托勒密定理塞瓦定理梅涅劳斯定理西姆松定理_第1页
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文档简介

1、托勒密定理内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明：在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE. 则ABEACD BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, ABCAED. BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又BE+EDBDABCD+ADBCACBD塞瓦定理在ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

2、因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1所以CD、AE、BF交于一点用同一法证点D,E,F分别为三角形ABC三边BC,AC,AB上的点，若AF/BF*BD/DC*CE/AE=1，则AD,BE,CF三点共线逆命题证明证明：设BE,CF交与点O，AO交BC于点P。则由赛瓦定理可知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。由已知AF/BF*BD/DC*CE/AE=1知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。推出BP/PC=BD/DC,所以BD/BC=BP/BC,故BD=BP。所以D点与P点重合。则AD,BE,CF三点共线，命题得证。梅涅劳斯定理如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。西姆松定理（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的

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