《计算机数值方法教学课件》第四章-有限差分法的基本概念

1、第四章有限差分法的基本概念,4.1 引言 4.2 导数的差分近似方法 4.3 差分方程 4.4 显式和隐式差分格式 4.5 差分格式的基本性质 4.6 数值耗散与数值色散,4.1 引言,1) 离散化概念,计算域,控制方程,离散点,代数方程组,2) 离散化网格,4.1 引言,discrete grids,复杂外形网格生成,2) 离散化网格,4.1 引言,3) 离散化过程,网格生成 L(u)=0 B(u)=0 I(u)=0,4.1 引言,4) 有限数值模型,计算域离散化,因变量离散分布,反映同一的物理特性和信息 分析离散带来的伪物理效应,4.1 引言,4) 有限数值模型,4.1 引言,偏微分方程的

2、离散方法,有限差分法 Finite Difference Method（FDM） 有限体积法 Finite Volume Method （FVM） 有限元法 Finite Element Method （FEM） 谱方法 Spectral Method,5) 有限差分法,微商,差商,微分方程,差分方程,4.1 引言,向前差分 （前差,5) 有限差分法,向后差分 （后差,中心差分 （中心差,4.1 引言,离散对象,离散方法,离散结果,偏微分方程和定解条件,差商取代微商,有限节点值的有限个代数方程组的数值解,5) 有限差分法,4.1 引言,基本问题,判断方程的类型，选择合适的差分离散方法； 对解域

3、的选取和网格划分； 方程和定解条件的离散，构造逼近微分方程定解问题的差分方程； 解的合理性研究,5) 有限差分法,4.1 引言,解的精度:数值解的误差估计； 解的收敛性及收敛速度:与偏微分方程的一致性； 解的稳定性：对误差传播的敏感程度； 解的结构研究：逼近真实解的形式,基本问题,解的合理性研究,差分余项效应 数值耗散 数值色散,5) 有限差分法,4.1 引言,4.2 导数的差分近似方法,泰勒级数展开法 待定系数法 差分算子法,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,截断误差,一阶精度,一阶精度,空间前差,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,时间

4、前差,一阶精度,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,一阶精度,空间后差,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,一阶精度,时间后差,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,1) 泰勒级数

5、展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,2) 待定系数法,4.2 导数的差分近似方法,四阶精度五点中心差,二阶精度三点后差,二阶精度三点中心差,二阶精度,空间三点后差,1) 待定系数法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,3) 差分算子法,4.2 导数的差分近似方法,4.2 导数的差分近似方法,3) 差分算子法,例 1: E,例 2,例 3,D and,D and,D and,3) 差分算子法,应用： 1、构造高阶差分格式； 2、求解截断误差,习题：P115 4.6,4.2 导数的差分近似方法,4.3 差分方程,偏微分方程,代数方程组,1) 判断控制方程数学性质； 2) 网格生成；

6、 3) 控制方程 初始条件 边界条件,代数方程组,4.3 差分方程,4)求解代数方程组； 5)解的合理性分析,相容性 收敛性 稳定性,网格效应 差分余项效应 伪物理效应,宏观特性,微观特性,4.3 差分方程,差分离散FTCS（时间前差空间中心差分格式,4.3 差分方程,微分方程,差分方程,截断误差,时间前差空间后差格式（FTBS,时间前差空间前差格式（FTFS,4.3 差分方程,时间前差空间中心差分格式（ Lax-Wendroff 格式,4.3 差分方程,时间前差空间后差格式（FTBS,4.3 差分方程,相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异,问题,4.3 差分方程,精确解,计算域,4.

7、3 差分方程,FTBS格式,FTFS格式,4.3 差分方程,FTFS格式,4.3 差分方程,FTBS格式,4.3 差分方程,现象,一阶精度FTFS格式的数值解发散，导致计算无法运行下去,4.3 差分方程,FTBS格式,FTFS格式,4.3 差分方程,特征线,4.3 差分方程,FTBS,差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息,4.3 差分方程,相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异,同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异,问题,4.3 差分方程,时间前差空间后差格式（FTBS,和,4.3 差分方程,FTBS格式,4.3 差分方程,FTBS格式,4.3 差分方程,现象,一

8、阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制,4.3 差分方程,相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异,同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异,问题,一阶精度格式和二阶精度格式的数值解与解析解的差异,4.3 差分方程,FTBS格式,Lax-Wendroff格式,空间一阶精度,空间二阶精度,4.3 差分方程,FTBS格式,空间一阶精度,FTBS格式,数值耗散,4.3 差分方程,Lax-Wendroff格式,空间二阶精度,Lax-Wendroff格式,数值色散,4.3 差分方程,现象,一阶精度格式产生数值耗散效应；二阶精度格式产生数值色散效应,4.3 差分方程,小结,差分方程应能正确反

9、映与原微分方程相同的物理性质和信息； 需分析离散所带来的伪物理效应的表现及其控制,4.3 差分方程,4.3 差分方程,习题,求出方程,下述差分格式的截断误差,4.4 显式和隐式差分格式,1) 显式差分格式,离散化,解域离散： 方程离散： 初、边条离散,4.4 显式和隐式差分格式,1) 显式差分格式,差分格式,4.4 显式和隐式差分格式,1) 显式差分格式,4.4 显式和隐式差分格式,2) 隐式差分格式,Crank-Nicolson 格式,4.4 显式和隐式差分格式,2) 隐式差分格式,Crank-Nicolson 格式,4.4 显式和隐式差分格式,3) 对比,例,FTCS,4.4 显式和隐式差

10、分格式,3) 对比,i= -4-3-2-101234,n=000 0 0 0000,n=100 0 - 0 00,n=200 -2 3 -2 00,n=30-3 6 -7 6-30,4.5 差分格式的基本性质,1) 差分格式的精度,截断误差,精度,时间阶、空间阶,2) 三种类型的解,偏微分方程精确解 差分方程精确解 差分方程数值近似解,实际误差,4.5 差分格式的基本性质,2) 三种类型的解,实际误差,离散误差,舍入误差,4.5 差分格式的基本性质,3) 宏观特性,ii) 收敛性,iii)稳定性,i) 相容性,4.5 差分格式的基本性质,时间前差空间后差格式（FTBS,和,例 1,4) 差分格

11、式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,精确解,计算域,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTBS格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTBS格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,现象,一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTCS,CTCS,例 2,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,i= -4-3-2-101234,n=000 0 0 0000,n=100 0 - 0 00,n=200 -2 3 -2 00,n=30-3 6 -7

12、 6-30,4) 差分格式的稳定性分析,i= 0 1 2 3,n+3,n+2,n+1,n,n-1,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,傅利叶级数,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,4) 差分格式的稳定性分析,Von Neumann 方法,傅利叶级数,舍入误差,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,舍入误差,Von Neumann 准则,放大因子,Von Neumann条件是初边值问题稳定的必要条件,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTCS 格式 Ric

13、hardson格式 Crank-Nicolson格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：热传导方程,FTCS 格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：热传导方程,稳定性条件,Richardson 格式 (CTCS,绝对不稳定,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：热传导方程,稳定性条件,Crank-Nicolson 格式,稳定性条件,绝对稳定,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：

14、热传导方程,习题,下述差分格式的稳定性条件,利用Von Neumann方法分析方程,4.5 差分格式的基本性质,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,差分方程实际上所准确逼近的微分方程，称为该差分方程的修正方程，通常要求在修正方程中不包含有对时间的高阶导数项。 修正方程是差分方程的微分表达式,例 1,FTCS差分格式,修正方程,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,例 2,FTBS差分格式,修正方程,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,修正方程,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,FTBS格式,Lax-Wendroff格式,空间一阶精度,空间二阶精度,例,2) 差分

15、方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,精确解,计算域,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,FTBS格式,空间一阶精度,FTBS格式,数值耗散效应,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,Lax-Wendroff格式,空间二阶精度,Lax-Wendroff格式,数值色散效应,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,现象,一阶精度格式产生数值耗散效应；二阶精度格式产生数值色散效应,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,微分方程精确解,FTBS 差分格式,差分方程精确解,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色

16、散,微分方程精确解,差分方程精确解,波速,波幅,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,数值色散,数值耗散,奇阶项效应,偶阶项效应,修正方程,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,x,u,t,x,u,t,t1,t1,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,耗散,色散,波的振幅发生变化,波的相位发生变化,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,正耗散,负耗散,数值耗散效应,3) 数值耗散,4.6 数值耗散与数值色散,数值耗散效应,3) 数值耗散,4.6 数值耗散与数值色散,数值粘性,耗散现象,精确解,数值耗散效应,3) 数值耗散,4.6 数值耗散与数值色散,色散现象,精确解,数值色散效应,4) 数值色散,4.6 数值耗散与数值色散,色散现象,精确解,数值色散效应,4) 数值色散,4.6 数值耗散与数值色散,修正方程,人工粘性,