对数函数及性质习题

1、进入,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,学点七,学点八,指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系,13、对数函数的图象和性质,0,R,1,0,返回目录,1.对数函数的概念 函数 叫做对数函数. 2.对数函数的图象和性质. 图在下一页,y=logax(a0,且a1,3.对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为 .它们的图象关于 对称,反函数,y=x,返回目录,在y轴的右侧，过定点（1，0,在(0,+)上是减函数,在(0,+)上是增函数,y(0,y=0,y0,返回目录,学点一 比较大小,比较大小： （1） ， ； （2） , ; （3）

2、,分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手,返回目录,解析】（1）函数y= 在(0,+)上递减，又 , . （2）借助y= 及y= 的图象，tx 如图所示，在(1,+)内，前者在后者的下方， . （3）由对数函数的性质知， 0,返回目录,评析】比较两个对数值的大小，常用方法： （1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较； （2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较； （3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较,返回目录,比较下列各组数中两个值的大小： （1） ; （2） ; （3） (a0，且a1,返回目录,1）考查对数函数y=log2x，因

3、为它的底数21,所以它在(0,+)上是增函数，于是log23.4log0.32.7. （3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论： 当a1时，函数y=logax在(0,+)上是增函数，于是loga5.1loga5.9,返回目录,学点二 求定义域,求下列函数的定义域： （1） （2,分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四,解析】（2）由log0.5(4x-3)0 4x-30得04x-31, x1. 函数的定义域是,返回目录,2)由 16-4x0 x0 得 x-1 x+11 x0. -1x0或0 x2. 函数的定义域

4、是(-1,0)(0,2,评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性,求下列函数的定义域： （1） y= ; （2）,返回目录,1)要使函数有意义，必须且只需 x0 x0 log0.8x-10 即 x0.8 2x-10, x , 0 x 且x . 因此，函数的定义域是,返回目录,2）要使函数有意义，必须且满足 2x+30 x x-10 解得 x1 3x-10 x 3x-1 0 x 因此，函数的定义域为 (1,+),返回目录,学点三 求值域,求下列函数的值域：

5、（1） （2） （3）y=loga(a-ax)(a1,分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解,返回目录,解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616, 又-x2-4x+120, 00,且y=log x在(0,+)上是减函数, yR, 函数的值域为实数集R,3）令u=a-ax, u0,a1,ax0,u=a-axa, y=loga(a-ax)logaa=1, 函数的值域为y|y1,评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值,返回目录,返回目录,求值域： （1）y=lo

6、g2(x2-4x+6); （2）,1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又y=log2x在(0,+)上是增函数, log2(x2-4x+6)log22=1. 函数的值域是1,+). (2) -x2+2x+2=-(x-1)2+33, 0或 . 函数的值域是,返回目录,学点四 求最值,已知f(x)=2+log3x,x1,9,求y=f(x)2+f(x2)的最大值及当y取最大值时x的值,分析】要求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域,解析】f(x)=2+log3x, y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+lo

7、g3x2) =log32x+6log3x+6 =(log3x+3)2-3. 函数f(x)的定义域为1,9, 要使函数y=f(x)2+f(x2)有定义，必须,1x29 1x9. 1x3,0log3x1. 令u=log3x，则0u1. 又函数y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函数, 当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=f(x)2+f(x2)有最大值为13,评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法,返回目录,返回目录,已知x满足不等式-3 ,求函数f(x)= 的最大值和最小值,3 ，即 x8, log

8、2x3, f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=（log2x- ）2 - , 当log2x= ,即x=2 时，f(x)有最小值- . 又当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2, f(x)min=- ,f(x)max=2,学点五 求单调区间,求下列函数的单调区间： （1）f(x)= ； （2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3,分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决,返回目录,解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2 + . 由-2x2+x+60知- x2, 当x 时，随x的增大t的值增大，从而log t的值减小； 当x 时，随x的增大t的值减小，从而log

9、 t的值增大. 函数y=log (-2x2+x+6)的单调增区间是 ，单调减区间是,2）先求此函数的定义域，由=2x2-5x-30得(2x+1)(x-3)0，得x3. 易知y=log0.1是减函数，=2x2-5x-3在 上为减函数，即x越大，越小，y=log0.1u越大；在(3,+)上函数为增函数，即x越大，越大，y=log0.1越小. 原函数的单调增区间为 ，单调减区间为(3,返回目录,评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域,返回目录,已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1). （1）求f(x)的定义域； （

10、2）讨论函数f(x)的单调性,学点六 求变量范围,返回目录,已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围,分析】若f(x)的定义域为R，则对一切xR,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值,解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒为正值， a0 =4-4a0,返回目录,2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+). 当a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需 a0 =4-4a0 综上所述，0 a

11、1,评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位. （1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定； （2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定,返回目录,函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围,依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立， 当a1时，因为x2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以11,所以logax-1，即logaxlog 2对x2恒成立.所以 a1. 综上，可知a的取值范围为a（ ,1）(1,2,学点七 对数的综合应用,已知函数f(x)= . （1）判断f(x)的奇偶性； （2）证明：f(x)在(1,+)上是增函数,分析】由函数的

12、奇偶性、单调性的证明方法作出证明,返回目录,评析】无论什么函数，证明单调性、奇偶性，定义是最基本、最常用的方法,返回目录,u(x1)-u(x2)= x2x11, x2-x10,x1-10,x2-10, u(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0, y=log u在(0,+)上是减函数, log u(x1)log u(x2), 即log log , f(x1)f(x2), f(x)在(1,+)上是增函数,返回目录,设f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x). （1）求函数f(x)的定义域； （2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来;如果不存在，请说

13、明理由,1）由 0 x - 10 p - x0 当p1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p1,2）因为f(x)= 所以当 1,即13,x= 时，f(x)取得最大 值，log2 =2log2(p+1)-2，但无最小值,返回目录,学点八 反函数,返回目录,已知a0,且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是（,分析】分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系,B,解析】解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除A，C. 其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除D，故只能选B. 解

14、法二：若01，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件. 解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选B,评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响.要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质,返回目录,若函数f(x)=ax(a0，且a1)的反函数的图象过点 (2,-1),则a=,反函数的

15、图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过 (-1,2),得a-1=2,a=,返回目录,返回目录,1.如何确定对数函数的单调区间,1）图象法：此类方法的关键是图象变换. （2）形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法： 首先求满足f(x)0的x的范围，即求函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则 当a1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减. 当0a1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间不同，原函数在I1上单调递减，在I2上单调递增,2.如何学好对数函数,返回目录,对数函数与指数函数的学习要对比着进行，如它们的定义域和值域互换，它们的单调性与底数a的关系完全一致，指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和点(1,0)等，这样有助于理解和把握这两个函数,3.如何理解反函数,学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们间的相互转化，掌握反函数的图象关于直线y=x对称，在解决有关指数函数和对数函数的问题时，要注意数形结合，注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则，注意分类讨论,返回目录,1.在指数函数与对数函数中，对底数的要求是一致的，均是a0，且a1.但指数函数的定义域是R，对数函数的定义域是(0,+).对数函数的图象在y