2014年全国中考数学分类汇编：图形的相似与位似

1、图形的相似与位似一、选择题1. （2014山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形abcd的长ab为5，宽bc为4e是bc边上的一个动点，ae上ef,ef交cd于点f设be=x,fc=y，则点 e从点b运动到点c时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（ ）考点：动点问题的函数图象分析：易证abeecf，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.解答：因为abeecf，则be：cf=ab：ec，即x：y=5：（4x）y，整理，得y=（x2）2+，很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，）的抛物线对应a选项故选：a点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项2. (2014年

2、山东东营,第7题3分)下列关于位似图形的表述：相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；位似图形一定有位似中心；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比其中正确命题的序号是（）abcd考点：位似变换；命题与定理菁优网分析：利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可解答：解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；位似图形一定有位似中心，此选项正确；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；位似图形上

3、任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误正确的选项为故选：a点评：此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键3.（2014四川凉山州，第7题，4分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）a1：25b1：5c1：2.5d1： 考点：相似多边形的性质分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答解答：解：两个相似多边形面积的比为1：5，它们的相似比为1：故选d点评：本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键 4（2014四川泸州，第11题，3分）如图，在直角梯形abcd中，dcab，dab=90，acbc，ac=bc，abc的平分线

4、分别交ad、ac于点e，f，则的值是（）abcd解答：解：作fgab于点g，dab=90，aefg，=，acbc，acb=90，又be是abc的平分线，fg=fc，在rtbgf和rtbcf中，rtbgfrtbcf（hl），cb=gb，ac=bc，cba=45，ab=bc，=+1故选：c点评：本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，cb=gb，ab=bc再利用比例式求解.5（2014四川内江，第10题，3分）如图，rtabc中，acb=90，ac=4，bc=6，以斜边ab上的一点o为圆心所作的半圆分别与ac、bc相切于点d、e，则ad为（）a

5、2.5b1.6c1.5d1考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质分析：连接od、oe，先设ad=x，再证明四边形odce是矩形，可得出od=ce，oe=cd，从而得出cd=ce=4x，be=6（4x），可证明aodobe，再由比例式得出ad的长即可解答：解：连接od、oe，设ad=x，半圆分别与ac、bc相切，cdo=ceo=90，c=90，四边形odce是矩形，od=ce，oe=cd，cd=ce=4x，be=6（4x）=x+2，aod+a=90，aod+boe=90，a=boe，aodobe，=，=，解得x=1.6，故选b点评：本题考查了切线的性质相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进

6、行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题6.（2014甘肃白银、临夏,第10题3分）如图，边长为1的正方形abcd中，点e在cb延长线上，连接ed交ab于点f，af=x（0.2x0.8），ec=y则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（）abcd考点：动点问题的函数图象分析：通过相似三角形efbedc的对应边成比例列出比例式=，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象解答：解：根据题意知，bf=1x，be=y1，且efbedc，则=，即=，所以y=（0.2x0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分a、d的图象

7、都是直线的一部分，b的图象是抛物线的一部分，c的图象是双曲线的一部分故选c点评：本题考查了动点问题的函数图象解题时，注意自变量x的取值范围4.5.6.7.8.二、填空题1.（2014湖南怀化，第11题，3分）如图，d、e分别是abc的边ab、ac上的中点，则sade：sabc=1：4考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得debc且de=bc，再求出ade和abc相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答解答：解：d、e是边ab、ac上的中点，de是abc的中位线，debc且de=bc，adeabc，sade：sabc=（

8、1：2）2=1：4故答案为：1：4点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键2.（2014湖南张家界，第10题，3分）如图，abc中，d、e分别为ab、ac的中点，则ade与abc的面积比为1：4考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理分析：根据三角形的中位线得出de=bc，debc，推出adeabc，根据相似三角形的性质得出即可解答：解：d、e分别为ab、ac的中点，de=bc，debc，adeabc，=（）2=，故答案为：1：4点评：本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于

9、相似比的平方3.（2014遵义17（4分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术，意思是说：如图，矩形abcd，东边城墙ab长9里，南边城墙ad长7里，东门点e、南门点f分别是ab，ad的中点，egab，fead，eg=15里，hg经过a点，则fh=1.05里考点：相似三角形的应用分析：首先根据题意得到geaafh，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可解答：解：egab，fead，hg经过a点，faeg，eafh，hfa=aeg=90，fha=eag，geaafh，ab=9里，da=7里，eg=15里，fa=

10、3.5里，ea=4.5里，解得：fh=1.05里故答案为：1.05点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大4.（2014娄底17（3分）如图，小明用长为3m的竹竿cd做测量工具，测量学校旗杆ab的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离db=12m，则旗杆ab的高为9m考点：相似三角形的应用分析：根据ocd和oab相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可解答：解：由题意得，cdab，ocdoab，=，即=，解得ab=9故答案为：9点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键5. (2014年湖北咸宁16（3分）)如

11、图，在abc中，ab=ac=10，点d是边bc上一动点（不与b，c重合），ade=b=，de交ac于点e，且cos=下列结论：adeacd；当bd=6时，abd与dce全等；dce为直角三角形时，bd为8或；0ce6.4其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网分析：根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明由bd=6，则dc=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得依据相似三角形对应边成比例即可求得解答：解：ab=ac，b=c，又ade=bade=c，adeacd；故结

12、论正确，ab=ac=10，ade=b=，cos=，bc=16，bd=6，dc=10，ab=dc，在abd与dce中，abddce（asa）故正确，当aed=90时，由可知：adeacd，adc=aed，aed=90，adc=90，即adbc，ab=ac，bd=cd，ade=b=且cos=ab=10，bd=8当cde=90时，易cdebad，cde=90，badf=90，b=且cos=ab=10，cosb=，bd=故正确易证得cdebad，由可知bc=16，设bd=y，ce=x，=，=，整理得：y216y+64=6410x，即（y8）2=6410x，0y8，0x6.4故正确点评：本题考查了相似三

13、角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等6（2014四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在abc中，点a1，b1，c1分别是bc、ac、ab的中点，a2，b2，c2分别是b1c1，a1c1，a1b1的中点，依此类推若abc的周长为1，则anbncn的周长为考点：三角形中位线定理专题：规律型分析：由于a1、b1、c1分别是abc的边bc、ca、ab的中点，就可以得出a1b1c1abc，且相似比为，a2b2c2abc的相似比为，依此类推anbncnabc的相似比为，解答：解：a1、b1、c1分别是abc的边bc、ca、ab的中点，a1b1、a1c1、b1c1是abc的中位

14、线，a1b1c1abc，且相似比为，a2、b2、c2分别是a1b1c1的边b1c1、c1a1、a1b1的中点，a2b2c2a1b1c1且相似比为，a2b2c2abc的相似比为依此类推anbncnabc的相似比为，abc的周长为1，anbncn的周长为故答案为点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：2.3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014上海，第23题12分）已知：如图，梯形abcd中，adbc，ab=dc，对角线ac、bd相交于点f，点e是边bc延长线上一点，且cde=abd（1）求证：四边形aced是平行四边形；（2

15、）联结ae，交bd于点g，求证：=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定分析：（1）证badcda，推出abd=acd=cde，推出acde即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案解答：证明：（1）梯形abcd，adbc，ab=cd，bad=cda，在bad和cda中badcda（sas），abd=acd，cde=abd，acd=cde，acde，adce，四边形aced是平行四边形；（2）adbc，=，=，=，平行四边形aced，ad=ce，=，=，=，=点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查

16、学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中2. （2014四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xoy中，abc三个顶点坐标分别为a（2，4），b（2，1），c（5，2）（1）请画出abc关于x轴对称的a1b1c1（2）将a1b1c1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点a2，b2，c2，请画出a2b2c2（3）求a1b1c1与a2b2c2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比分析：（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将a1b1c1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得出各点坐标，

17、进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案解答：（1）如图所示：a1b1c1即为所求；（2）如图所示：a2b2c2即为所求；（3）将a1b1c1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点a2，b2，c2，a1b1c1与a2b2c2的相似比为：1：2，：=1：4故答案为：1：4点评：此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键3. （2014四川巴中，第29题10分）如图，已知在abc中，ad是bc边上的中线，以ab为直径的o交bc于点d，过d作mnac于点m，交ab的延长线于点n，过点b作bgmn于g（1）求证：bgddma；（2）求证：直线mn

18、是o的切线考点：相似三角形的判定，切线的性质分析：（1）根据垂直定义得出bgd=dma=90，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出dbg=adm，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明bgddma；（2）连结od由三角形中位线的性质得出odac，根据垂直于同一直线的两直线平行得出acbg，由平行公理推论得到odbg，再由bgmn，可得odmn，然后根据切线的判定定理即可证明直线mn是o的切线解答：证明：（1）mnac于点m，bgmn于g，bgd=dma=90以ab为直径的o交bc于点d，adbc，adc=90，adm+cdm=90，dbg+bdg=90，cdm=bd

19、g，dbg=adm在bgd与dma中，bgddma；（2）连结odbo=oa，bd=dc，od是abc的中位线，odacmnac，bgmn，acbg，odbg，bgmn，odmn，直线mn是o的切线点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可4. （2014山东潍坊，第22题12分）如图1，在正方形abcd中，e、f分别为bc、cd的中点，连接ae、bf，交点为g(1)求证：aebf；(2)将bcf沿bf对折，得到bpf（如图2），延长fp交ba的延长线于点q，求sinbqp的值；(3)将abe绕点a逆时针方向

20、旋转，使边ab正好落在ae上，得到ahm（如图3），若am和bf相交于点n，当正方形abcd的面积为4时，求四边形ghmn的面积 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形abcd是正方形，可得abe=bcf=90，ab=bc，又由be=cf，即可证得abebcf,可得bae=cbf，由abf+cbf=900可得abf+bae=900，即aebf；（2）由bcfbpf, 可得cf=pf,bc=bp,bfe=bfp，由cdab得bfc=abf,从而qb=qf，设pf为x,则bp为2x,在rtqbf中可求 qb为x，即可求得答案；（3）由可

21、求出agn的面积，进一步可求出四边形ghmn的面积解答：(1)证明：e、f分别是正方形abcd边bc、cd的中点，cf=be，rtabertbcf bae=cbf 又bae+bea=900，cbf+bea=900，bge=900， aebf (2)根据题意得：fp=fc，pfb=bfc，fpb=900， cdab, cfb=abf，abf=pfbqf=qb 令pf=k（ko），则pb=2k，在rtbpq中，设qb=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinbqp=(3)由题意得：bae=eam,又aebf, an=ab=2, ahm=900, gn/hm, 四边形ghmn=sahm sa

22、gn=1一= 答：四边形ghmn的面积是.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用5. （2014山东烟台，第24题8分）如图，ab是o的直径，延长ab至p，使bp=ob，bd垂直于弦bc，垂足为点b，点d在pc上设pcb=，poc=求证：tantan=考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接ac先求出pbdpac，再求出=，最后得到tantan=解答：证明：连接ac，则a=poc=，ab是o的直径，acb=90，tan=，bdac，bpd

23、=a，p=p，pbdpac，=，pb=0b=oa，=，tanatan=点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出pbdpac，再求出tantan=6.（( 2014年河南) 20.9分）如图，在直角梯形oabc中，bc/ao，aoc=900，点a、b的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点d为ab上一点，且bd=2ad.双曲线y=（x0）经过点d,交bc于点e.（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形odbe的面积。解：（1）过点b、d作x轴的的垂线，垂足分别为点m、n. a (5.0)、b（2，6），om=bc=2,bm=oc=6,am=3 dnbm,anda

24、bm. dn =2,an=1, on=4 点d的坐标为(4,2)3分 又 双曲线y=(x0)经过点d， k=24=8双曲线的解析式为y=5分 （2）点e在bc上，点e的纵坐标为6. 又点e在双曲线y=上，点e的坐标为(,6),ce=7分s四边形odbe=s梯形oabcsocesaod =(bc+oa)ococceoadn =(2+5)6652 =12四边形odbe的面积为12. 9分7. （2014江苏盐城,第25题10分）菱形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，过点o作一条直线分别交da、bc的延长线于点e、f，连接be、df（1）求证：四边形bfde是平行四边形；（2）若efab，垂足

25、为m，tanmbo=，求em：mf的值考点：菱形的性质；平行四边形的判定分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得aeo=cfo，然后利用“角角边”证明aeo和cfo全等，根据全等三角形对应边相等可得oe=of，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）设om=x，根据mbo的正切值表示出bm，再根据aom和obm相似，利用相似三角形对应边成比例求出am，然后根据aem和bfm相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可解答：（1）证明：在菱形abcd中，adbc，oa=oc，ob=od，aeo=cfo，在aeo和cfo中，aeocfo（aas），oe=of，又ob=od，四边形bf

26、de是平行四边形；（2）解：设om=x，efab，tanmbo=，bm=2x，又acbd，aomobm，=，am=x，adbc，aembfm，em：mf=am：bm=x：2x=1：4点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似8. (2014年山东东营,第24题11分)【探究发现】如图1，abc是等边三角形，aef=60，ef交等边三角形外角平分线cf所在的直线于点f，当点e是bc的中点时，有ae=ef成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究ae、ef的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论

27、：当点e是直线bc上（b，c除外）任意一点时（其它条件不变），结论ae=ef仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点e是线段bc上的任意一点”；“点e时线段bc延长线上的任意一点”；“点e时线段bc反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明ae=ef【拓展应用】当点e在线段bc的延长线上时，若ce=bc，在图3中画出图形，并运用上述结论求出sabc：saef的值考点：相似形综合题菁优网分析：根据等边三角形的性质，可得ab=bc，b=acb=60，根据三角形外角的性质，可得aec=b+gae=60+gae，根据asa，可得ageecf（，根据全等三角形的性质

28、，可得结论；根据等边三角形的判定，可得aef是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得abc与aef的关系，根据等腰三角形的性质，可得ac与ah的关系，ac与ae的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案解答：证明：如图一，在b上截取ag，使ag=ec，连接eg，abc是等边三角形，ab=bc，b=acb=60ag=ec，bg=be，beg是等边三角形，bge=60，age=120fc是外角的平分线，ecf=120=ageaec是abe的外角，aec=b+gae=60+gaeaec=aef+fec=60+fec，gae=fec在age和ecf中，ageecf（asa），ae=ef

29、；拓展应用：如图二：作chae于h点，ahc=90由数学思考得ae=ef，又aef=60，aef是等边三角形，abcaefce=bc=ac，abc是等边三角形，cah=30，ah=ehch=ac，ah=ac，ae=ac，=点评：本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度9. （2014山东淄博,第23题9分）如图，四边形abcd中，acbd交bd于点e，点f，m分别是ab，bc的中点，bn平分abe交am于点n，ab=ac=bd连接mf，nf（1）判断bmn的形状，并证明你的结论；（2）判断mfn与bdc之间的关系，并说

30、明理由考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理菁优网分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得am是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得eab+eba=90，根据三角形外角的性质，可得答案；（2）根据三角形中位线的性质，可得mf与ac的关系，根据等量代换，可得mf与bd的关系，根据等腰直角三角形，可得bm与nm的关系，根据等量代换，可得nm与bc的关系，根据同角的余角相等，可得cbd与nmf的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案解答：（1）答：bmn是等腰直角三角形证明：ab=ac，点m是bc的中点，ambc，am平分bacbn平分abe，

31、acbd，aeb=90，eab+eba=90，mnb=nab+abn=（bae+abe）=45bmn是等腰直角三角形；（2）答：mfnbdc证明：点f，m分别是ab，bc的中点，fmac，fm=acac=bd，fm=bd，即bmn是等腰直角三角形，nm=bm=bc，即，ambc，nmf+fmb=90fmac，acb=fmbceb=90，acb+cbd=90cbd+fmb=90，nmf=cbdmfnbdc点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似10（2014四川凉山州，第27题，8分）已知：如图，p是o外一点，

32、过点p引圆的切线pc（c为切点）和割线pab，分别交o于a、b，连接ac，bc（1）求证：pca=pbc；（2）利用（1）的结论，已知pa=3，pb=5，求pc的长 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）连结oc，oa，先根据等腰三角形的性质得出aco=cao，再由pc是o的切线，c为切点得出pco=90，pca+aco=90，在aoc中根据三角形内角和定理可知aco+cao+aoc=180，由圆周角定理可知aoc=2pbc，故可得出aco+pbc=90，再根据pca+aco=90即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出pacpcb，由相似三角形的对应边成比例即可得出结

33、论解答：（1）证明：连结oc，oa，oc=oa，aco=cao，pc是o的切线，c为切点，pcoc，pco=90，pca+aco=90，在aoc中，aco+cao+aoc=180，aoc=2pbc，2aco+2pbc=180，aco+pbc=90，pca+aco=90，pca=pbc；（2）解：pca=pbc，cpa=bpc，pacpcb，=，pc2=papb，pa=3，pb=5，pc=点评：本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键 11（2014四川内江，第26题，12分）如图，在abc中，d是bc边上的点（不与点b、c重合），连结ad问题引入：（1）如图，当

34、点d是bc边上的中点时，sabd：sabc=1：2；当点d是bc边上任意一点时，sabd：sabc=bd：bc（用图中已有线段表示）探索研究：（2）如图，在abc中，o点是线段ad上一点（不与点a、d重合），连结bo、co，试猜想sboc与sabc之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由拓展应用：（3）如图，o是线段ad上一点（不与点a、d重合），连结bo并延长交ac于点f，连结co并延长交ab于点e，试猜想+的值，并说明理由考点：相似形综合题分析：（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案解答：解：（1）如图，当点d是bc边上的中点时，sabd：sabc=1：2；当点d是bc边上任意一点时，sabd：sabc=bd：bc，故答案为：1：2，bd：bc；（2）sboc：sabc=od：ad，如图作oebc与e，作afbc与f，oeaf，oed