第三节-一般常数项级数ppt课件

1、第三节 一般常数项级数,一、交错级数及其审敛法,二、绝对收敛与条件收敛,三、小结与练习,定义：正负项相间的级数，称为交错级数,可以写成下面两种形式,其中,一、交错级数及其审敛法,定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数,满足条件,则交错级数收敛，其和,余项满足,说明：1. 莱布尼兹定理的条件（1）不是必要条件 （条件（2）是必要的,2. 定理同时给出了级数的和与余项的估计式,3. 定理应用的关键是条件1的验证,定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数,满足条件,则交错级数收敛，其和,余项满足,4. 检验条件（1）常用的方法,1）比值法,考察,是否成立,2）差值法,考察,是否成立,3）导数法,找一函数 f

2、(x) , 使,且当 x 充分大时,是否成立,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕,例1,解,所以级数收敛，其和小于 1,例2：判别下列交错级数的收敛性,解,由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛,例2：判别下列交错级数的收敛性,解,f (x) 单调下降,所以当 n 3 时，必有,由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛,例2：判别下列交错级数的收敛性,解,这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件,将原级数相邻两项加括号,发散,性质4：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛,所以原级数发散,二）绝对收敛与条件收敛,考虑任意项级数,一般项取绝对值后所得级数记为,1）若,收敛,则称原级数,绝对收敛,2）若,发散

3、,而,收敛,则称原级数,条件收敛,问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系,定理8 : 若级数,绝对收敛,则原级数,即,收敛,必定收敛,1）该结论的逆命题不成立,2）定理提供了检验一般级数,是否收敛的一种,有效方法,3）若,发散,不能断定,也发散,但若是用比值或根值判别法判断,发散,则可断定原级数,一定发散,证明,任意项级数,收敛性判断的一般步骤,1）检验,3）用正项级数审敛法检验,是否收敛,则原级数绝对收敛，从而收敛,4）若,发散,但是用比值或根值法判断的,则原级数也发散,是否成立,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步,若是,否则，进行下一步,2）若原级数为正项级数或交错级数，则可

4、用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,5）用性质或其它方法,例1：判别级数 的收敛性,解：记,而级数,因此原级数,所以由比较判别法知，级数,是 p = 2 的 p 级数，收敛,收敛,绝对收敛，从而收敛,则,例2：判定级数 的敛散性,解：这里 x 可正可负，故它是一个任意项级数,所以，原级数对一切,都绝对收敛,考察正项级数,例3：判定级数 的敛散性,解,当 | x | 1 时，原级数绝对收敛, x | 1 时,从而收敛,考察正项级数,发散,且是用比值法判别的,所以原级数,发散,例3：判定级数 的敛散性,解,考察正项级数,当 x = 1 时，级数为,调和级数，发散,当 x =

5、1 时，级数为,交错级数，且,满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛,且为条件收敛,例3：判定级数 的敛散性,解,考察正项级数,当 | x | 1 时，原级数收敛,且为绝对收敛,当 | x | 1 ，或 x = 1 时,原级数发散,当 x = 1 时，原级数为交错级数，且满足莱布尼兹 定理条件，故级数收敛，且为条件收敛,结论,解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为,所以,故原级数绝对收敛,收敛,例4：判定下列级数是否收敛，如果是收敛， 是绝对收敛还是条件收敛,解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为,所以,故原级数发散,发散,且是用根值判别法判别的,解：这是交错级数，且,满足,由莱布尼兹定理知，原