因动点而产生的线段和差问题

1、1.8因动点产生的线段和差问题例1 2018年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A( 2,0), B(0,4)，点E在OB上，且/ OAE = Z OBA.(1) 如图1，求点E的坐标；(2) 如图2，将 AEO沿x轴向右平移得到厶 AEO,连结AB、BE. 设AA = m,其中0v mv 2，使用含m的式子表示A B2+ BE2，并求出使A B2+ BE2取得最小值时点 E的坐标； 当A B + BE 取得最小值时，求点 E的坐标(直接写出结果即可).图2满分解答(1) 由/ OAE = Z OBA，/ AOE = Z BOA，得 AOEBOA.所以AOOEOA因此2 4OE 2解

2、得OE = 1所以E(0,1).(2) 如图 3,在 Rt A OB 中，OB= 4, OA = 2 m,所以 A B2= 16+ (2 m)2. 在 Rt BEE 中，BE= 3, EE = m,所以 BE 2= 9+ m2.所以 A B2+ BE 2= 16+ (2 m)2 + 9+ m2= 2(m 1)2 + 27.所以当m= 1时，A B2 + BE 2取得最小值，最小值为 27.此时点A是AO的中点，点E向右平移了 1个单位，所以E (1,1).如图4，当A B + BE取得最小值时，求点 E 的坐标为 8考点伸展第(2)题这样解：如图 4，过点B作y轴的垂线I，作点E关于直线l的对

3、称点E ,所以 A B + BE = A B + BE .当A、B、E 三点共线时，AB + BE取得最小值，最小值为线段AE.在 Rt A O E 中，A O = 2, O E = 7,所以 A E = . 53 当A、B、E 三点共线时，AO AO.所以m=2 . BO EO4788解得m =-.此时E(-,1).77例2 2018年滨州市中考第24题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+ bx+ c经过A(-2, 4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.(1) 求抛物线y= ax2 + bx+ c的解析式；(2) 若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.答

4、案M的坐标.图1例3 2018年山西省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+ 2x+ 3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1) 求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；(2) 点P是x轴上的一个动点，过 P作直线I/AC交抛物线于点 Q.试探究：随着点 P的运动，在抛 物线上是否存在点 Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 请在直线AC上找一点M ,满分解答(1)由 y= x2+ 2x+ 3=- (x+ 1)(x - 3) = - (x 1)2+ 4, 得 A(- 1,

5、0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1,4).直线AC的解析式是y= 3x+ 3.(2) Qi(2, 3), Q2(1、7, _3), Q3(1_.7, O).（3）设点B关于直线AC的对称点为B,联结BB交AC于F. 联结BD , BD与交AC的交点就是要探求的点 M .作 B E 丄x 轴于 E,那么 BB EBAFCAO .在 Rt BAF 中，= AB , AB= 4，所以 BF = 12 .13VioTT0在 Rt BB E 中，空二里,BB，=2BF=，所以 BE=f , BE =迸.13101055所以OE =BE -OB二36-3= 所以点B的坐标为（-21,12）.55

6、55因为点M在直线y = 3x+ 3上，设点M的坐标为（x, 3x+ 3）.DD MM 由BD BM ，得 yD-yB/M-yB.所以 7 xD -xB xM -xB121cc 123x 3 -5_ .*21x5解得“35.所以点m的坐标为煌罟）.考点伸展第（2）题的解题思路是这样的： 如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ/AP,所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为（2, 3）. 如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等.解方程一x2 + 2x+ 3=- 3，得 x=1 一 7 .所以点 Q 的坐标为（1 7, -3）或（1-, -3）.

7、1.8因动点产生的线段和差问题例1 2018年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点 A( 2,0), B(0,4)，点E在OB上，且/ OAE = Z OBA.(1) 如图1，求点E的坐标；(2) 如图2，将 AEO沿x轴向右平移得到厶 AEO,连结AB、BE. 设AA = m,其中0v mv 2，使用含m的式子表示A B2+ BE2，并求出使A B2+ BE2取得最小值时点 E的坐标； 当A B + BE 取得最小值时，求点 E的坐标(直接写出结果即可).图1图2例2 2018年滨州市中考第24题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+ bx+ c经过A( 2, 4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.(1) 求抛物线y= ax2 + bx+ c的解析式；(2) 若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.例3 2018年山西省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+ 2x+ 3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D 是抛物线的顶点.(1) 求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；(2) 点P是x轴上的一个动点，过 P作直线I/AC交抛物线于