高等数学解题方法上1PPT课件

1、1,高等数学方法,主讲教师: 王升瑞,第一讲,2,唯有奋斗,最风流,惜时如金,3,此刻打盹，你将做梦,学习时的痛苦是暂时的,未学到的痛苦是终身的,学习这件事，不是缺乏时间,学习不是人生的全部,请享受无法回避的痛苦,哈佛图书馆的训诫,但是人生的一部分,只有比别人更早，更勤奋的努力,此刻学习，你将圆梦,而是缺乏努力,学习也无法征服，还能做什么呢,才能尝到成功的滋味,4,谁也不能随随便便成功,狗一样地学习,绅士一样地玩,今天不走，明天要跑,教育程度代表收入,哈佛图书馆的训诫,没有艰辛，便无所获,它来自彻底的自我管理和毅力,即使现在，对手也不停地翻动书页,5,培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智,数学使

2、人精细,马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用,数学，才算真正发展了,伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书,如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡,华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一,科学家语录,什么也看不清,勤能补拙是良训，一分辛苦一分才,6,华罗庚 （1910 - 1985,聪明在于勤奋, 天才在于积累,学而优则用, 学而优则创,由薄到厚 ,由厚到薄,注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律,7,一提到数学,很多人首先想到的是复杂的公式,大量的计算、漫天的数字数据,还有百思不得其解数,学题,对数学产生畏惧、反弹心理,这与中国的高中教育偏重于对于知识的灌输,而非对

3、于知识的掌握密切相关,基于应试的压力,数学,教育尤其容易演变为固定类型的题海战术,某种意义上的死记硬背,而非激发学生的创造性思维,这在根本上就是与数学教育相背道而驰的,甚至成为,这样使学生,8,其实数学背后的思想,精髓,数学的证明方法才是数学的,都是约定俗成、极少歧义的概念,数学学习关注的是逻辑推演能力,数学是一种,表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系,在数学中,不仅各种数字、函数,就连加、减、乘、除，大于,小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身,也,用清晰、直观的坐标或图形表达比较复杂的逻辑关系,而几何方法,更是能,学习的目的是得到某种确定感和安全感,就是一个战场，身处战场绝对不是一安全的

4、事,并且上学有,利于得到某种确定感和安全感,不是为了考高分念书,而是为了不逃避痛苦与讨厌的事,生活本质上活脱脱,9,科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的桥梁,数学方法是数学的灵魂,高等数学方法（上,10,参 考 书,张晓宁、李安昌： 高等数学方法 中国矿业大学出版社，2002,11,目 录,第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法 第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析,12,

5、前言,一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段,1. 科学方法的重要性,科学,是什么 , 为什么,技术,做什么 , 怎么做,科学方法,桥梁与钥匙,反映自然,社会、思维的客观规律的分科的,知识体系,进行物资资料生产所凭借的方法和能力,13,数学,思维的体操,科学的语言,生活的需要,思路,表达,应用,数学方法,对数学规律的认识,思维方法,解题方法,是数学的灵魂,2. 数学方法的含义,14,二. “高等数学方法”的结构与学习方法,参考前言第二、三段,第一部分 (第一至第七章,每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题,第二部分 (第八至第十一章,包括综述和提高,从古典数学向近代数学靠拢,学

6、习方法,1. 掌握数学内容和数学方法相结合,2. 重视分析问题和解决问题的方法,3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养,15,第一讲,高等数学中的 分析问题 和 解决问题 方法,16,一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节,数学模型,客观实际问题内在规律性的数学,具有形式化、符号化、简洁化的特点,是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释,数学建模方法,实验归纳法,理论分析法 ( P514,物理模型,数学模型,求解和分析,结构,许多物理中的概念都要借助于高等数学中的,数学结构才能说的清楚,17,可无限逼近,例如 , 为什么用,及,语言定义极限 ,用圆内接正多边形面积逼近

7、圆面积A,圆内接正n边形的面积为,正整数),当,时,有,记作,精度要求,边数足够多,找出,利用极限知识可求出,18,测量圆面积,直接观测量为r,间接观测量为A,半径真值为,面积真值为,测量圆半径得,计算圆面积为,任给精度,要使,寻找精度,让,记作,19,再如 , 椅子稳定问题 (P515P516,假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面,建模,设 A , C 两脚与地面的距离之和为,B , D 两脚与地面的距离之和为,不妨设,且对任意,有,证明存在,使,20,证明: 设,又,由连续函数零点定理可知 , 存在,使,即,又知,所以,思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑,提示,相邻两脚之和，并旋转

8、1800,21,二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455,1. 简化方法 2. 直观分析法 3. 逆向分析法 4. 类比法,1. 简化方法,复杂问题,简单问题,分解法 变换法 换元法 递推法 转化法,22,常用几个的初等函数公式,23,24,单调递减,提示: 令,则转化为讨论下述函数,在 t 0 时单调递减,注意,说明 1,与,具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值,2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单,例1. 证明,问题与单调性问题,函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1,25,设,求,提示：将函数化为,则,例2,26,2. 直观分析法,通过特例或

9、图形，寻找规律、方法和结论,与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示,有关几何应用画出图形找几何关系,填空题和选择题可用增强条件的方法找结论,27,的图形关于,例1. 设定义在实数域上的函数,直线,及,对称 , 试证,为周期,函数 . ( P.447 例4,直观分析,任取一个实数,因此有,是周期为,的函数,它关于直线,的对称点为,而,关于直线,的对称点为,显然可猜想,28,的图形关于,例1. 设定义在实数域上的函数,直线,及,对称 , 试证,为周期,函数 . ( P.447 例4,证,有,29,拉格朗日中值定理,1) 在区间 a , b 上连续,满足,2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至

10、少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a , b 上连续,在 ( a , b ) 内可导,且,证,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立,证毕,30,渐近线,若,则,有水平渐近线,若,则,有垂直渐近线,若,则,有,斜渐近线,31,例2.如何求函数,的斜渐近线,分析,由图可知, 若曲线,有斜渐近线,则必有,从而,32,例如 , 求曲线,的斜渐近线,解,所以曲线有斜渐近线,33,的斜渐近线方程,解,所求 斜渐近线方程为,例3、求曲线,2005考研,34,练习、曲线,渐近线的条数（,A,1,B,2,C,D,3,则,为垂直渐近线,则,

11、为水平渐近线,解,2012考研,故没有斜渐近线,35,例4. 求笛卡儿叶形线,的渐近线,P100 例13,解: 令 y = t x,代入原方程得曲线的参数方程,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,即,36,在,上连续, 在,内,存在 , 连接两点,的直线交曲线,于,且,试证至少存在一点,使,提示:如图所示, 有,在,上应用Rolle定理,对,P118 题7,例5.已知,37,逆向思维,反推 执果溯因,反证 利用正命题与逆否命题等价,反例 找反例说明原命题不正确,3. 逆向分析法,多用于否命题,38,设函数 在 0,1 上二阶可导 , 且,证明至少存在一点 ,使,提示,设辅助函数,在0,1上满足 R

12、olle 定理 ,可知有,再对 F(x) 在,从结论入手, 注意到,利用,上用 Rolle 定理,例1,39,在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得,提示,转化为证,上满足 Lagrange 定理条件,使,则只需证明,可见只要对,上用 Cauchy 中值定理,P450,考研98,由于,在,则有,及,在,例2. 设函数,40,无实根. ( P451 例7,提示,用反证法. 假设有实根,代入,上式两边异号, 矛盾, 假设不真,利用,显然,则有,例3. 证明方程,41,类比是找相似性, 是发现问题和解决问题的 重要方法,4. 类比方法,42,计算极限,提示,类比下列极限,例 1,P453 例9,

13、43,计算极限,提示,类比下列极限,例 1,P453 例9,44,利用Lagrange 微分中值定理易推出,例2. 证明下列不等式,45,提示: 将不等式改写为,设,易证,46,高等数学方法,主讲教师: 王升瑞,第二讲,47,三.几种常用的证题方法,1.分析综合法,2. 设辅助函数法,3. 反证法,证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型,通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程,1. 分析综合法,48,设 为正实数,试证,提示,为,上的上凹函数,在 上,P473 例12,例1,满足,49,在 上可导, 且 , 证明至少存在,一点 使,提示,因为,可考

14、虑对函数,在区间 a , b 上用 Cauchy 中值定理,P81 例10,例2 设,50,利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如,寻找辅助函数一般用逆向分析法,通过设辅助函数, 利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在,通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明 相关不等式,2. 设辅助函数方法,51,例1. 设,在 上连续且可导, 并有 n 个不同的,零点,证明: 对任意常数 a,在 上至少有,提示: 设辅助函数,n -1 个不同的零点,52,设函数 和 在 上二阶可导, 且,提示,只要证,且,依据乘积导数法则想到设辅助函数,用反证法,再证明,上满足 Rolle 定理条件,试证至少存在一点,使,P475 例15,考研95,例 2,即,53,设 , 求证,提示,方法1. 设,证明它在,单调增,方法2. 设,证明它在,单调减,例3,54,3. 反证法,反证法是一种逆向分析方法,是通过否定命题的,结论,引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明,明原命题的正确性,反证法