投资组合未来收益函数（sT，T）为常数 （二叉树）未来收益为离散函数：各情况下收益相等 （B-S）未来收益为连续函数：收益关于sT的偏导为0 欧式与美式期权定价 先讲且主要讲欧式期权 现货期权与期货期权定价 先讲且主要讲现货期权,金融衍生工具-期权定价,二叉树定价 （主要以股票期权为例,未来收益为常数的证券组合收益率 欧式期权二叉树定价（N=2） 对风险中性世界相关概念的理解和应用 多步欧式期权二叉树定价（N2） 相关参数的求解 其它标的物期权定价 美式期权二叉树定价定价,金融衍生工具-期权定价,未来收益为常数的证券组合收益,现在用S购买一个证券组合，未来T时刻的证券组合收益在任何情况下均为

19、常数Sc。请问该证券组合的合理收益率应该是多少 应该是无风险利率，否则存在套利空间 1在同样收益下，用低效率策略借钱，用部分钱做多高效率的组合，未来以高效率组合的收益抵消低效率策略的支出 2以低效率借钱，用在高效率上，未来以高效率部分收益归还低效率借钱成本 如何构造无风险收益证券组合？ 在未来每一种情况下证券组合的收益均相等 例子：D为多少时，组合（D股股票多头+1看涨期权空头）才是无风险收益证券组合呢？假设各证券收益均服从两点分布，此时一份期权只包括一股股票,金融衍生工具-期权定价,美式期权二叉树定价（对于看涨看跌均成立，D可正可负,股票当前价格为21美元，2年后股价要么23美元，要么18美

20、元，无风险利率为8%。请问行使价格为22美元的期限为2年后的美式式看涨期权的当前价格f是多少？（到期日的内在价值等于期权价格） 美式期权可以到期前在任意时刻行权，在二叉树假设下，美式期权除了和欧式一样在到期时行权（价值同欧式期权），也可以在签定合约时马上行权（MAX(0,S0-K)）。美式期权的价值就是这两类选择价值的最大值。 本题中到期行权价值为前面中的欧式期权价格f0 ,马上行权的价值为0，所以该美式期权价格为f0,金融衍生工具-期权定价,欧式期权二叉树定价（对于看涨看跌均成立，D可正可负,股票当前价格为S(21)美元。T时后（2年后）股价要么Su(23)美元，此时期权价格为u，要么Sd(

21、18)美元，此时期权价格为d。无风险利率为r(8%)。请期限为T的欧式期权的当前价格f是多少？ 方法 1构造无风险收益组合：D股股票多头+1期权空头 SuD u=SdD d ， 2无风险收益组合的收益率等于无风险利率 （S D f）erT=SdD d ,f,金融衍生工具-期权定价,Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 1, Copyright John C. Hull 2010,对风险中性世界相关概念的理解和应用,对于二叉树定价公式的理解 风险中性世界中，任何证券或组合价格要么以概率p上升为S0u，要么以概率1-p下降到

22、S0d,可证其预期收益率为无风险收益率 应用 先用无风险收益组合中的标的价格求p，再求f 例子：用期权标的物（股票,31,金融衍生工具-期权定价,Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 1, Copyright John C. Hull 2010,增加二叉树的时间步数,一步二叉树的不足 只利用了现在与到期时（对冲时）的数据，精确度不高，尤其是离到期或对冲较远时；到期时只有两个情境，与现实差异大。 多步二叉树（到期时3个以上的情境） 把期权的期限分割成N段（N1）,从前往后，第i段有至多2i个二叉树，从后往前依次计算各段的期

23、权价格。 二步二叉树例子 股票当前价格为21美元，1年后股价要么23美元，要么18美元。如果1年后股价为23（18）美元，2年后股价要么25（23）美元，要么17（15）美元。无风险利率为8%。 请问行使价格为22美元的期限为2年的欧式看涨期权的当前价格f是多少,32,金融衍生工具-期权定价,多步欧式期权二叉树定价（一般）：三步为例（其它类似,S f,Su fu,Sd fd,Suu fuu,Sdd fdd,Sud fud,从最后的节点往前按单步二叉树计算,33,金融衍生工具-期权定价,看跌期权的定价与套利,股票当前价格为21美元，3个月后股价要么23美元（fu），要么18美元(fd)，无风险利

24、率为8%。请问行使价格为22美元的期限为3个月后的欧式看跌期权的当前价格f是多少？（到期日的内在价值等于期权价格） 法一：构造无风险组合计算 D股股票多头+1份看跌期权空头（D为负） 法二：看涨看跌平价公式c + Ke-r(T-t) =p +S 法三：期权期望值的无风险折现方法 若该期权市场价ff0 ,如何套利呢？ 组合的收益率大于无风险收益率，用无风险收益率借入资金21D-f0，做多N份（1）组合成本，到期时一份组合的收益刚好用于还本付息。 若该期权市场价f1）组合成本，到期时一份组合的收益刚好用于还本付息。 若该期权市场价ff0 ,如何套利呢？ 组合的收益率小于无风险收益率，做空组合收益2

25、1D-f，全部存在银行，到期存款的本息大于做多组合的成本,金融衍生工具-期权定价,Delta的本质及各步Delta计算,Delta的本质 1期权的短头寸方为了实现无风险组合而买入股票的数量 2股票期权价格的变化与标的股票价格变化之比。 采用期权与股票进行无风险对冲时，应该从左到右顺时计算并调整组合中所持股票数量,金融衍生工具-期权定价,Delta的本质及各步Delta计算（动态Delta对冲,股票当前价格为21美元，1年后股价要么23美元，要么18美元。如果1年后股价为23（18）美元，2年后股价要么25（23）美元，要么17（15）美元。无风险利率为8%。如何实现组合无风险收益呢？ 现在的D

26、elta D0=(fu-fd)/(23-18) 1年后的Delta 1年后股价为23美元时，D1=(fuu-fud)/(25-17) 1年后股价为18美元时，D1=(fdu-fdd)/(23-15) 若D1()D0,则增加D1-D0份股票（减少D0-D1,金融衍生工具-期权定价,u、d，p的计算,金融衍生工具-期权定价,其它标的物期权定价,有股息的股票期权定价 股指期权定价 外汇期权定价 期货期权定价 思路 先利用标的物求p，再利用p及r对未来期权期望折现 1与无股息股票相比，有股息股息、股指、外汇的购买成本为S-I或Se-qDt 2与无股息股票相比，期货期权相对现货期权在期初，购买标的物的购

27、买成本为0， 在期货的“购买成本”为Fe-rDt ，Dt为期权的期限，而非期货的期限,金融衍生工具-期权定价,期货式期权（期权期货）定价,思路 本质上是期货，定价与期货一致 不过此时S为期货到期时交割的期权在此时的价格 这个期权价格用一般的期权定价公式可得,金融衍生工具-期权定价,美式期权二叉树定价：以两步，每个步长1年，K=52的美式看跌期权为例（同时与欧式比较,从树图的最后末端向开始的起点倒推计算，在每个节点检验提前执行是否最佳（决定行使时间从左到右）。在树的底部期（到期日）权价格为欧式期权价格，在较早节点，期权价格为以下数量的最大值（此时假设只能在开始、中间及到期时行权）： 由方程式求出

28、的值(买卖期权市场价) 提前执行所得的收益（行权收益） 从上到下：现货市价、（期权市场价）、（提前行权收益,50 5.0892,60 1.414 (-8,40 9.463 12,72 0,32 20,48 4,40,金融衍生工具-期权定价,B-S定价（未来价格连续的无限步二叉树方法，即IN(sT）为正态分布,二叉树的不足及与B-S定价的关系 B-S的假设 几种不同情况下的B-S期权定价公式 对B-S期权定价公式的理解,金融衍生工具-期权定价,二叉树的不足及与B-S定价的关系,二叉树定价的不足 其假设未来资产价格分布为有限离散，不符合事实，利用的信息较少，定价不够准确（尤其对于美式期权定价）。美

29、式期权只能在离散点行权。 B-S定价与二叉树定价的关系 1B-S假设未来资产价格变动符合几何布朗运动，B-S定价是二叉树定价中未来情境数及步数取无穷大的极限值 2B-S定价与二叉数定价类似采取构造无风险证券组合，再利用无风险证券组合收益率为无风险利率进行求解,金融衍生工具-期权定价,B-S的假设（除加粗部分外，其它都是二叉树定价的假设,期权的标的股票为一有风险的资产，其现行价格为S。这种资产可以卖空。 期权是欧式期权，其执行价格为K，期权期限为T（以年表示）。 在期权到期日之前，标的股票无任何收益（如股息、利息等）的支付，于是，标的股票价格的变动是连续的，且是均匀的，既无跳空上涨，也无跳空下跌

30、,金融衍生工具-期权定价,B-S的假设,存在一个固定的无风险利率，投资者可以以此利率无限制的借入或贷出资金。 不存在影响收益的任何外部因素，如税负、交易成本及保证金等。于是，标的股票持有者的收益仅来源于价格的变动。 标的股票价格的波动率为一已知常数。 标的股票价格的变动符合和为常数的几何布朗运动。 8.期权（衍生品）价格只受现货价格st和t决定。（隐含假设,金融衍生工具-期权定价,2021/1/26,几何布朗运动（维纳过程,满足下列两个性质的随机变量Wt服从维纳过程，也称为标准布朗运动（Brownian motion,性质1 在短时间t内，变量W为,其中,性质2 在任意不同短时间内，变量W相互

31、独立,45/44,金融衍生工具-期权定价,2021/1/26,性质1表明变量W 本身也服从正态分布，即,性质2说明Wt服从马尔科夫随机过程,不难证明，在一个较长时间内，变量W也服从正态分布,其中,46/44,金融衍生工具-期权定价,广义的几何布朗运动、伊藤过程、及股价变动分布,广义几何布朗运动 伊藤过程 假设未来股价满足以下伊藤过程（、表示收益率的期望的标准差） 8.期权（衍生品）价格只受现货价格st和t决定。（隐含假设,金融衍生工具-期权定价,二叉树定价与B-S定价思路对比,股票当前价格为S(21)美元。T时后（2年后）股价要么Su(23)美元，此时期权价格为u，要么Sd(18)美元，此时期

32、权价格为d。无风险利率为r(8%)。请期限为T的欧式期权的当前价格f是多少？ 方法 1构造无风险收益组合：D股股票多头+1期权空头 SuD u=SdD d ， 2无风险收益组合的收益率等于无风险利率 （S D f）erT=SdD d ,f,金融衍生工具-期权定价,B-S定价思路（衍生品价值V=V(S,t,构造无风险投资组合F=V-S , 收益率应该为无风险收益率r 下面求解dF 把dF，F代入 ，得B-S-M微分方程 关于t,S求定积分可得B-S定价公式,金融衍生工具-期权定价,几种不同情况下的期权定价模型 现货欧式看涨期权的定价模型 其中,金融衍生工具-期权定价,几种不同情况下的期权定价模型

33、 期货欧式看涨期权的定价模型 其中,T为期权到期日距今剩余时间，而非期货到期日,金融衍生工具-期权定价,几种不同情况下的期权定价模型 欧式看跌期权的定价模型 现货欧式看跌期权价格的布莱克斯科尔斯模型： 期货欧式看跌期权价格的布莱克斯科尔斯模型,金融衍生工具-期权定价,如何获得B-S期权定价公式的参数,知道所有参数可以求期权价格 标的资产市场价格、执行价格、到期时间、无风险利率和资产价格波动率 除资产价格波动率外，其它数值容易获得 资产价格波动率 1历史波动率（历史收益率的标准差） I n(si/si-1)近似收益率，计算出方差 年方差=方差365/数据周期 2隐含波动率 （利用相同标的期权相关数据和定价公式反求示的波动率,金融衍生工具-期权定价,对B-S期权定价公式的理解,期权价格及投资组合价格风险 期权价格未来可能会发生变化 哪些因素会导致未来期权价格变化？ 标的资产市场价格、执行价格、到期时间、无风险利率和资产价格波动率 这些因素对期权价格的影响方向 这些因素对期权价格的影响程度 金融期权价格敏感性指标,金融衍生工具-期权定价,期权价格敏感性指标（影响程度,Delta(或) Gamma（或） Theta（） Vega（或） Rho（） Delta中性、Gamma