2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练直线方程

1、 2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练直线方程 【题型一】：直线的倾斜角与斜率 【题型二】：两直线的位置关系 【题型三】：直线的方程 【题型四】：对称问题 【题型五】：综合应用 【题型一】：直线的倾斜角与斜率 ? 的倾斜角的范围是直线【例1】02?3yxcos?55? B A ,0,? ? 666622?55? D C 0,? 666? ?. 【思路点拨】已知条件中直线并不是这条直线的倾斜角中的角02xcos?3y?B 【答案】 ? 【解析】由直线，0?xcos2?3y?cos?k?所以直线的斜率为 3?cos?tan，则 设直线的倾斜角为 3 ?33cos33? ，即又因为 ?t

2、an? 33333?5? 所以 ,?0,? ? 66?1 【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。 【变式训练】 1kl的取: 与直线的交点在第一象限，求 【变式】已知动直线2?x?y?1y?kx?2k? 2值范围。 l过定点【答案】：由题意可知，动直线, （?2，1）Cl与x轴，y轴分别交于点，直线, （4，0）B（0，2A）lk?k?k交点在第一象限, 由图可知时，动直线与直线BCAC0?112?11?k?k?, BCAC22)(?0?62)(?4?11 为所求. ?k 62【题型二】：两直线的位置关系 ABCD的顶点为四边形，试判，【例2】，2?22)22?2

3、)(0CA(22)2)(4D，B(?2，ABCD的形状 断四边形【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角. 2边所在直线的斜率 ，【解析】k?ABAB2 2CD，边所在直线的斜率 ?kCD2 BCk?2， 边所在直线的斜率BC k?2边所在直线的斜率 DADAABCDBCDAABCDkk?kk为平行四边形，即四边形， DAABCDBC2 2 ABCDAB?BC ，又为矩形，即四边形1?2)kk?(BCAB 2【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要-1. 他们斜率的乘积为 【变式训练】 a的值

4、。: ax+(1-a)y=3与直线l: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求【变式1】直线l212 l, l: 【答案】方法一：当a=1时，l: x=3, l?y2211 54363 显然两直线不垂直, l: , 当 时，l: ?x?y?x?a21 55522?31aa3 : , l: 当 a1且时，l?y?x?a?y?x21 32a?212a?a1a3?a1?1a?aaa=-3 ，解得kk =-1 得，由1?k?,k2121 3?12aa?12a?3a 。ll当 a=1或a=-3时， 21a=-3 或a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1方法二： l。当a=1或a=-3

5、时，l21 【题型三】：直线的方程l面积的最AOBBA、两点，求过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于【例3】l. 小值及此时直线的方程ll的点斜式方程，且，1)【思路点拨】因直线，只缺斜率，可先设出直线已经过定点P(2 点坐标，结合函数及不等式知识求解.、k0 且0 k 故k0，b00)，B(0，b)，且A(a，21212?2?得ab?8,l故在直线上，1)点当且仅当，由均值不等式:1=P(2，1? abbabayx1121l 即方程为S=ab=4，此时:x+2y-a=4，即，b=2时取等号，且,?1? 24ab22 PN，轴的垂线PM、轴与解法三：如图，过P(2，1)作xy ? AO

6、B面积PAM=BPN，则垂足分别为M、N，设+SS=S+SBPN PAMOMPN矩形 11?2?21?cot?2tancot2?tan2= 2211? =4，当且仅当S时，?,即cot2?tantanAOB 221l:x+2y-4=0. (x-2)4有最小值，故此时直线y-1=-的方程为，即 2解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，【总结升华】但已知直线过一点时，灵活性体现了解题的利用了形数结合的思想，“”. 常设其点斜式方程，需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率4 不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、

7、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距. 【变式训练】 【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线； 12?1yx? : 【答案】由题设，设所求直线方程为，由已知条件得1?ba? ab?|a|?|b|?a?1a?3?解之得:， 或?b?1b?3?故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0. ll的方程。 过点，且在两轴上的截距之和为零，求【变式2】直线4)1,P(?ll：, 过原点，设直线 【答案】（1）若直线kxy?4?1?kk?4l ，代入上式得过点因为直线，解得4)P(?1,l的方程为；. 所以直线x?4y?x

8、yll的方程为：，2）若直线 在两轴上截距不为零，设（1? a?a?14a?5， 将代入上式得：，解得1?4)(?1,P a?axy，即, 1?05?x?y ?55l的方程为或. ）、（2）知：直线由（10?y?4x5x?y【题型四】：对称问题 b的方程。 关于直线4【例】求直线对称的直线0?1y?:3?:2axy40lx4?【思路点拨】1. 曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可5 选任意点实施转化）。 abl对称，则应具有下列几何性质：与 关于2. 由平面几何知识可知，若abll为线段一定在直线的垂上，则A点关于上，即的对称点（1）若点A在直线BABAB?ll上）

9、； 直平分线（，AB的中点在?abl的方上一点，则P关于的坐标适合直线（2）设是所求直线的对称点)(xy,P),yP(x程； aabbl交点，与只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求相交，则与（3）若过a/lb/l/a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可，则出答案；若以求出答案。 lB(x,y)，的对称点上取一点【解析】方法一：在直线，设A点于 (2,0)?0Aa:2x?y?400y?0x?2?003?4?1?0? 2248?则，解得， )?B(,? 0?y455?0? x?23?02x?y?4?0?由，解得交点。 2)(3,D?3x?4y?1?0?b的方程：。由两点

10、式可求得直线 0?16?2x?11y?bl)yP,(x，的对称点上任一点；设关于是所求直线方法二：设 ),y(PxP7x?24y?6y?yx?x?x?3?4?1?0? ?2522 则有：，解得?4y?y8?7y?24x?y ?x?x325?),(xyP在直线上， 0?4?xa:2?y7x?24y?6?24x?7y?8，整理得， 0?2?40?11x2?y16 25256 b的方程：。故所求直线 016?11y?2x【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论。 2. 求一条直线关于已知直线的

11、对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方a为二次2伴随曲线方法解决，其中方法还可以推广，如改变直线法之二是利用相关点曲线C，仍可用此方法解决。 【变式训练】 【变式】由点P（2，3）发出的光线射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反1x?y?射光线所在直线的一般方程为_ 【答案】： 01?5y?4x?(x,y)P(x,y)P满足条件 的对称点P关于直线，则【解析】：设点1x?y?0000x?2y?3?00?1,? 22? ?y?3?0?1, x?2?0?， 由直线方程的两点式可求得反得解射光线所在直线方程为),3P?(4?3?1，即 1)(x?1?y0?1?4x?5y ?4?1【题

12、型五】：综合应用 1216，），点P在线段CD，（40），D（垂直），（，已知点【例5】.A（11），B2，2C 55 平分线上，求： （1）线段CD垂直平分线方程；22 点的坐标）2|PA|+|PB|取得最小值时P（1612 C1【解析】（）由（，（D），04，）， 557 16?0816 5?2k? （得线段CD的中点M，）， CD1255?4 51线段CD的垂直平分线的斜率为， 28116，即x线段CD垂直平分线方程为：2y=0； )?y?(x 525 ），2t，t（2）设P222222218t+10）=10t 2）+（t|PA|则）+|PB|1=（2t）+（t12+（2t99922取得最小值，即P（，）时，|PA| +|PB|t=当 10510【变式训练】 【变式】已知三角形的顶点是A（5，0）、B（3，3）、C（0，2）， （1）求直线AB的方程； （2）求ABC的面积； （3）若过点C直线l与线段AB相交，求直线l的斜率