第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步section1

1、第八章第八章 矢量算法与场论初步矢量算法与场论初步张量张量 算法与黎曼几何初步算法与黎曼几何初步 本章包括两个部分. 第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量 的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度 与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的 积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的 协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到 n 维空间中去. 第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张 量算法，然后以张量

2、作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张 量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在 n 维空间中引进度量的概念，来定义黎 曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些 性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些 性质在仿射联络空间中是没有的. 1 矢量算法矢量算法 一、矢量代数 矢量概念 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面 积、能量等都是标量. 具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动 量等都是矢量 在几何中的有向线段就是

3、一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段 AB 来表示矢量.用 长度表示大小，用端点的顺序 AB 表示方向.A 称为始点，B 称为终点，这个矢量记作，或用 黑正体字母 a 表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示. 矢量按其效能可分成三种基本类型： 具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度. 在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相 等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于 1 的矢量称为单位矢量. 模等于零的

4、矢量称为零矢量，记作，它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量a的模相等而方向相反的矢量称为 a 的负矢量，记作-a. 始点与原点 O 重合而终点位于一点 M 的矢 量(图 8.1)称为点 M 的矢径(或向径)，记作 r，原点称为极点.如果 M 的直角坐标为 x，y，z , 则有 r OM(x，y，z)xiyjzk 式中 i，j，k 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正向单位 矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量). 矢量的基本公式 名 称 公 式 图 形 矢量 a 的坐标表示 坐标单位矢量 i，j，k 的坐标表示 零矢量的坐标表示 a 的长度(或模)a a 的方向余弦(, 为 a 的方向角) 矢量(

5、两端点 A， 的坐标分别为( ax,ay,az), (bx,by,bz) aaxiayjazk(ax, ay, az) i(，) j(，) k(，) 0(，)(0 无方向) a= a (bxax)i(byay)j (bzaz)k 加法 若 a(ax,ay,az)，b(bx,by,bz)，则 ab=( axbx,ayby,azbz) 把矢量的始点移到原点 O，以 a，b 为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和 矢量 ab(称为平行四边形法则，见图 8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为 和矢量 a+b(称为三角形法则，见图.3). 加法运算适合如下规律： abba (交换律

6、) cbacba)()( (结合律) aaa，a(a) 减法 若 a(ax,ay,az)，b(bx,by,bz)，则 ab(axbx，ayby，azbz) 把矢量 b 的负矢量与矢量 a 相加，得矢量 ab (图 8.4). 对任意两个矢量 a 和 b 成立三角形不等式： |ab|a|b| 数乘 以实数乘矢量 a 称为数乘，记作 a.当时，a 的模伸缩倍，方向保持不变； 当0 , 都存在数0，使得当 tt时 r(t)r 成立，则称 r为矢函数 r(t)当 tt时的极限，记作 t tt r 0 lim = r0 若t tt r 0 lim 存在，则 t tt r 0 lim i+j+k 若 t

7、tt r 0 lim = r(t0),则称矢函数 r(t)在 tt处连续. 矢函数的导数与微分 如果极限 t ttt t ff 0 lim 存在，就称它为矢函数 af(t)的导数，记作 t d da.矢函数 af(t)的导数仍为矢函数，从而还可 求它的导数，即二阶导数，记作 2 2 d d t a，等等. da t d dadt 称为矢函数 af(t)的微分. 矢函数求导公式 t d dc 0 (c 为常矢量) t d d (ka)k t d da (k 为常数) t d d (abc) tttd d d d d dcba t d d (a) t d d a t d da (是 t 的标函数)

8、 t d d (ab) t d da ba t d db (顺序可以交换) t d d (ab) t d da ba t d db (顺序不可以交换) t d d (abc)=( t d da bc)+(a t d db c)+(ab t d dc ) (顺序不可以交换) t d d a (t)= d da t d d (是 t 的标函数，这是复合函数的求导公式) 矢径形式的矢函数求导公式 设 rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k 表示矢函数的矢端曲线，则 1 r t d dr =ijk 表示矢端曲线的切线矢量(图 8.10)，指向 t 增加的方向，式中 t x d d , = t y d

9、 d , = t z d d 2 sd dr = t 式中 s 为矢端曲线的弧长，t 为切线的单位矢量. 3 2 2 d d t r r x ijk 式中 2 2 d d t x ,= 2 2 d d t y ,= 2 2 d d t z 矢函数的泰勒公式 r(tt)r(t) r (t)t r ! 2 1 (t)(t)r(n)(t)(t)nRn(t)n+1 式中 Rnx(n+1)(t1)iy(n+1)(t2)jz(n+1)(t3)k (t t1 , t2 , t3 tt) r(n)(t)= x(n)(t)iy(n)(t)jz(n)(t)k x(n)= n n t x d d , y(n)= n n t y d d , z(n)= n n t z d d 矢量函数的几个常用性质 1 定长矢量 r(t) r (t)，反之也真.从而切线的单位矢量的导数与原矢量垂直. 2 定向矢量 r(t)/ r (t)，反之也真. 3 一个变动矢量 r(t)平行于一个定平面的充分必要条件是：混合积 ( r r r )0 2矢量积分 不定积分 设 a(t)，b(t)为矢函数，则矢量微分方程 t t d db a(t) 的解 a(t)dtb(t)c (式中 c 为任意常矢量) 称为矢函数 a(t)的不定积分. 定积分 设 a(t)和 b(t)为矢函数