层次分析模型介绍

1、层次分析法,AHP,第一讲层次分析法,1.1 引言与引例,层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法,人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统,在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异,层次分析法为这

2、类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性,层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。 常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预测、投入量的分配等问题,引例1.1.1：综合评价,某公司招聘工作人员，拟从能力、知识和仪态三个方面考核应聘者的综合表现。为此建立了如下评价指标的层次结构,其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 =

3、 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色,如能知道底层指标 x1, , x8 对最高层的权系数w1, , w8 以及各底层指标的得分，就可以按照如下的评价公式,对应聘者进行考核、排序,引例1.1.2：综合决策,某地要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。 在此问题中过河方式的确定取决于过河的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此分别给出了两个层次结构（图 1.1.2 和图 1.1.3）。它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的,决策的制定将取决于根据这两个层次结构确定的方案的效益

4、权重与代价权重之比，即如能知道底层方案 Di（i = 1, 2, 3）对最高层 Aj（j = 1, 2）的权系数 wij（i = 1, 2, 3，j = 1, 2），则可根据如下的决策公式 Si = wi1/ wi2，i = 1, 2, 3 对三个方案进行排序、选择,引例1.1.3：预测或估计,在体育比赛中预测一个代表队的成绩，有三种可能的前景： x1 = 名列第一 x2 = 名列前八名（不包括第一） x3 = 名落孙山 所用的评价指标有三个：竞技实力、自信心、环境因素。为此构建如下的层次结构,如能知道底层指标 x1, x2, x3 对最高层的权系数 w1j, w2j, w3j（j = 1,

5、2, 3），将各相同前景的权系数相加，就可以按照如下的预测公式,对各前景 x1, x2, x3 对进行先验预测,引例1.1.4：投入量的分配,在这种问题中，投入量给定，要把它们分配到若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权重，把权系数看成分配的百分比率即可,1.2 层次分析法的基本原理和步骤,运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤： 1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重,1.2.1 建立递阶层次结构 建立递阶层次结构是层次分析法中的第一步,首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这

6、些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素,一个典型的层次可以用下图表示出来,其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。 第三，一个好的层次结构对于解决问题

7、是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构,一个递阶层次结构应具有以下特点： (1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。 (2) 整个结构中层次数不受限制。 (3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一步

8、分组。 (4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构,1.2.2 构造两两比较判断矩阵,在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, , An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, , An 相应的权重,对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。 层次分析法所用的是两两比较的方法,第一，在两两比较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则 Ck，两个元素 Ai 和 Aj 哪一个更

9、重要一些，重要多少。需要对重要多少赋予一定的数值。这里使用 19 的比例标度，它们的意义见表 1.3.1,表1.3.1 标度的意义,例如，准则是社会经济效益，子准则可分为经济、社会和环境效益。如果认为经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取 5，而社会效益对于经济效益的比例标度则取 1/5,19 的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，19 级的标度是适用的。其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在 59 级

10、之间，采用 19 的标度反映多数人的判断能力。再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于 19 的标度,第二，对于 n 个元素 A1, , An 来说，通过两两比较，得到两两比较判断矩阵 A： A = (aij)nn 其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称 A 为正的互反矩阵。 根据性质（2）和（3），事实上，对于 n 阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个给出判断即可,1.2.3 计算单一准

11、则下元素的相对权重,这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, , An 排序权重的计算问题。 对于 n 个元素 A1, , An，通过两两比较得到判断矩阵 A，解特征根问题 Aw = maxw 所得到的 w 经归一化后作为元素 A1, , An 在准则 Ck 下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法,特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性： 定理 设 n 阶方阵 A 0，max 为 A 的模最大的特征根，则有 (1) max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量； (2) A 的任何其它特征根 恒有 | max；

12、 (3) max 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的,特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量w，可用 Matlab 软件直接计算,例如：计算矩阵,的最大特征值及相应的特征向量,相应的 Matlab 程序如下,A = 1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1; x, y = eig(A); eigenvalue = diag(y); lamda = eigenvalue(1) y_lamda = x(:,

13、 1,y 是特征值，且从大到小排列； x 是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量,输出结果： lamda = 6.3516 y_lamda = -0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604,1.2.4 判断矩阵的一致性检验,在特殊情况下，判断矩阵 A 的元素具有传递性，即满足等式 aij ajk = aik 例如当 Ai 和 Aj 相比的重要性比例标度为 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例标度为 2，一个传递性的判断应有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例标度为 6。当上式对矩阵 A 的所有元素均成立时，判断矩阵A 称为一致性矩

14、阵,一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判断矩阵的一致性进行检验,判断矩阵一致性检验的步骤如下,1) 计算一致性指标 C.I.,其中 n 为判断矩阵的阶数,2) 查找平均随机一致性指标 R.I.,平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随

15、机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏1986年得出的115阶判断矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标如下,3) 计算一致性比例 C.R.,当 C.R. 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正,1.2.5 计算各层元素的组合权重,为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对于总目标的相对权重，需要把1.2.3 中的计算结果进行适当的组合，并进行总的一致性检验。这一步是由上而下逐层进行的。最终计算结果得出最低层次元素，即决策方案的优先顺序的相对权重和整个递阶层次模型的判断一致性检验,假定递阶层次结构共有 m 层，第 k 层有 nk（

16、k = 1, 2, , m）个元素，如图 1.2.2,已经计算出第 k1 层 nk1个元素 A1, A2, , 相对于总目标的组合排序权重向量 w(k1) = (w1(k1), w2(k1), , wnk1(k1) )T， 以及第 k 层 nk 个元素 B1, B2, , 相对于第 k 1层每个元素 Aj（j = 1, 2, , nk1）的单排序权重向量 pi(k) = (p1j(k1), p2j(k1), , pnk j(k1)T，i = 1, 2, , nk 其中不受 Aj 支配的元素权重取为 0,作 nk nk 1 阶矩阵 P(k) = (p1(k), p2(k), , pnk 1(k)

17、 那么第 k 层 nk 个元素 B1, B2, , 相对于总目标的组合排序权重向量为 w(k) = (w1(k), w2(k), , wnk(k)T = P(k)w(k1)， 并且一般公式为 w(k) = P(k)P(k1)P(3)w(k1,对于递阶层次模型的判断一致性检验，需要类似地逐层计算,若分别得到了第 k1 层次的计算结果 C.I.k1、R.I.k1 和 C.R.k1，则第 k 层次的相应指标为,1.3 范例,工作选择：经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示,经过仔细斟酌，该生对准则层和方案层分别进行了两两比较，所做的两两比较判断矩阵为,对矩阵 A 和 Bj（j = 1, , 6）分别进行求最大特征值、一致性判