最优控制(带笑脸的几道题)ppt课件

1、例3：试求内接于椭圆，周长最大的矩形，即在约束 条件下，使 取最大值。 解： 拉格朗日函数为： 极值的必要条件为,将 代入 得,联立求解： 正，负（取负值） 确定极大值的充分条件为,其中,将 代入上式，则有,在驻点 上，目标函数有极大值,例1：求泛函 的变分。 解,由于泛函的变分就是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分为： 当 时，相应的变分值为,泛函的变分是唯一的。如果 （3-12） 其中， 都是关于 的高阶无穷小，则可证,3-13） 即 （3-14） 定理（3-1）：如果泛函 是可微的，则泛函的变分为 （3-15） 式中，为任意实数，证明如下,因为 由于 是关于 的线性连续泛函，根据线性泛函

2、性质有 又由于 是关于 的高阶无穷小，所以,因此 证毕 同理，如果泛函 是 阶可微的，则其 阶变分为： (3-16) 如果泛函 为多元泛函即同理 (3-17) 式中 为泛函 的宗量函数,多元泛函的变分为,例3：求泛函 满足边界条件 的极值曲线。 解： 代入欧拉方程（3-44） 代入（3-44,两边积分得 第二次积分， 其中,利用边界条件 可解得 即,注,因此泛函的极值只能在曲线 上实现。 即,例4：最速降线问题 确立一条连接点 和定点 的曲线。使质点在重力作用下从点 滑动到点 所需要的时间最短（忽略摩擦和阻力影响）。 解：按题意，目标函数可构造为 根据力学公式，质点运动的速度为 (3-52,g

3、-为重力加速度 目标函数为 因被积函数 不是显含 ，故可用欧拉公式的首部积分公式，即,注： 通过通分，整理简化得： 注,式中,用参数方程法求解，引入参数 （ ），并令,积分后得,所求曲线的参数方程为： 令 ，并注意到边界条件,因此参数方程为 这是滚线的参数方程， 是滚动圆的半径，常数 由另一个边界条件 确定， 称为滚动角,所以最速降线是一条圆滚线，所谓圆滚线是指一圆沿定直线滚动时，圆周上一定点所描绘出的轨迹,例7已知受控系统的微分方程为 求最优控制 ，使目标函数 取最小值，给定的边界条件为， 解：将给定的系统微分方程化成过程等式的约束形式。设 ，系统的状态方程为,式中 边界条件相应的改为： ，

4、 目标函数改为： 应用拉格朗日乘子法，哈密尔顿函数为： (,伴随方程（协态方程）为， 积分后 ( ) 即 控制方程为 状态方程为,利用边界条件 确定积分常数 最优轨线及最优控制为,如果始端条件不变，终端条件改为部分约束和部分自由，边界条件为： 自由。 根据式（399）横截条件， 时， 时， 得,此时积分常数为 最优轨线及最优控制为 最优曲线如图所示 ：边界条件 自由,例1 已知受控系统的状态方程为（见线控习题 110-111页） , 始端条件 终端时间 固定,终端状态 自由，试求控制函数 使函数 性能指标取极小值。（取负值） 解： (1,2,3,注 将（3）代入（1） 再求导 （4） 将（1）

5、，（2），（3）代入（4） 注： 特征方程 所以 利用边界条件,利用边界条件后得: 将边界值 代入上式得: 得,取开方后的负值为衰减稳定系统） （注： , ） 最优控制,例5-2 设受控系统的状态方程为 不等式约束条件为: 试求使系统由初始状态 转移到坐标原点的最短时间的最优控制。 解：最短时间系统的性能指标为: 哈密尔顿函数为,协态方程 即,对上式求导数,解之 式中 为初始条件决定的常数。 极值条件为 由于 是一个周期函数，其周期为 ，正，负符号每经过 就要改变一次，或者说 每间隔 的时间就要切换一次，且在 和 两个边界值上不断换接。 对应于 和 两种情况求解状态方程,当 时，状态方程为:

6、特征方程 对上边第一式两边求导 ， 设初始状态为 ， 对状态方程求解为,其中,和,为常量,将 和 两式合并后消去 ,则得出的最优相轨迹方程为: 以上方程是一圆方程，其相轨迹为以为圆心，半径为 的一簇圆。 当 时，其相应轨迹为以 为圆心，半径为 的圆周，且该圆周通过坐标原点，将通过坐 标原点的相轨迹称为“开关曲线” 。 由 , 两式可见，每当 时， ,而 却可为任何值。（随 的选择而定）。因此，开关曲线 其余部分也将是在横轴,以下的半径为1的各半圆组成,如图所示。 当 时，状态方程为,对状态方程求解得,消去t后得出的最优相轨迹方程为 其开关曲线是在横轴上的半径为1的各半圆所组成。 系统从初始状态

7、 转移到坐标原点过程如下，假定系统的初始状态在 点，相应的 ，于是状态沿相轨迹 转移到 点，相应的 切换到 , 随后状态沿相轨迹 转换到 点， 点位于开关曲线上，此时的 又切换到 ,最后状态沿开关曲线 转换到坐标原点 点,例 5-4 设二阶系统的状态方程为 不等式控制约束为 (1)试证明系统从初态 转移到终态 时所消耗燃料为最少时的最优控制为,2） 欲要求系统从初态 以最短时间转移到终态 ,试确定 。 解： 对于最少燃料控制系统，其性能指标为 系统的哈密尔顿函数为 为使 函数全局最小，最优控制为,即,当,0 当,当,为了确定最优控制 ，必须求解 。通过对协态方程求解，得 当 时 ， ，利用式（5-128） 并代入初始条件,，则有 当 时， ，利用式（5-129）并代入初始条件 则有 当 时， ，利用式（5-131）并代入初始条件 ， 则有,和 关系曲线以及最优轨线图如下图所示,由图可见，系统初态 位于 区域，故 ，系统初态由 点 驱动下转移到 点，此时相应有 , 切换到 阶段，当 时， ，其最优轨迹 （线）为平行于 轴的直线,或者说系统在惯性作用下，其状态向坐标原点转移。当达到开关曲线上的 点时， , 切换到 。在