概率统计第三章题解

1、三、习题解答,1,在一箱子中装有,12,只开关,其中,2,只是次品,在其,中取两次，每次任取一只，考虑两种试验,1,放回抽样,2,不放回抽样,我们定义随机变量,X,Y,如下,品,若第一次取得的是次,若第一次取出的是正品,1,0,X,品,若第二次取得的是次,若第二次取出的是正品,1,0,Y,是分别就,1,2,两种情况，写出,X,和,Y,的联合分布律,1,解,放回抽样时,P,X,0=5/6,P,X,1=1/6,P,Y,0 = 5/6,P,Y,1=1/6,P,X,i,Y,j,P,Y,j,X,i,P,X,i,P,X,i,P,Y,j,i,0,1,j,0,1,X,和,Y,的联合分布律为,X,Y,0,1,0

2、,36,25,36,5,1,36,5,36,1,2,解,不放回抽样,PX=0=5/6, PX=1=1/6,P,Y,0,X,0,11,9,P,Y,1,X,0,11,2,P,Y,0,X,1,11,10,P,Y,1,X,1,11,1,且,PX,i,Y,j,PY,j, X,i,PX,i,i,0,1,j,0,1,X,和,Y,的联合分布律为,X,Y,0,1,0,45/66,10/66,1,10/66,1/66,2,将一枚硬币抛三次,以,X,表示在三次中出现正面的,次数，以,Y,表示三次中出现正面次数与反面次数之差的绝,对值,试写出,X,和,Y,的联合分布律,解,样本空间,S,HHH,HHT,HTH,THH

3、,HTT,THT,TTH,TTT,其中,H,为正面,T,为反面,X,的可能取值为,0,1,2,3,Y,的可能取值为,1,3,显,然,PX=0,Y=1=P,0,PX=0,Y=3=PTTT=1/8,P(X=1,Y=1)=PHTT,THT,TTH=3/8,P(X=1,Y=3)= P,0,PX=2,Y=3= P,0,P,X,2,Y,1=PHHT,HTH,THH=3/8,P,X,3,Y,1= P,0,P,X,3,Y,3=PHHH=1/8,X,和,Y,的联合分布律为,X,Y,1,3,0,0,1/8,1,3/8,0,2,3/8,0,3,0,1/8,3,盒子里装有,3,只黑球,2,只白球,2,只红球，在其中,

4、任取,4,只球，以,X,表示取到黑球的只数，以,Y,表示取到红,球的只数,求,X,和,Y,的联合分布律,解,X,的可能取值为,0,1,3,Y,的可能取值为,0,1,2,样本点总数为,4,7,C,35,PX=0,Y=0=P,0,PX=0,Y=1=P,0,PX=0,Y=2,35,2,2,2,2,0,3,C,C,C,35,1,PX=1,Y=0=P,0,PX=1,Y=1,35,2,2,1,2,1,3,C,C,C,35,6,PX=2,Y=0,35,2,2,0,2,2,3,C,C,C,35,3,PX=2,Y=1,35,1,2,1,2,2,3,C,C,C,35,12,PX=2,Y=2,35,0,2,2,2,

5、2,3,C,C,C,35,3,PX=3,Y=0,35,1,2,0,2,3,3,C,C,C,35,2,PX=3,Y=1,35,0,2,1,2,3,3,C,C,C,35,2,PX=3,Y=2=P,0,X,与,Y,的联合分布律为,X,Y,0,1,2,3,0,0,0,3/35,2/35,1,0,6/35,12/35,2/35,2,1/35,6/35,3/35,0,4,设随机变量,X,Y,的概率密度为,其他,0,4,2,2,0,6,y,x,y,x,k,Y,X,f,1,确定常数,2,求,X1,Y3,3,求,PX1.5,4,求,PX+Y,4,解,1,由,1,xdy,d,y,x,f,可知,2,0,4,2,8,

6、1,1,6,k,dxdy,y,x,k,2,1,0,3,2,8,3,6,8,1,3,1,dxdy,y,x,Y,X,P,3,4,2,5,1,0,32,27,6,8,1,5,1,dxdy,y,x,X,P,4,4,4,Y,X,P,Y,X,P,4,2,4,0,3,2,6,8,1,y,dxdy,y,x,5,设二维随机变量,X,Y,的概率密度为,其它,0,2,2,2,2,2,R,y,x,y,x,R,c,y,x,f,1,确定常数,c,用极坐标,3,0,2,0,3,1,1,R,c,rdr,r,R,c,d,R,故,3,3,R,c,解,1,由,1,dxdy,y,x,f,8,3,1,2,2,2,2,y,x,Y,X,P

7、,dxdy,y,x,2,2,2,2,1,2,8,3,1,0,2,0,rdr,r,d,解,R=2,时,其它,0,4,2,8,3,2,2,2,2,y,x,y,x,y,x,f,2,求,R=2,时，二维随机变量,X,Y,落在以原点为圆,心,r,1,为半径的园内的概率,解,由,1,0,Y,i,X,P,Y,i,X,P,i,X,P,1,0,i,1,0,1,0,i,i,Y,X,P,i,Y,X,P,i,Y,P,6,1,求,第,1,题,中随机变量,X,Y,的边缘分布律,2,求,第,2,题,中随机变量,X,Y,的边缘分布律,可知，放回与不放回的情况都是,X,0,1,6,5,6,1,Y,0,1,k,p,6,5,6,1

8、,k,p,2,由,3,1,Y,i,X,P,Y,i,X,P,i,X,P,1,0,i,3,0,i,Y,k,X,P,i,Y,P,k,3,1,i,可知边缘分布律为,X,0,1,2,3,p,k,1/8,3/8,3/8,1/8,Y,1,3,p,k,6/8,2/8,7,设随机变量,X,Y,的概率密度为,其它,0,0,1,0,2,8,4,x,y,x,x,y,y,x,f,求边缘概率密度,解,dy,y,x,f,x,f,X,当,1,0,x,时,2,4,2,2,8,4,2,0,x,x,dy,x,y,x,f,x,X,对其它,x,有,0,0,dy,x,f,X,dx,y,x,f,y,f,Y,当,1,0,y,时,4,3,4,

9、2,2,8,4,2,1,y,y,y,dx,x,y,y,f,y,Y,对其它,y,有,0,0,dx,y,f,Y,8,设二维随机变量,X,Y,的概率密度为,其它,0,0,y,x,e,y,x,f,y,求边缘概率密度,解,dy,y,x,f,x,f,X,当,0,x,时,x,y,x,X,e,dy,e,x,f,对其它,x,有,0,0,x,f,y,x,f,X,dx,y,x,f,y,f,Y,当,0,y,时,y,y,y,Y,ye,dx,e,y,f,0,对其它,y,有,0,y,f,Y,9,设,X,Y,的分布律如下,X,Y,0,1,2,3,0,0,0.01,0.01,0.01,0.03,1,0.01,0.02,0.03

10、,0.02,0.08,2,0.03,0.04,0.05,0.04,0.16,3,0.05,0.05,0.05,0.06,0.21,4,0.07,0.06,0.05,0.06,0.24,5,0.09,0.08,0.060,0.05,0.28,0.25,0.26,0.25,0.24,1.00,j,p,i,p,求,1,X,Y,的边缘分布律,2,X=3,的条件下,Y,的条件分布律,3,Y=1,的条件下,X,的条件分布律,解,1,X,Y,的边缘分布律见上表,2,3,3,3,X,P,k,Y,X,P,X,k,Y,P,3,2,1,0,k,即,K,0,1,2,3,PY=k|X=3,5/21,5/21,5/21,

11、6/21,3,与,2,同理得,K,0,1,2,3,4,5,PX=k|Y=1,1/26,2/26,4/26,5/26,6/26,8/26,求,2,1,X,P,而,Y,的概率密度为,其它,0,1,0,1,2,3,2,y,y,y,f,Y,10,设随机变量,X,关于,Y,的条件概率密度为,其它,0,1,0,1,1,2,2,x,x,y,y,x,y,x,f,Y,X,解,y,f,y,x,f,y,x,f,Y,Y,X,其它,0,1,0,3,x,y,x,dy,y,x,f,x,f,X,其它,0,1,0,3,3,2,0,x,x,xdy,x,8,7,3,2,1,2,1,2,1,2,1,dx,x,dx,x,f,X,P,X

12、,11,设随机变量,X,Y,的概率密度为,其它,0,1,0,1,x,x,y,y,x,f,求条件概率密度,y,x,f,x,y,f,Y,X,X,Y,及,解,1,0,2,1,x,x,dy,dy,y,x,f,x,f,x,x,X,1,1,1,1,1,y,y,dx,dx,y,x,f,y,f,y,Y,x,f,y,x,f,x,y,f,X,X,Y,即,其它,0,1,2,1,x,y,x,y,f,X,Y,同理可得,其它,0,1,1,x,y,y,y,x,f,Y,X,13,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量,X,在,0,1,上服从均匀分布,Y,的概率密度为,0,0,0,2,1,2,y,y,e,y,f,y,Y,解,

13、1,其它,0,1,0,1,x,x,f,X,由于,X,和,Y,相互独立，因此,X,和,Y,的联合概率密度为,其它,0,0,1,0,2,1,2,1,y,x,e,y,f,x,f,y,x,f,Y,X,1,求,X,和,Y,的联合概率密度,2,设含有,a,的二次方程为,0,2,2,Y,Xa,a,试求,a,有,实根的概率,dxdy,y,x,f,X,Y,P,y,x,2,2,dy,e,dx,y,x,2,0,1,0,2,1,2,dx,e,x,1,2,1,0,2,0,1,2,1,0.1445,解,方,程,0,2,2,Y,Xa,a,有,实,根,的,充,要,条,件,为,0,4,4,2,Y,X,即,Y,X,2,而,其中,

14、0,0,是常数,引入随机变量,Y,X,Y,X,Z,0,1,14,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量，其概率密,度分别为,其它,0,0,x,e,x,f,X,其它,0,0,y,e,y,f,Y,1,求条件概率密度,y,x,f,Y,X,解,y,f,x,f,y,x,f,Y,X,其它,0,0,0,y,x,e,y,x,当,0,y,时,其它,0,0,x,e,y,f,y,x,f,y,x,f,Y,Y,X,2,求,Z,的分布律和分布函数,解,dxdy,y,x,f,Y,X,P,Z,P,y,x,1,dy,e,dx,y,x,x,0,1,1,1,0,0,0,z,z,z,z,F,Z,同理可得,0,Y,X,P,Z,P,1

15、6,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量，其概率密,度分别为,其它,0,1,0,1,x,x,f,X,其它,0,0,y,e,y,f,y,Y,求随机变量,Z=X+Y,的概率密度,解,dx,x,z,f,x,f,z,f,Y,X,Z,由,1,0,x,及,x,z,0,得,z,x,所以,当,1,0,z,时,z,z,z,z,x,z,x,z,z,Z,e,e,e,e,e,dx,e,z,f,1,1,0,0,当,1,z,时,1,1,0,1,0,e,e,e,e,dx,e,z,f,z,x,z,x,z,Z,对其它,z,0,z,f,Z,z,x,1,1,17,某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密,度为,0,0,0,

16、x,x,xe,x,f,x,设各周的需要量是独立的,分别求两周,三周的需要量的概,率密度,解,设两周的需要量为,Z,第一、二周的需要量为,X,和,Y,则,dx,x,z,f,x,f,z,f,Y,X,Z,由,x,z,x,0,0,得,z,x,0,当,0,z,时,dx,x,z,x,e,dx,e,x,z,xe,z,f,z,z,x,z,x,z,Z,0,0,3,6,3,3,z,e,z,e,z,z,设,W,为三周的需要量，则,X,Z,W,当,0,z,时,du,u,z,f,u,f,z,f,X,Z,W,5,3,5,3,0,z,e,du,e,u,z,e,u,z,u,z,u,z,当,0,z,时,0,z,f,W,18,设

17、,2,1,X,X,相互独立且分别服从参数为,2,1,的,分布，即,2,1,X,X,的概率密度分别为,0,0,0,0,1,1,1,1,1,其它,x,e,x,x,f,x,X,0,0,0,0,2,1,2,2,2,其它,y,e,y,y,f,y,X,试证明,2,1,X,X,服从参数为,2,1,的,分布,证明,dx,x,z,f,x,f,z,f,X,X,X,X,2,1,2,1,dx,e,x,z,e,x,K,x,z,x,z,1,1,0,1,2,1,dx,x,z,x,e,K,z,x,1,1,0,1,2,1,dt,t,t,e,z,K,z,1,1,1,0,1,1,2,1,2,1,1,z,e,z,K,1,2,2,1,

18、这里,2,1,K,K,为与,z,无关的常数，故,2,1,X,X,服从参数为,2,1,的,分布,试求,Y,X,Z,的概率密度,21,设随机变量,X,Y,的概率密度为,其它,0,0,1,0,3,x,y,x,x,y,x,f,解,由,x,y,x,0,1,0,得,y,z,y,y,z,0,1,0,即,z,y,z,1,0,0,dy,y,z,dy,y,y,z,f,z,f,z,Z,3,1,0,2,1,2,1,1,3,z,z,z,1,1,2,3,z,z,0,1,2,3,2,z,z,0,0,z,z,f,22,设,X,与,Y,相互独立且均服从,0,a,上的均匀分,布，求,Y,X,Z,的概率密度,解,其它,0,0,1,

19、a,x,a,x,f,X,其它,0,0,1,a,y,a,x,f,Y,dy,y,y,f,yz,f,z,f,Y,X,Z,由于,a,yz,a,y,0,0,时被积函数不为,0,故,1,2,1,1,2,0,z,o,ydy,a,z,f,a,Z,1,2,1,1,2,2,0,z,z,ydy,a,z,f,y,a,Z,0,0,z,z,f,Z,即,1,2,1,1,0,2,1,0,0,2,z,z,z,z,z,f,Z,23,设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服,从,20,160,2,N,随机地选取,4,只，求其中没有一只寿命小于,180,小时的概率,4,3,2,1,180,i,X,P,i,4,1,4,180,1,180,X,P,X,P,i,4,20,160,180,1,000634,0,8413,0,1,1,1,4,4,解,设,4,3,2,1,i,X,i,分别为四只电子管