高考数学圆锥曲线的基本公式推导

1、圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 22换成yy，x换成(x+x)/xx，y2,y换成(y+y)/【1-0】公式小结：x2. 换成0000【1-1】 椭圆的切线方程 ： xxyy22xy00)yP(x,?1。 处的切线方程是 椭圆 上一点1? 0022 ab22abxxyy22xy00)y(x,P?1。过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 1?

2、0022 ab22ab22xy22222Aa?Bb?C?00C?Ax?Bx? 相切的条件是椭圆与直线1? 22ab(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： xxyy22xy00)x,yP(?1?。 上一点双曲线处的切线方程是 1? 0022 ab22abxxyy22xy00),yP(x?1?。 外一点所引两条切线的切点弦方程是 过椭圆1? 0022 ab22ab22xy22222Aa?Bb?C?00?AxBx?C 与直线椭圆相切的条件是1? 22ab【1-3】抛物线的切线方程： 2px?2y)xxp(?,y)yy?2P(x 上一点处的切线方程是物线 00

3、002y?2pxyy?2p(x?x) 处所引两条切线是 外一点过抛物线 0022AC2pB?px2y?0?Bx?CAx? 抛物线与直线相切的条件是【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 P(x,y)y?y?k(x?x), 为联立方程，令 的切上某一点处 线 方 程C设曲线000022)y(xxyy(x0000?1?0k的表达式，,最后得切线方程式 再代入原始式，得到 2222bbaak的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）（注: 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) (x,y)y,()y,(xx 证

4、明：设某直线与曲线P，中点、N、MC交于两点坐标分别为00221122?yx11?1,(1)? 222222x?xy?y?ab2121?.?0?(1)?(2)，得 则有 ? 22ab22xy?22?1.(2?)? 22ab?2y2yyy?y?yyy?y?yb002121?k.?,1212?又 MN2x?xx?x2xxx?xx?xa022101122122yybb00?k?k?) 弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是 ( MNMN22xaxa002xb0k? 无限趋近时，P在椭圆C上。即得切线斜率当M、N 2ay03、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分 （圆锥曲线切线证明）（同一目

5、录下文章）可知圆上一点的切线方程。2 证明：由坐标变幻，令x?a?x,y=b?y,22?yx22?+y1?1,从而得到变形后椭圆表达式?因为圆方程为x 22bayyxx001因为圆切线方程为xx+yy?1从而得到椭圆切线方程? 0022ba 1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。附言：第 切线斜率可用导数表示。22y?px2y 把消去。得到式子后，要利用00 称为极线方程)【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(x,y)(x,y)P(x,y。 A，B证明思路：过作两条曲线C的切线，切点为221100Ax?By?C?0?11?l0C?Ax?Bx? 两点直线方程为过A、。所以

6、B?ABAx?By?C?0?22证明(就举椭圆为例) (x,y)(x,y),P(xy。作两条曲线C的切线，切点为A ，B解：过221100xxyyxxyy1122?1?1。点切线过A: ，过B点切线： 2222ababxxyy00?l?1? 两点直线、AB方程为过 AB22ab 【公式三：由公式一的思路可得】 【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格) 【1-0】 【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF， aex?a大则在前左加右减。) (记忆：口诀：

7、椭圆F?ex?a 左减右加。左加右减，双曲线上点P 双曲线F2a?x?准线距离a?ex)/e= 焦半径与点到准线距离关系如下。即( c推广应用: ?n,m?ktancos的值通过的值 比例 e的值 m?n1?cos?巧用公式) (注：双曲线交于同侧、抛物线类似 emn?1nm?cos 不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为，具体自己推导吧 e?nm【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一：弦中点公式】 (x,y)y,x(),x(y 设某直线与曲线【证明】：CP，、两点坐标分别为N、交于M中点00221122?yx11),(1?1? 2222

8、22yxy?x?ba2121?.?0?)(2(1)?，得 则有 ? 22ba22yx?22)(2?1.? 22ab?2yy2yy?y?yyyy?y?b002211?.?k,?1221?又 MN2xx?x2x?xxaxxx?x?00122111222yb0?k?k?即k) (常用 OPMNMN2ax0 结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。 【抽象理解型证明】 具体理解，可以用“坐标系变幻理解”),y,y)(x(x，两点坐标分别为、C交于M、N的直线与曲线证明：设某斜率为定值k2211),y(x P中点0022yx221?1?(x)+ (y)b?ya?x,y=

9、?x，令。 22ba倍y轴缩短bx轴缩短a倍， 变幻后， MN垂直，得到中点轨迹方程始终与?yb?yb?k?k?k?k?1又 MNOP?xa?xa 2bbb?k?k?kk? MNOPOPMN2aaa 【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便) 2b?k?k,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直， BPAP2a2b?k?k证明方法和上面一样。至于双曲线，则是。结论可以直接背，不过引用的时 BPAP2a候还得按照下面的方法老实推导。 【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻) 证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲