反比例函数与一次函数(精)经典难题复习巩固

1、DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列反比例函数中的面积问题一、导入：飞翔的蜘蛛信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路- 从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，

2、仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性， 很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。 这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k| 的几何意义求解与面积有关的问题设 P 为双曲线上任意一点，过点P 作 x 轴、 y 轴的垂线PM 、PN ，垂足分别为线

3、段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM|PN|=|y| |x|=|xy|M 、 N ，则两垂 xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x 轴、 y轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值 |k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论 4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|三、专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ）【例 1】 如图，直线 OA 与反比例函数的图象在第一象限交于 A点， AB x

4、轴于点 B， OAB 的面积为2，则 k分析 ：由图象知 ,k0,由结论及已知条件得 k=4（ 2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则分析 ：连结OB， E、 F 分别为AB 、 BC的中点而由四边形OEBF的面积为2 得解得k=2评注 ：第小题中由图形所在象限可确定 k0，应用结论可直接求计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含 k 的方程求 k 值。k 值。第小题首先应用三角形面积的轴于B，如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数轴于 D ，且矩形ABOD 的面积为3与函数在第二象限的交点，（ 1）求两函数的解析式（ 2）求两函数的交点 A、C 的坐标（ 3）

5、若点 P 是 y 轴上一动点，且解：（ 1）由图象知k0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数） ，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形（阴影部分） ，则这五个橄榄形的面积总和是 （用含的代数式表示）分析 ： x,y 为正整数， x=1,2,4,8,16即 A 、B 、 C、 D、 E 五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1) ，因五个橄榄形关于y=x 对称，故有S=13 -26如图， A 和 B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心A 和圆心 B 都在反比例函数的图象上，则图中阴

6、影部分的面积等于.分析： 因为圆心 A 中的非阴影部分与圆 B 中的阴影部分为对称图形，圆 A 中的阴影部分与圆 B 中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆 A 的圆心 A 的坐标为 (x,y) ，由图可知，x=y A 点在反比例函数图象上，解得 x=1 从而所求面积为评注 ：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。四、巩固练习：（1）选择题1、反比例函数 ykM 是该函数图象上一点，MN 垂直于 x 轴，垂的图象如图所示，点x足是点 N，如果 SMON 2，则 k 的值为（） D(A)2(B)-2(C)4

7、(D)-42、（四川绵阳）若A（ a12图象上的两个点，且a1 a2，则 b1 与，b1）， B（ a2，b2）是反比例函数 yxb2的大小关系是（）DA b1 b2B b1 = b2C b1 b2D大小不确定3、（福建龙岩）函数yx m与 ym (m 0) 在同一坐标系内的图象可以是（） BxyyyyxxxxOOOOA B CD（2）填空题y54、（湖北潜江）如图，反比例函数y的图象与直线ykx (k0) 相交于B 两点，xAAC y 轴， BC x 轴，则 ABC 的面积等于个面积单位 .10Ox（3）解答题BCk(第 7 题图 )5、如图所示，反比例函数yA3，b ，过点 A 作 AB

8、垂直 x 轴于的图象经过点x点 B， AOB的面积为3 。（ 1）求 k 和 b 的值；（ 2）若一次函数 yax1 的图象经过点A，并且与 x 轴相交于点 M，求 AB： OM的值。分析：以面积为突破口，可求出A 点纵坐标 b 和系数 k，结合 A 点的双重特性（ A 点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。解：（ 1） ABBO， A 点坐标为3， b SAOB1 AB BO32即 1 b |3|32 b 2又点 A 在双曲线 yk 上x k 2( 3)23（ 2）点 A 在直线 yax1上 23a1a3 y3 x 133当 y=0 时， x3所以 M点的坐标为3， 0 AB ：

9、OM 2： 3点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。6. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数y= m 的图象交于 A（-2 ， 1），B（ ?1，n）两点（ 1）求反比例函数和一次函数的解析式；x（ 2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围7 已知：如图，函数y=-x+2 的图象与x 轴、 y 轴分别交于点A、B，一直线L 经过点C（1， 0）将 AOB的面积分成相等的两部分（ 1）求直线 L 的函数解析式；（ 2）若直线 L 将 AOB的面积分成 1：3 两部分，求直

10、线 L 的函数解析式五、拓展训练已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（ 2）根据图象回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（ 3）是反比例函数图象上的一动点，其中轴，交轴于点；过点作直线轴交于点当四边形的面积为6 时，请判断线段过点作直线轴于点，交直线与的大小关系，并说明理由分析 ：（ 1）由点 A （ 3， 2）在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0x3(3) 设 D 点坐标为（ 3，t），则 M 点坐标为（由四边形 OADM的面积为6 得 3+6+3=3t 解得

11、t=4故点 M 为（D 点为（ 3， 4）从而 M 点为 BD 中点， BM=DM评注 ：第小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第小问考查分析图形的能力，第小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结当堂过手训练（快练5 分钟，稳准建奇功）1、已知正比例函数 ykx 与反比例函数y3 的图象都过 Am( ， 1)，求此正比例函数的解析式及另一个x交点的坐标。分析：由 A 点坐标满足 y3可求得 m值，再将 A 点坐标代入 ykx 可求得正比例函数解析式，联立x方程组可求得另一交点坐标。解：因 y3 图象过 Am(， 1)，即13 ，故 m3 ，即 A（ 3， 1）xm将 A（3， 1）代入 ykx ，得 k13所以正比例函数解析式为y1 x3y3x 13x 23x ，解得联立方程组得y 1或1y11y 2x3另一交点坐标为（3， 1）点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。2、如图所示，反比例函数y8与一次函数 yx2 的图象交于 A、 B 两点。x（ 1）求 A、 B 两点的坐标；（ 2）求 AOB的面积。3、（ 2008 山东省）（ 1）探究