量子力学完整版ppt课件

1、1,量子力学,2,为什么要学习量子力学和统计物理学,1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量 子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需 要所有的人都懂得这种理论物理科学,然而，在1990年代，随着高技术科学的发展， 要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学 和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越 来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越 小。目前，元件的尺寸可以达到nm级,3,这面临着两个问题： 1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的元件，每个元件的工作状态有随机性，但器件的响应具有统计性； 2、构成元件的材料的体积属于原子团物理的范畴，即每个粒子含有有限个原子（102109个原子）。

2、这时的统计平均具有显著的涨落，必须考虑量子效应,4,量子力学,南京工业大学理学院 吴高建,第一章 绪论,5,1.1 经典物理学的困难,6,19世纪末，物理学界建立了牛顿力学、电动力学、热力学与统计物理，统称为经典物理学。其中的两个结论为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动时，会向外辐射电磁波,7,牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在牢固的基础上； 统计力学的建立,经典物理学的成就,8,而一旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或者无法理解,9,20世纪

3、初物理学界遇到的几个难题,1 两朵乌云（W.Thomson,电动力学中的“以太”：人们无法通过实 验测出以太本身的运动速度,物体的比热：观察到的物体比热总是低 于经典物理学中能量均分定理给出的值,10,2 原子的稳定性问题原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约为1ns。 3 黑体辐射问题紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的能量E与频率 的关系为,11,4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。但产生条件与光的频率有关，与光的强度无关,12,能量量子化的假设,造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永远是连续的。 如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电磁波，只

4、能以“量子”的方式进行，那末上述问题都能得到很好的解释,13,能量量子化概念对难题的解释,原子寿命 原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。即E1, E2, . En。 当电子从能级En变化到Em时，将伴随着能量的吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大小为E =h = EnEm 由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长,14,能量量子化概念对难题的解释,黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式，即Planck公式,15,普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固

5、体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 显示，即能量模式是不连续 的,所以，辐射的平均能量可如此计算得,16,经典的能量分布几率,所以对于连续分布的辐射平均能量为,玻尔兹曼几率分布,在 能量范围内,17,而对于Planck假设的能量分布几率，则为,从而,18,于是，用电动力学和统计力学导出的公式,RayleighJeans,这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合,应改为,19,当 （高频区） Wein公式 当 （低频区） RayleighJeans公式,20,能量量子化概念对难题的解释,对光电效应的解释 如果电子处于分立能级且入射光的能量也是量子化的，那么只有当光子的能量（E

6、=h）大于电子的能级差，即E =h EnEm时，光电子才会产生。如果入射光的强度足够强，但频率足够小，光电子是无法产生的,21,1.2 光的波粒二象性,22,爱因斯坦方程,对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中，他对光子的能量E是如此假定的,23,光子的能量与动量,并用= c / 和狭义相对论中的公式 p =E/c推出光子的动量p为 p=h/，E=h. 频率， 波长， h普朗克常数,24,光的波粒二象性,波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波动性，又有粒子性。 频率为的单色光波是由能量为E =h 的一个

7、个粒子组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。 光子的粒子性光电效应； 光子的波动性光的衍射和干涉,25,光的波粒二象性,杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明了光的波动性。 光电效应又证实了光子的粒子性,26,1.3 微粒的波粒二象性,27,1 物质波的概念,法国人De Broglie从光的量子论中得到启发，假设任何物体，无论是静止质量为零的光子，还是静止质量不为零的实物粒子，都具有粒子波动两重性。其中的波动，通称为物质波。认为物质波的频率和波长分别为 =E/h，= h /p 这就是著名的德布罗意公式,28,2 实物粒子的波动,从德布罗意物质波的观点出发，就会得出一种违背常理的结论：躲在靶子后面

8、仍然会被绕过来的子弹打中。 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为子弹的波长= h /p太小了。 h6.6210-34Js，p=mv,29,3 电子与分子的衍射与干涉实验,电子衍射 C60分子干涉图,30,4 波粒二象性既不是经典的粒子，也不是经典的波,5 物理意义：概率波与概率幅,概率波（M.Born,1926)：物质波描述了 粒子在各处发现的概率,概率幅：波函数也叫概率幅，概率密度,波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加,31,1.4 不确定关系,32,物质波的观点直接导致这样一个结论： 无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量 q坐标，p动量,另有：能量和时间的不确定关系,33,量子力学的特点,能量

9、量子化； 波粒二象性； 不确定关系。 需要用一个完整的理论将这些离散的假设和概念统一起来：量子力学应运而生,34,量子力学的作用,一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究的工具,35,学习量子力学时应注意的问题,概念是灵魂建立起清晰的概念 数学是桥梁不必过分拘泥于数学推导 结论是收获铭记结论在材料学中的作用,36,学习量子力学，其困难在于,发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯 或概念不一致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的； c. 处理问

10、题时，与经典物理学在手法上截然 不同。它的重要性在状态，算符和演化,37,所以，我们强调,掌握实验事实，及它给我们的启示，不直 接与主观经验联系，不先入为主； b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概 念的依据和特点，新在什么地方，如何理解； c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法 以及处理它们的思路和步骤,38,参考书目,曾谨言量子力学，科学出版社 周世勋量子力学教程，高等教育出版社,39,量子力学,第二章 波函数及薛定谔方程,40,2.1 波函数及其统计解释,41,自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E 和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子

11、的频率和波长分别为 又因为波矢为 ，因此，自由粒子的 和k都为常量。得到,一、自由粒子的波函数,42,和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或 将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即,43,二、一般粒子的波函数及其物理意义,1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数 来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数,44,2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释 （1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包

12、的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构,45,能量和动量的关系为， 利用 得到 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符,46,2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置,47,3、概率波,粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该表示粒子出现在点(

13、x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波,48,由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒 子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征,49,三、波函数的统计诠释,表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件,50,四、常数因子不定性,设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有， 等同于,51,说明,1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（

14、相位不确定性,例如：常数 ，则 和 对粒子在点（x,y,z）附近 出现概率的描述是相同的,2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波,52,五、对波函数的要求,1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 单值 4、连续性,53,六、态的叠加原理,波的干涉，衍射现象的本质原因是 因为它满足叠加原理。微观粒子所显示 的波动性表明：波函数也应满足叠加原 理,54,如果1和2是体系可能的状态，那么 =c11+c22也是体系的可能状态,对于合成的状态,其中,就是干涉项,其中,其中,55,一般地说，叠加原理可以写成,这导致了量子力学中的一个重要概念：对于 一个指定的量子体系，如果我们找到了它的 “完备的基

15、本状态”，例如 ，那么任 何状态都可以由这些基本状态叠加而得到,运动的状态是平面波,因此，自由电子的任何状态都可以写成,即是各种不同动量的平面波的叠加,例如：一个自由电子以动量,和能量,56,这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入,那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成,其中的系数由下式得出,这个,的物理意义是“动量测量几率振幅,对于一维情形,57,七、动量分布概率,设 ，则 表示粒子出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开,58,其中,可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此

16、， 应该代表粒子具有动量 的概率,59,2.2 薛定谔方程,60,一 Schrodinger方程,量子力学的基本定律是波函数所满足的偏 微分方程。这个基本定律在本质上是一个 假说,de Broglie波,满足的方程是,而,所以,61,这可以看做是在经典关系,中进行代换,可以推广地说：若粒子在外势场,中运动，其能量的表达式为,62,则它的波函数应该满足方程,此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926,63,二 几率守恒定律,粒子的空间几率密度是,根据Schrodinger方程,64,记,则,而这表示了一种守恒定律,65,因为，对任何体积V,等式右方用Gauss定理，得,是在体积V内发现

17、粒子的总几率，而,穿过封闭曲面S向外的总通量。所以,是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒,几率守恒也就是粒子数守恒,66,三 定态Schrodinger方程,若 与时间无关，则Schrodinger方程 可以分离变量求解,67,波函数成为,这样的波函数(或者是波函数 ）称为定态 波函数。对比de Broglie波，我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系 的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各 种力学性质不随时间而改变,68,的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值 的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就 是能量本征方程

18、,形如,算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数,69,2.3 一维运动的一般分析,70,一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,1、定态 2、简并 如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的,71,3、宇称函数在空间反演下表现出的特性,72,4、定态薛定格方程能量本征方程,73,5、束缚态与非束缚态,74,定理1,75,推论1,76,定理2,77,78,79,80,81,82,83,84,2.4 一维无限深势阱和方势阱,85,一、一维无限深方势阱,1、势函数 如果 在 ，由能量本征方程， 有 其解为 ，其中 由边界条件 和 ，有 和

19、， 波函数为,86,2、能量量子化 由 ， 和 得到 ， 这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数,87,将波函数 进行归一化： 即令 ，得到 归一化波函数为,3、归一化波函数,88,最低能量 经典粒子，可以有 一维无限深方势阱中的粒子 ，由测不准关系 ，得到 因此，粒子能量,4、讨论,89,在 ， 有 个节点 ，其上 说明粒子在这些节点上 出现的概率为零。 对于经典粒子来说，它 在 内任何一点都 有可能出现,90,二、有限深对称方势阱,设 粒子能量 条件 在阱内 能量本征方程 解,91,在阱外 能量本征方程 解 ，说明粒子不

20、会出现在 ，说明 的粒子也有到达势阱外的可能,92,2.5 量子隧道效应,93,一、方势垒的反射与透射,在 ，能量本征方程 解 粒子流密度 反射系数 透射系数,94,在 ，能量本征方程 解,95,解代数方程，得到 势垒贯穿 隧穿效应,96,电子的势垒贯穿 1 2 5 10 当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观,97,二、势的反射与透射,设质量为m的粒子(E0)从左 射入势垒,98,99,100,101,讨论,102,2.6 线性谐振子,103,1、能量本征方程,简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为 例如，双原子分子中两原子之间的

21、势能 一维谐振子的能量本征方程,104,2、能量本征方程的解,能量本征方程变为 当 时， ，有 ，其解 能量本征方程的解可表示为 其中， 为待求函数，代入能量本征方程，有 其解为 亦即厄密多项式。当 时，要求 得到,105,3、能量本征值,因为 同时 故 讨论 (1)能级是均匀分布的； (2)相邻能级差相同： ； (3)基态能量 ，称为零点能； (4)谐振子吸收 能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出 能量后，有可能从上能级跃迁到下能级,106,4、能量本征态（1,因为 ， 其中， 要根据 的归一化条件确定，即 由于 得到 能量本征态 正交归一化,107,4、能量本征态（2,最低三条能

22、级上的波函数为,108,扫描隧道显微镜,109,扫描隧道显微镜,110,扫描出的纳米级图像,111,扫描隧道显微镜拍下的DNA,112,扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞,113,用扫描隧道显微镜拍摄到的图像,114,STM工作原理,115,用STM移动氙原子排出的“IBM”图案,116,作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可 以让科学家观察和定位单个原子，它具有比它的同 类原子力显微镜更加高的分辨率。此外，扫描隧道 显微镜在低温下（4K）可以利用探针尖端精确操纵原子，因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具,扫描隧道显微镜 scanning tunneling microscope

23、,117,STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在 物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的 物化性质，在表面科学、材料科学、生命科学 等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用 前景，被国际科学界公认为20世纪80年代世界 十大科技成就之一,118,基本结构,隧道针尖,三维扫描控制器,减震系统,电子学控制系统,在线扫描控制和离线数据处理软件,119,工作原理,扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如同一 根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的 材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小 小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过 整个材料，到底层表面。当探针通过单个

24、的原子，流过 探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流 在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探 出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的波动 ，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图 片,120,优越性,具有原子级高分辨率，STM 在平行于样品表面方 向上的分辨率分别可达 0.1 nm 和 0.01 nm，即可以 分辨出单个原子,可实时得到实空间中样品表面的三维图像，可用于 具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种 可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究,121,可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是 对体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察 到

25、表面缺陷。表面重构、表面吸附体的形态和位 置，以及由吸附体引起的表面重构等,可在真空、大气、常温等不同环境下工作，样品 甚至可浸在水和其他溶液中 不需要特别的制样技术 并且探测过程对样品无损伤,122,配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结 构的信息，例如表面不同层次的态密度。表面电子阱、 电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等,利用STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操 纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础,123,局限性,STM所观察的样品必须具有一定程度的导 电性，对于半导体，观测的效果就差于导 体；对于绝缘体则根本无法直接观察。如 果在样品表面覆盖导电层，则由于导电层 的粒度

26、和均匀性等问题又限制了图象对真 实表面的分辨率。宾尼等人1986年研制成 功的AFM可以弥补STM这方面的不足,124,量子力学,第二章 波函数及薛定谔方程,125,2.1 波函数及其统计解释,126,自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E 和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 又因为波矢为 ，因此，自由粒子的 和k都为常量。得到,一、自由粒子的波函数,127,和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或 将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即,128,二

27、、一般粒子的波函数及其物理意义,1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数 来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数,129,2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释 （1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构,130,能量和动量的关系为， 利用 得到 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符,131,2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密

28、分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置,132,3、概率波,粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波,133,由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒 子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征,134,三、波函数的统计诠释,

29、表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件,135,四、常数因子不定性,设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有， 等同于,136,说明,1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性,例如：常数 ，则 和 对粒子在点（x,y,z）附近 出现概率的描述是相同的,2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波,137,五、对波函数的要求,1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 单值 4、连续性,138,六、态的叠加原理,波的

30、干涉，衍射现象的本质原因是 因为它满足叠加原理。微观粒子所显示 的波动性表明：波函数也应满足叠加原 理,139,如果1和2是体系可能的状态，那么 =c11+c22也是体系的可能状态,对于合成的状态,其中,就是干涉项,其中,其中,140,一般地说，叠加原理可以写成,这导致了量子力学中的一个重要概念：对于 一个指定的量子体系，如果我们找到了它的 “完备的基本状态”，例如 ，那么任 何状态都可以由这些基本状态叠加而得到,运动的状态是平面波,因此，自由电子的任何状态都可以写成,即是各种不同动量的平面波的叠加,例如：一个自由电子以动量,和能量,141,这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入,

31、那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成,其中的系数由下式得出,这个,的物理意义是“动量测量几率振幅,对于一维情形,142,七、动量分布概率,设 ，则 表示粒子出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开,143,其中,可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率,144,2.2 薛定谔方程,145,一 Schrodinger方程,量子力学的基本定律是波函数所满足的偏 微分方程。这个基本定律在本质上是一个 假说,de Broglie波,满足的方程是,而,所以,146,

32、这可以看做是在经典关系,中进行代换,可以推广地说：若粒子在外势场,中运动，其能量的表达式为,147,则它的波函数应该满足方程,此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926,148,二 几率守恒定律,粒子的空间几率密度是,根据Schrodinger方程,149,记,则,而这表示了一种守恒定律,150,因为，对任何体积V,等式右方用Gauss定理，得,是在体积V内发现粒子的总几率，而,穿过封闭曲面S向外的总通量。所以,是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒,几率守恒也就是粒子数守恒,151,三 定态Schrodinger方程,若 与时间无关，则Schrodinger方程 可以分离变量求解,

33、152,波函数成为,这样的波函数(或者是波函数 ）称为定态 波函数。对比de Broglie波，我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系 的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各 种力学性质不随时间而改变,153,的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值 的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就 是能量本征方程,形如,算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数,154,2.3 一维运动的一般分析,155,一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,1、定态 2、简并 如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有两个及其以上的本征

34、函数与其对应，则称这个能级是简并的,156,3、宇称函数在空间反演下表现出的特性,157,4、定态薛定格方程能量本征方程,158,5、束缚态与非束缚态,159,定理1,160,推论1,161,定理2,162,163,164,165,166,167,168,169,2.4 一维无限深势阱和方势阱,170,一、一维无限深方势阱,1、势函数 如果 在 ，由能量本征方程， 有 其解为 ，其中 由边界条件 和 ，有 和 ， 波函数为,171,2、能量量子化 由 ， 和 得到 ， 这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数,172,将波函数

35、 进行归一化： 即令 ，得到 归一化波函数为,3、归一化波函数,173,最低能量 经典粒子，可以有 一维无限深方势阱中的粒子 ，由测不准关系 ，得到 因此，粒子能量,4、讨论,174,在 ， 有 个节点 ，其上 说明粒子在这些节点上 出现的概率为零。 对于经典粒子来说，它 在 内任何一点都 有可能出现,175,二、有限深对称方势阱,设 粒子能量 条件 在阱内 能量本征方程 解,176,在阱外 能量本征方程 解 ，说明粒子不会出现在 ，说明 的粒子也有到达势阱外的可能,177,2.5 量子隧道效应,178,一、方势垒的反射与透射,在 ，能量本征方程 解 粒子流密度 反射系数 透射系数,179,在

36、 ，能量本征方程 解,180,解代数方程，得到 势垒贯穿 隧穿效应,181,电子的势垒贯穿 1 2 5 10 当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观,182,二、势的反射与透射,设质量为m的粒子(E0)从左 射入势垒,183,184,185,186,讨论,187,2.6 线性谐振子,188,1、能量本征方程,简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为 例如，双原子分子中两原子之间的势能 一维谐振子的能量本征方程,189,2、能量本征方程的解,能量本征方程变为 当 时， ，有 ，其解 能量本征方程的解可表示为 其中， 为待求函数，代入能量

37、本征方程，有 其解为 亦即厄密多项式。当 时，要求 得到,190,3、能量本征值,因为 同时 故 讨论 (1)能级是均匀分布的； (2)相邻能级差相同： ； (3)基态能量 ，称为零点能； (4)谐振子吸收 能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出 能量后，有可能从上能级跃迁到下能级,191,4、能量本征态（1,因为 ， 其中， 要根据 的归一化条件确定，即 由于 得到 能量本征态 正交归一化,192,4、能量本征态（2,最低三条能级上的波函数为,193,扫描隧道显微镜,194,扫描隧道显微镜,195,扫描出的纳米级图像,196,扫描隧道显微镜拍下的DNA,197,扫描隧道显微镜”下拍摄

38、的“血细胞,198,用扫描隧道显微镜拍摄到的图像,199,STM工作原理,200,用STM移动氙原子排出的“IBM”图案,201,作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可 以让科学家观察和定位单个原子，它具有比它的同 类原子力显微镜更加高的分辨率。此外，扫描隧道 显微镜在低温下（4K）可以利用探针尖端精确操纵原子，因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具,扫描隧道显微镜 scanning tunneling microscope,202,STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在 物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的 物化性质，在表面科学、材料科学、生命科学 等领域的研究中有着重

39、大的意义和广泛的应用 前景，被国际科学界公认为20世纪80年代世界 十大科技成就之一,203,基本结构,隧道针尖,三维扫描控制器,减震系统,电子学控制系统,在线扫描控制和离线数据处理软件,204,工作原理,扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如同一 根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的 材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小 小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过 整个材料，到底层表面。当探针通过单个的原子，流过 探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流 在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探 出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的

40、波动 ，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图 片,205,优越性,具有原子级高分辨率，STM 在平行于样品表面方 向上的分辨率分别可达 0.1 nm 和 0.01 nm，即可以 分辨出单个原子,可实时得到实空间中样品表面的三维图像，可用于 具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种 可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究,206,可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是 对体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察 到表面缺陷。表面重构、表面吸附体的形态和位 置，以及由吸附体引起的表面重构等,可在真空、大气、常温等不同环境下工作，样品 甚至可浸在水和其他溶液中 不需要特别的

41、制样技术 并且探测过程对样品无损伤,207,配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结 构的信息，例如表面不同层次的态密度。表面电子阱、 电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等,利用STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操 纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础,208,局限性,STM所观察的样品必须具有一定程度的导 电性，对于半导体，观测的效果就差于导 体；对于绝缘体则根本无法直接观察。如 果在样品表面覆盖导电层，则由于导电层 的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真 实表面的分辨率。宾尼等人1986年研制成 功的AFM可以弥补STM这方面的不足,209,量子力学,第二章 波函数及薛定谔方程,

42、210,2.1 波函数及其统计解释,211,自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E 和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 又因为波矢为 ，因此，自由粒子的 和k都为常量。得到,一、自由粒子的波函数,212,和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或 将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即,213,二、一般粒子的波函数及其物理意义,1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数 来描述这个粒子的特性，称其

43、为粒子的波函数,214,2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释 （1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构,215,能量和动量的关系为， 利用 得到 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符,216,2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定

44、的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置,217,3、概率波,粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波,218,由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒 子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征,219,三、波函数的统计诠释,表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件,220,四、常数

45、因子不定性,设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有， 等同于,221,说明,1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性,例如：常数 ，则 和 对粒子在点（x,y,z）附近 出现概率的描述是相同的,2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波,222,五、对波函数的要求,1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 单值 4、连续性,223,六、态的叠加原理,波的干涉，衍射现象的本质原因是 因为它满足叠加原理。微观粒子所显示 的波动性表明：波函数也应满足叠加原 理,224,如果1和2是体系可能的状态，那么 =c11+c

46、22也是体系的可能状态,对于合成的状态,其中,就是干涉项,其中,其中,225,一般地说，叠加原理可以写成,这导致了量子力学中的一个重要概念：对于 一个指定的量子体系，如果我们找到了它的 “完备的基本状态”，例如 ，那么任 何状态都可以由这些基本状态叠加而得到,运动的状态是平面波,因此，自由电子的任何状态都可以写成,即是各种不同动量的平面波的叠加,例如：一个自由电子以动量,和能量,226,这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入,那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成,其中的系数由下式得出,这个,的物理意义是“动量测量几率振幅,对于一维情形,227,七、动量分布概率,设 ，则

47、表示粒子出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开,228,其中,可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率,229,2.2 薛定谔方程,230,一 Schrodinger方程,量子力学的基本定律是波函数所满足的偏 微分方程。这个基本定律在本质上是一个 假说,de Broglie波,满足的方程是,而,所以,231,这可以看做是在经典关系,中进行代换,可以推广地说：若粒子在外势场,中运动，其能量的表达式为,232,则它的波函数应该满足方程,此即单粒子运动的Schrodin

48、ger方程(1926,233,二 几率守恒定律,粒子的空间几率密度是,根据Schrodinger方程,234,记,则,而这表示了一种守恒定律,235,因为，对任何体积V,等式右方用Gauss定理，得,是在体积V内发现粒子的总几率，而,穿过封闭曲面S向外的总通量。所以,是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒,几率守恒也就是粒子数守恒,236,三 定态Schrodinger方程,若 与时间无关，则Schrodinger方程 可以分离变量求解,237,波函数成为,这样的波函数(或者是波函数 ）称为定态 波函数。对比de Broglie波，我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系 的能

49、量有确定值的状态。在定态中，体系的各 种力学性质不随时间而改变,238,的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值 的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就 是能量本征方程,形如,算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数,239,2.3 一维运动的一般分析,240,一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,1、定态 2、简并 如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的,241,3、宇称函数在空间反演下表现出的特性,242,4、定态薛定格方程能量本征方程,243,5、束缚态与非束缚态,244

50、,定理1,245,推论1,246,定理2,247,248,249,250,251,252,253,254,2.4 一维无限深势阱和方势阱,255,一、一维无限深方势阱,1、势函数 如果 在 ，由能量本征方程， 有 其解为 ，其中 由边界条件 和 ，有 和 ， 波函数为,256,2、能量量子化 由 ， 和 得到 ， 这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数,257,将波函数 进行归一化： 即令 ，得到 归一化波函数为,3、归一化波函数,258,最低能量 经典粒子，可以有 一维无限深方势阱中的粒子 ，由测不准关系 ，得到 因此，粒子能量,4、讨论,259,在 ， 有 个节点 ，其上 说明粒子在这些节点上 出现的概率为零。 对于经典粒子来说，它 在 内任何一点都 有可能出现,260,二、有限深对称方势阱,设 粒子能量 条件 在阱内 能量本征方程 解,261,在阱外 能量本征方程 解 ，说明粒子不会出现在 ，说明 的粒子也有到达势阱外的可能,262,2.5 量子隧道效应,263,一、方势垒的反射与透射,在 ，能量本征方程 解 粒子流密度 反射系数 透射系数,264,在 ，能量本征方程 解,265,解代数方程，得到 势垒贯穿 隧穿效应,266,电子的势垒贯穿 1 2 5 10 当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观,267