18年高考真题——理科数学(全国1卷)

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（全国I卷）一选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1设z?11?i?2i，则|z|?（ ） （A）0 （B） （C）1 （D）221?i2已知集合A?x|x2?x?2?0，则eRA?（ ）（A）?x|?1?x?2? （B）?x|?1?x?2?（C）?x|x?1?U?x|x?2?（D）?x|x?1?U?x|x?2? 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如右饼图。则下面

2、结论中不正确的是（ ）（A）新农村建设后，种植收入减少（B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 （C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍（D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4设Sn为等差数列?an?的前n项和，若3S3?S2?S4，a1?2，则a5?（ ） （A）?12 （B）?10 （C）10 （D）125设函数f?x?x?a?1?x?ax，若f?x?为奇函数，则曲线y?f?x?在点?0,0?处的切线方程32?为（ ） （A）y?2x （B）y?x （C）y?2x （D）y?x6在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?（ ）uuurr1uu

3、urr3uuurr1uuurr3uuur3uuu1uuu3uuu1uuu（A）AB?AC （B）AB?AC （C）AB?AC （D）AB?AC444444447已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角相等，则?截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） （A）3323323 （B） （C） （D） 434228设抛物线C：y?4x的焦点为F，过点?2,0?且斜率为uuuuruuurM,N交于两点，则FM?FN?（ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 x?e?x?0?9已知函数f?x?，g?x?f?x?x?a。若g?x?存在2个零点，则a的取值范围?lnx?x?0?2的直线与C3

4、第 1 页 共 6 页是（ ） （A）?1,0? （B）?0,? （C）?1,? （D）?1,?10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC。?ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III。在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1,p2,p3，则（ ） （A）p1?p2 （B）p1?p3 （C）p2?p3 （D）p1?p2?p3x2?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线11已知双曲线C：3的交点分别为M,N。若?OMN为直角

5、三角形，则|MN|?（ ） （A）3 （B）3 （C）23 （D）4 212已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角相等，则?截此正方体所得截面面积3323323 （B） （C） （D） 4342的最大值为（ ） （A）二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）?x?2y?2?0?13若x,y满足约束条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为_。?y?0?14记Sn为数列?an?的前n项和，若Sn?2an?1，则S6?_。15从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种。（用数字填写答案）16已知函数f?x?2sinx?sin2x，则f

6、?x?的最小值是_。三解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分。17（本小题12分）在平面四边形ABCD中，?ADC?90，?A?45，AB?2，BD?5。 求cosADB；若DC?22，求BC。18（本小题12分）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别 为AD,BC的中点，以DF为折痕把?DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF。证明：平面PEF?平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值。第 2 页 共 6 页00x219（本小题12分）设椭圆C：?y

7、2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M2 的坐标为?2,0?。当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：?OMA?OMB。20（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p?0?p?1?，且各件产品是否为不合格品相互独立。记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f?p?，求f?p?的最大值点p0；现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以中确定的p0作为p

8、的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21（本小题12分）已知函数f?x?值点x1,x2，证明：1?x?alnx。讨论f?x?的单调性；若f?x?存在两个极xf?x1?f?x2?a?2。x1?x2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（本小题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y

9、?k|x|?2。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?cos?3?0。 求C2的直角坐标方程；若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。23选修45：不等式选讲（本小题10分）已知f?x?|x?1|?|ax?1|。当a?1时，求不等式2f?x?1的解集；若x?0,1?时不等式f?x?x成立，求a的取值范围。 第 3 页 共 6 页2018年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）解答一选择题 CBABD AADCA BA 二填空题 136；14?63；1516；1633 217解：在?ABD中，由正弦定理得2BDAB52sinADB?，故，得。?5sinA

10、sinADBsin450sinADB20由题设知，?ADB?90，所以cosADB?1?sinADB?23； 5由题设及知，cosBDC?sinADB?2。在?BCD中，由余弦定理得 5BC2?BD2?DC2?2BD?DCcosBDC?25，所以BC?5。18证明：由题BF?PF，BF?EF，又PFIEF?F，故BF?平面PEF。又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD；uuur作PH?EF，垂足为H。由得，PH?平面ABFD。以H为坐标原点，HF的方向为y轴正uuur|BF|为单位长，方向，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz。由知DE?PE，又DP?2，DE?1，故PE?3。又

11、PF?1，EF?2，故PE?PF。可得PH?333?，EH?。则H?0,0,0?，P?0,0,?，222?r?33?uuur?3?uuu3?D?1,?,0?，DP?1,HP?0,0,，且为平面ABFD的法向量。设DP与平面ABFD所?2?2?22?uuuruuurHP?DP343ruuur|?成角为?，则sin?|uuu为所求。 ?4|HP|?|DP|319解：由已知得F?1,0?，l：x?1。由题可知A1,22或A1,?22，故kAM?2，2所以AM的方程为y?2?x?2?； 2当l与x轴重合时，?OMA?OMB?00；当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA?OMB；当l与x

12、轴不重合也不垂直时，设l：y?k?x?1?k?0?，A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1?2，x2?2，直线MA,MB的斜率之和为kMA?kMB?第 4 页 共 6 页k?x1?1?k?x2?1?y1y?2? x1?2x2?2x1?2x2?2?y?k?x?1?22x1x2?3?x1?x2?4?24k2222k?。由?x得?2k?1?x?4kx?2k?2?0，故x1?x2?，22x?2x?2?1?2?2k?1?y?1?22k2?24k22k2?2，因此2x1x2?3?x1?x2?4?2?x1x2?2?3?2?4?0，从而kMA?kMB?0，故22k?12k?12k?1MA,MB的倾斜角互补

13、，所以?OMA?OMB。综上，?OMA?OMB。181718222220解：由题可知f?p?C20p?1?p?，因此f?p?C20?2p?1?p?18p?1?p?22C20p?1?10p?1?p?。令f?p?0，得p?0.1。当p?0,0.1?时，f?p?0；当p?0.1,1?时，17f?p?0。所以f?p?的最大值点为p0?0.1；由知p?0.1。令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B?180,0.1?，X?20?2?25Y?40?25Y，所以EX?E?40?25Y?40?25EY?490；如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。由于EX?400，故

14、应该对余下的产品作检验。1ax2?ax?121解：f?x?的定义域为?0,?，f?x?2?1?。若a?2，则f?x?0，2xxxa?a2?4?a?2x?当且仅当?时f?x?0，故f?x?在?0,?单调递减；若a?2，令f?x?0得，。2x?1?a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4?x?当0?x?或x?时f?x?0，当时f?x?0。2222?a?a2?4?a?a2?4?a?a2?4a?a2?4?,?单调递减，在?,所以f?x?在?0,?,?单调递增；?2222?由知，f?x?存在两个极值点当且仅当a?2。因f?x?的两个极值点x1,x2满足x?ax?1?0，2故x1x2?1。不妨设x

15、1?x2，则x2?1。因f?x1?f?x2?lnx?lnx2?2lnx21?1?a?1?2?a?，1x1?x2x1x2x1?x2?x2x2故f?x1?f?x2?11?a?2?x2?2lnx2?0。设函数g?x?x?2lnx?x?1?，由知g?x?在xx1?x2x212?0,?单调递减，而g?1?0，故x?1时g?x?0。故x第 5 页 共 6 页?x2?2lnx2?0，即f?x1?f?x2? ?a?2。x1?x222解：由x?cos?，y?sin?得C2的直角坐标方程为x?y?2x?3?0，即?x?1?y2?4；222由知C2是圆心为A?1,0?，半径为2的圆。由题知，C1是过点B?0,2?且关于y轴对称的两条射线。记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2。由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点，且l2与C2有两个公共点；或l2与C2只有一个公共点，且l1与C2有两个公共点。当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?|?k?2|4?2，故k?或k?0。3k2?14时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点。3|k?2|k2?1?2，故k?当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以当k?0