函数的奇偶性

1、函数的奇偶性,授课人：王秀芹,观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性,关于y轴成轴对称,o,x,y,关于原点成中心对称,观察函数f(x)= 的图象， 看看它具有怎样的对称性,观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性,关于y轴成轴对称,由g(x)=x2求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、 g(2)、 g(-3)、 g(3)的值，并思考g(-x) 与g(x)有怎样的关系,g(-1)= (-1)2=1,g(1) =12=1,g(-2)= (-2)2=4,g(-3)= (-3)2=9,g(3) = 32 =9,g(-x) =(-x)2=x2=g(x,函数 g(x)=x2

2、为偶函数,g(2)= 22=4,定义： 如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x， 都有f(-x) = - f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数,注意：(1)当XA时, - X A(定义域关于原点对称,如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x， 都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数,2)f(-x) = - f(x,注意：(1)当 XA时,-X A (定义域关于原点对称,2)f(-x) = f(x,观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性,关于y轴成轴对称,o,x,y,关于原点成中心对称,观察函数f(x)= 的图象， 看看它具有怎样的对称性,函数是奇函数

3、,结论,函数是偶函数,函数图象关于坐标原点对称,函数图象关于y轴对称,例 、判断下列函数的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为,又因为f(x)=（x）+（x）3+（x）5,当XR时, - X R,xx3x5,（x+x3+x5,f(x,所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数,所以，函数f(x)= x2+1是偶函数,又因为f(x)= （x）2+1,解：（）函数f(x)= x2+1的定义域为,当XR时, - X R,x2+1,f

4、(x,例 、判断下列函数的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,例 、判断下列函数的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为,当XR时, - X R,又因为f(x)=（x）+1,（x1,而f(x)= x 1,所以f(x) f(x)且f(x) f(x,因此 函数f(x)= x+1既不是奇函数也不是偶函数,解4） 因为，

5、而,所以函数f(x)= x2 ，x，既不是奇函数也不是偶函数,例 、判断下列函数的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,5）函数f(x)= 0的定义域为,当XR时, - X R,又因为f(x)= 0， f(x)= 0,所以f(x) = f(x)且f(x) = f(x,因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数,想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步,可分三步： 1、写出函数的定义域,2、判断定义域是否关于原点对称,3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性,练习：P

6、60 1、3,1、口答下列各题： （1） 函数f(x)=x是奇函数吗？ （2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？ （3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时， h(1)的值是多少,1)、 f(x)=x是奇函数,2)、 g(x)=2是偶函数,3)、 h(1)= h(-1)= 2,3、已知f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，如图（1）、 （2）分别是他们 的局部图象，试求f(-2) ，g(1) ，并把这两个函数的图象补充完整,f(-2)=- f(2)=-2,g(1)=g(-1)=1,课堂小结,1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x，都有f(-x) =-f(x) ，那么函数

7、f(x)就叫做奇函数； 如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数,2、 一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,作业：P60 2,4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤： 第一步，先写出函数的定义域； 第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步； 第三步，判断 f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)= f(x)，则是奇函数，若f(-x)=f(x)，则是偶函数，若f(-x)= f(x)，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又是偶函