周-二次函数的应用(提高)---教师版

1、 个性化教学辅导教案 学科：数学 年级：九年级 任课教师： 授课时间： 2017 年 秋季班 第16周 教学课题二次函数的应用教学目标1、二次函数的应用求利润最大2、二次函数的应用求面积最大教学重难点二次函数的最大值的应用教学过程【知识要点】二次函数的三种表达式：一般式：（，为常数，）；顶点式：（，为常数，）；两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.二次函数性质的应用-利用二次函数的最值求实际中的最大值或最小值。其一般步骤是：（1）把实际问题转化为数学问题建立函数模型（2） 利用二次函数的最大值或最小值解决实际问题；求二次函数的最大值或最小值常用方法有：（1）公式法：当时，函数的最大值或最小

2、值（2）配方法：当自变量取全体实数时，将二次函数化成顶点式（3）代入法：将直接代入函数表达式即可。【例题解析】例1、已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc经过点A(3，0)，B(2，3)，C(0，3)，求抛物线的表达式 。3o-13yx例2、已知：函数的图象如图：求该函数解析式。例3、如图：ABC是边长为4的等边三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）。求 B、C、D三点的坐标；抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式。(1) 例4、求下列二次函数的最值：（1）求函数的最值（2）求函数的最值例5、随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来

3、越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在到水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度为多少？9【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=a（x1）2+h，代入（0，2）和（3，0）得：，解得：，抛物线的解析式为：y=（x1）2+；即y=x2+x+2（0x3）；（2）y=x2+x+2（0x3），当x=1时，y=，即水柱

4、的最大高度为m例6、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【解答】解：设涨价x元，利润为y，则y=（6040+x）（30010x）=10x2+100x+6000=10（x5）2+6250因此当x=5时，y有最大值625060+5=65元每件定价为65元时利润最大设每件降价a元，总利润为w，则w=（6040a）（300+20a）=20a2+100a+6000=20（a2.5）2+6125因此当a=2.5时，w有最大值6125每件定价为57.5元时利润最

5、大综上所知每件定价为65元时利润最大例7、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【解答】解：设花圃的宽为x，则花圃的长为：324x+2=344x，花圃面积为：S=x（344x）=4x2+34x0344x+110，6.25x8.75，S=4x2+34x，对称轴x=4.25，开口朝下，当x4.25时S随x的增大而减小，故当x=6.25时，花圃面积

6、最大值为56.25m2例8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可知：解得：抛物线的解析式为：y=x22x+3；（2）PBC的周长为：

7、PB+PC+BCBC是定值，当PB+PC最小时，PBC的周长最小，点A、点B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，即点P为所求的点AP=BPPBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BCA（3，0），B（1，0），C（0，3），AC=3，BC=；故PBC周长的最小值为3+（3）抛物线y=x22x+3顶点D的坐标为（1，4）A（3，0）直线AD的解析式为y=2x+6点E的横坐标为m，E（m，2m+6），F（m，m22m+3）EF=m22m+3（2m+6）=m24m3S=SDEF+SAEF=EFGH+EFAG=EFAH=（m24m3）2=m24m3；S=m24m3=（m+2）2+1；当m=2时，

8、S最大，最大值为1此时点E的坐标为（2，2）【巩固练习】1、在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（C）A B C D2、在二次函数中，当时，y的最大值和最小值分别是（A）A0，4 B0，3 C3，4 D0，03、已知二次函数的图象经过点(1，10)，顶点坐标为(1，2)，则此二次函数的表达式为是（ A ）Ay3x26x1 By3x26x1Cy3x26x1 Dy3x26x14、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：a0，b0；a+b+c0；ab+c0；当x1时，y随x的增大而减小；b24ac0；4a+2b+c0；a+bm（am+b）（m1）其中正确的结论

9、有（C）A4个 B5个 C6个 D7个5、如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线x=1；不等式的解集是；若（2，），（5，）是抛物线上的两点，则上述4个判断中，正确的是（B）A BCD6、如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式- 的解集是( C )A B C D7、已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc经过点A(1，0)，B(2，3)，C(0，3)，则抛物线的表达式是_8、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA1，OB3，OC4，则经过A，B，C三点的抛物线的表达式为_9、二次函数取得最小值时，x= 3 x（元）152030

10、y（件）25201010、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数（1）求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解答】解：（1）设此一次函数关系式为y=kx+b，则，解得k=1，b=40故一次函数的关系式为y=x+40（2）设所获利润为W元，则W=（x10）（40x）=x2+50x400=（x25）2+225所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元11、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙

11、角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设ABx m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值解：（1）AB=x，则BC=（28x），x（28x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12或16；（2）AB=xm，BC=28x，S=x（28x）=x2+28x=（x14）2+196，在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，2815=13，6x13，当x=13时，S取到最大值为：S=（1

12、314）2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米12、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线 与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点点P是x轴上的一个动点（1）求此抛物线的解析式（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标（3）求四边形ABOD的面积解：（1）抛物线的顶点为A（1，4），设抛物线的解析式y=a（x1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x1）2+4；（2）如图，作点B关于x轴的对称点B的坐标为（0，3），连接AB与x轴的交点即为点P，设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），则4=k+b3=b解得k=7 b=

13、3直线AB的解析式为y=7x3，令y=0，则7x3=0，解得x=所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）（3）连接AO当y=0时，（x1）2+4=0，解得x1=3，x2=1，抛物线与x轴的交点坐标为D（3，0），C（1，0），S四边形ABOD=SAOB+SAOD=7.5课后练习1二次函数y=-x2+2x+2化为y=a（x-h）2+k的形式，下列正确的是( B )A. y=-（x-1）2+2 B. y=-（x-1）2+3 C. y=（x-2）2+2 D. y=（x-2）2+42抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( B )A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）3把抛物线y=x2向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式为（ D ）A.y=(x1)3 B.y=(x+1)3 C.y=(x1)+3 D.y=(x+1)+34小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：；0；方程必有一个根在1到0之间你认为其中正确信息的个数有( C )A1个 B2个 C3个 D4个5已知二次函数的图象（0.7x2）如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是（ C ）A. 有最小值1，有